高考全國卷與浙江卷中圓錐曲線客觀題的對(duì)比研究

何波祿 朱成萬 王紅權(quán)

摘 ?要：從題量、分值、知識(shí)點(diǎn)等方面統(tǒng)計(jì)分析了2012—2021年高考數(shù)學(xué)全國卷與浙江卷在圓錐曲線客觀題上的聯(lián)系與區(qū)別，并提出幾點(diǎn)教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高考;全國卷;浙江卷;圓錐曲線

自2004年以來，高考數(shù)學(xué)浙江卷均為自主命題，2004—2016年文、理分科，2017年新高考改革至今沿用文、理合卷模式，命題風(fēng)格獨(dú)樹一幟. 2023年起，浙江省高考數(shù)學(xué)不再自主命題，將使用全國卷，而全國卷與浙江卷在命題風(fēng)格、題型、考查知識(shí)點(diǎn)的側(cè)重等多方面存在差異，這對(duì)浙江省的數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考帶來了巨大的挑戰(zhàn). 為了迎接新高考、適應(yīng)新高考，我們亟須研究高考全國卷的特點(diǎn). 本文研究近十年（2012—2021年）高考中的圓錐曲線客觀題（僅研究理科卷或文、理合卷，其中全國卷28份，浙江卷10份），分析它們的異同，以期對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有所啟發(fā).

一、題量與分值對(duì)比分析

1. 題量、分值統(tǒng)計(jì)表

統(tǒng)計(jì)2012—2021年高考數(shù)學(xué)浙江卷與全國卷中圓錐曲線客觀題的題量與分值，如下表所示. 其中，浙江卷2012—2016年為該年的理科試卷，2017—2021年為文、理合卷，共10份;全國卷2012—2019年均選擇該年的理科試卷，2020—2021年為全國新高考試卷的文、理合卷，共28份.

2. 題量、分值分析

由上表可以看出，無論是全國卷還是浙江卷，圓錐曲線都是高考必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，在試卷中的占比較大.

從題量來看，全國卷和浙江卷大多數(shù)有兩道圓錐曲線客觀題. 出現(xiàn)兩道客觀題的全國卷中約有一半試卷是一道選擇題和一道填空題，另外一半是兩道題均為選擇題，而浙江卷中兩道客觀題均為一道選擇題和一道填空題.

從分值來看，全國卷比較穩(wěn)定，若題量為一道則分值為5分，若題量為兩道則分值為10分，以10分為主，平均每份試卷中的圓錐曲線客觀題分值為8.93分，約占總分（150分）的5.95%;浙江卷的分值從4分到11分不等，究其原因，主要是由于浙江卷中填空題分為單空題與雙空題，平均每份試卷中圓錐曲線客觀題所占分值為7.2分，約占總分（150分）的4.8%，低于全國卷.

二、知識(shí)點(diǎn)考查對(duì)比分析

1. 知識(shí)點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)圖

2012—2021年高考數(shù)學(xué)浙江卷與全國卷中圓錐曲線客觀題考查的知識(shí)點(diǎn)，主要包括橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線與圓、函數(shù)、平面向量、不等式等知識(shí)的綜合與交會(huì)等，對(duì)每一類知識(shí)點(diǎn)分別計(jì)算出現(xiàn)的頻率，得到下圖.

2. 知識(shí)點(diǎn)考查分析

觀察上圖所示的知識(shí)點(diǎn)的頻率分布圖，不難發(fā)現(xiàn)全國卷與浙江卷在圓錐曲線客觀題上的考查既有聯(lián)系，又有區(qū)別.

全國卷與浙江卷考查范圍廣泛，幾乎覆蓋了圓錐曲線的各個(gè)方面，著力于考查圓錐曲線定義的應(yīng)用，標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等主干知識(shí)，突出學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想、方法的理解與應(yīng)用，重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 兩者在考查橢圓定義的應(yīng)用、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、雙曲線定義的應(yīng)用、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)上頻率相當(dāng). 值得一提的是，全國卷與浙江卷在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)時(shí)出奇一致，往往需要求橢圓的離心率. 此外，兩類試卷對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)內(nèi)容上的考查最為頻繁，其中雙曲線的漸近線方程和離心率更是重中之重.

總體來說，全國卷與浙江卷的差異也很明顯. 首先，全國卷中的試題均勻分布于易、中、難三個(gè)難度層次中，并未厚此薄彼;而浙江卷偏好于難題，對(duì)應(yīng)試題處于選擇題或填空題最后三道題的位置. 因此，圓錐曲線客觀題是學(xué)生容易望而生畏的題型. 其次，全國卷中的試題更強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握;而浙江卷綜合性更強(qiáng)，需要運(yùn)用多方面核心素養(yǎng)分析問題和解決問題. 因此，師生做題后的反饋是：浙江卷試題難，計(jì)算量大;全國卷相對(duì)容易，計(jì)算量小.

下面針對(duì)知識(shí)點(diǎn)，逐一進(jìn)行分析與說明.

（1）橢圓、雙曲線定義的應(yīng)用. 全國卷和浙江卷在該內(nèi)容上考查頻率相當(dāng)，基本上與其他知識(shí)（如平面幾何、不等式、余弦定理或圓錐曲線的其他知識(shí)點(diǎn)）結(jié)合進(jìn)行考查.

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 全國卷與浙江卷在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的考查上是同步的，頻率一樣且試題都是求橢圓的離心率，以難題的形式呈現(xiàn).

（3）橢圓與直線的位置關(guān)系. 全國卷在近5年內(nèi)未出現(xiàn)過橢圓與直線的位置關(guān)系的客觀題，主要考查直線的斜率，均是中等難度的選擇題;浙江卷分別在2018年、2019年和2021年考查直線與橢圓的位置關(guān)系，均是填空題中的難題，用于考查學(xué)生的綜合能力，起到選拔優(yōu)秀學(xué)生的作用.

（4）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)在所有知識(shí)點(diǎn)中占據(jù)了半壁江山，是高頻考點(diǎn). 試題涉及了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)、焦距、雙曲線上點(diǎn)的取值范圍、離心率、漸近線等眾多知識(shí)點(diǎn)，常以基礎(chǔ)題的形式呈現(xiàn)，偶爾會(huì)出現(xiàn)中等難度題. 在全國卷中出現(xiàn)頻率較高的是利用漸近線求雙曲線的離心率，利用離心率求漸近線方程，利用直線與漸近線關(guān)系的求解問題;浙江卷中則是利用直線與漸近線的關(guān)系求解離心率.

（5）雙曲線與直線的位置關(guān)系. 雙曲線與直線的位置關(guān)系的試題無論是全國卷還是浙江卷都是通過建立直線與雙曲線的漸近線之間的關(guān)系來求解問題，我們將這類問題歸納于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)中.

（6）拋物線定義的應(yīng)用. 此問題浙江卷近5年不曾設(shè)置，全國卷出現(xiàn)于2013年、2014年、2017年和2020年，浙江卷的頻率略高于全國卷，同樣以簡單題的形式出現(xiàn)，是考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的良好載體.

（7）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 全國卷在2021年全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷中分別考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的內(nèi)容，早些年也曾考查過，而浙江卷十年來從未有過其身影，全國卷與浙江卷對(duì)該部分內(nèi)容的態(tài)度有著天壤之別.

（8）拋物線與直線的位置關(guān)系. 浙江卷早在2013年考查過一次拋物線中的弦中點(diǎn)問題，僅是曇花一現(xiàn);與之相反，全國卷多次考查拋物線與直線的位置關(guān)系，尤其是在新高考試卷中，連續(xù)兩年均有現(xiàn)身. 全國卷中該問題出現(xiàn)次數(shù)最多的為焦點(diǎn)弦的性質(zhì)、焦點(diǎn)弦與不等式、三角形等的綜合題.

（9）圓錐曲線與圓的關(guān)系. 全國卷分別考查過橢圓、雙曲線、拋物線與圓的關(guān)系，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，或求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 浙江卷中從未出現(xiàn)過圓錐曲線與圓的關(guān)系的客觀題.

（10）圓錐曲線綜合問題. 圓錐曲線綜合問題是指同時(shí)考查多個(gè)圓錐曲線相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的試題，在全國卷和浙江卷中均有涉及. 全國卷對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線一視同仁，任意兩者都有可能結(jié)合在一起考查，而浙江卷只對(duì)橢圓與雙曲線的結(jié)合情有獨(dú)鐘. 此外，2020年全國新高考Ⅰ卷還以多選題的方式對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，難度更上一個(gè)檔次.

3. 考查內(nèi)容的理解

全國卷本著“一核”“四層”“四翼”的評(píng)價(jià)理念，注重學(xué)科特點(diǎn)，從學(xué)科思維價(jià)值和整體高度的角度出發(fā)，突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性與綜合性，以圓錐曲線的重點(diǎn)知識(shí)和主干知識(shí)為主體，著意將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的靈活性與創(chuàng)新性，數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素質(zhì)融為一體，全面檢測了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（1）強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ).

著名數(shù)學(xué)家蘇步青曾說，扎扎實(shí)實(shí)地打好基礎(chǔ)，練好基本功，是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘密. 高中階段圓錐曲線這一內(nèi)容，秉承了注重概念，基礎(chǔ)常規(guī)，講究通性、通法的理念.

例1 （2021年全國新高考Ⅱ卷·13）已知雙曲線[x2a2-y2b2=1 a>0，b>0]的離心率[e=2]，則該雙曲線的漸近線方程為 ? ? ? ?.

【評(píng)析】該題主要考查雙曲線離心率的應(yīng)用及漸近線方程的求解，考查了雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用. 試題比較簡單，以學(xué)生喜聞樂見的方式呈現(xiàn)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性.

（2）重視數(shù)形結(jié)合.

圓錐曲線是平面解析幾何中的重要內(nèi)容，而解析幾何是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，因此數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線中有著廣泛的應(yīng)用.

例2 （2021年全國甲卷·理15）已知[F1，F(xiàn)2]為橢圓[C： x216+y24=1]的兩個(gè)焦點(diǎn)，[P，Q]為[C]上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且[PQ=F1F2]，則四邊形[PF1QF2]的面積為 ? ? ? ?.

【評(píng)析】該題有部分學(xué)生會(huì)利用解析法設(shè)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與橢圓方程聯(lián)立進(jìn)行運(yùn)算求解，雖然求解難度不大，但需要花費(fèi)一定的時(shí)間且容易算錯(cuò). 事實(shí)上，我們可以根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及已知條件得到四邊形[PF1QF2]是矩形，再結(jié)合橢圓定義的應(yīng)用與勾股定理求解四邊形面積，此方法充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線中的妙用.

（3）注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，尤其是在圓錐曲線中，我們要通過數(shù)學(xué)運(yùn)算促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展.

例3 （2021年全國乙卷·理11）設(shè)點(diǎn)[B]是橢圓[C： x2a2+][y2b2=1 a>0，b>0]的上頂點(diǎn)，若[C]上的任意一點(diǎn)[P]都滿足[PB≤2b]，則[C]的離心率的取值范圍是（ ? ? ）.

（A）[22，1] （B）[12，1]

（C）[0， 22] （D）[0， 12]

【評(píng)析】該題通過兩點(diǎn)間的距離公式表示出[PB]，得到[PB2]是關(guān)于點(diǎn)[P]縱坐標(biāo)的一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，分類討論求最大值，最后構(gòu)建不等式求解離心率的取值范圍. 該題屬于圓錐曲線中的難題，對(duì)二次函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)求最值是學(xué)生容易出錯(cuò)之處. 重點(diǎn)考查分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有較高要求，要求“算理”與“算力”并重.

三、教學(xué)建議

1. 改變是必經(jīng)之路

綜合以上分析，全國卷與浙江卷在圓錐曲線客觀題的考查上既有聯(lián)系又有區(qū)別，且區(qū)別更大. 例如，浙江卷命題偏向于難題，而全國卷起點(diǎn)低、坡度緩，兼顧易、中、難三個(gè)難度層次;浙江卷綜合性更強(qiáng)，常與直線、圓、三角形、函數(shù)、平面向量、不等式等多個(gè)知識(shí)交會(huì)考查，而全國卷更注重考查定義、方程、性質(zhì)等;浙江卷解題靈活多變且運(yùn)算量大，全國卷更具有規(guī)律性，思路簡單，計(jì)算量小. 從具體知識(shí)點(diǎn)角度來講，全國卷與浙江卷在橢圓與直線的位置關(guān)系、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、拋物線定義的應(yīng)用、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、拋物線與直線的位置關(guān)系、圓錐曲線與圓的關(guān)系和圓錐曲線綜合問題等方面均有所差異. 若仍以浙江卷的命題風(fēng)格組織教學(xué)，必將四處碰壁. 因此，浙江省的教師要聚焦全國卷的特征，以全國卷為向?qū)В淖儗?duì)浙江卷的思維定式.

2. 落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法是緊要任務(wù)

圓錐曲線的試題中蘊(yùn)含許多數(shù)學(xué)思想. 例如，數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形性質(zhì)來研究數(shù)量關(guān)系是解析幾何的常用方法;函數(shù)與方程思想，試題中若有元素處于運(yùn)動(dòng)變化中，則可以構(gòu)建函數(shù)解決;分類討論思想，分類討論使解題過程更加縝密、嚴(yán)謹(jǐn)，分類討論時(shí)要注意做到有根有據(jù)，不重不漏;轉(zhuǎn)化與化歸思想，圓錐曲線試題中往往會(huì)通過定義將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;等等. 這些思想與方法并不是彼此孤立的，往往需要結(jié)合起來，多管齊下. 教師在日常教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生對(duì)圓錐曲線中的不同題型、不同解題思路進(jìn)行反思和總結(jié)，體會(huì)并熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法.

3. 提升核心素養(yǎng)是關(guān)鍵

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析和解決問題的能力等. 對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有較高要求，特別是數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象素養(yǎng)，而邏輯推理則是利用“形”的特征，結(jié)合圓錐曲線的定義與平面幾何的有關(guān)性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，也即邏輯推理素養(yǎng)需要借助數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象來實(shí)現(xiàn). 在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合，巧選運(yùn)算方法，優(yōu)化運(yùn)算過程，形成必要的思維模式，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[2]教育部考試中心制定. 中國高考評(píng)價(jià)體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.