找準(zhǔn)進(jìn)階點(diǎn)，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

孔繁晶

摘 ?要：函數(shù)的概念是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)科各個(gè)學(xué)段的重要概念，高中學(xué)段的學(xué)習(xí)必然是前期學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展. 根據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和發(fā)展規(guī)律，遵循數(shù)學(xué)概念建立的邏輯性和層次性，逐級(jí)搭建適宜學(xué)生的“階”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞：函數(shù)的概念;學(xué)習(xí)進(jìn)階;概念的再認(rèn)識(shí)

托馬斯指出，函數(shù)的概念是近代數(shù)學(xué)思想之花. 函數(shù)的概念是貫穿數(shù)學(xué)課程的主線，從數(shù)學(xué)啟蒙到初等數(shù)學(xué)再延伸至高等數(shù)學(xué)，從函數(shù)的一般性質(zhì)到常見函數(shù)研究再延伸至三角、數(shù)列等領(lǐng)域，縱深發(fā)散，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要一環(huán)，也是學(xué)習(xí)物理等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)和研究工具. 函數(shù)概念教學(xué)的優(yōu)化對(duì)幫助學(xué)生逐步完善數(shù)學(xué)概念、掌握常用的數(shù)學(xué)研究方法、形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維具有重要的代表性和示范性.

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論源于美國科學(xué)教育領(lǐng)域，適用于學(xué)生在較大的時(shí)間跨度內(nèi)對(duì)某一學(xué)習(xí)主題的認(rèn)識(shí)、理解和實(shí)踐，具有從簡單到復(fù)雜，從低水平到高水平的發(fā)展特征. 近年來，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論逐步進(jìn)入數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)領(lǐng)域.

鑒于“函數(shù)的概念”的內(nèi)容特點(diǎn)，教師可以基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階點(diǎn)，有序引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)，最終實(shí)現(xiàn)核心概念有層次地生成. 下面筆者以蘇教版教材為例，就此略談一二.

一、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的教材與學(xué)情分析

1. 教材分析

函數(shù)的概念貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)科的各個(gè)學(xué)段，高中學(xué)段的學(xué)習(xí)必然是前期學(xué)習(xí)的延續(xù)，也必將成為下一學(xué)段學(xué)習(xí)的先導(dǎo). 因此，教師在進(jìn)行教材分析時(shí)，不可割裂知識(shí)體系的一貫性，單純考慮當(dāng)下學(xué)段，建議要做到“厘清來路，了解去處”，才能在宏觀處構(gòu)建函數(shù)的概念進(jìn)階體系，如表1所示.

由此可見，各學(xué)段教材對(duì)于函數(shù)概念的組織與安排是隨著學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的提升而提高的，且螺旋上升. 再重點(diǎn)分析、對(duì)比“動(dòng)態(tài)變量研究階段”和“靜態(tài)對(duì)應(yīng)研究階段”，初中與高中階段函數(shù)的概念呈現(xiàn)特點(diǎn)對(duì)比如表2所示.

2. 學(xué)情分析

經(jīng)過初中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，并且通過對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的研究建立了較為感性的認(rèn)識(shí). 到了高中階段，學(xué)生又經(jīng)歷了集合內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步形成了集合觀點(diǎn)，熟悉了集合語言. 但“函數(shù)的概念”一課具有較高的抽象性，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平來看存在著一定的難度. 具體分析如下.

（1）為何要以集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)重新定義函數(shù)？（學(xué)習(xí)的動(dòng)因.）

（2）如何以集合語言描述實(shí)例中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而抽象出函數(shù)概念，探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)？（學(xué)習(xí)的核心.）

（3）如何理解初、高中函數(shù)概念的關(guān)系，是完全不同的定義，還是概念的深化和拓展？（學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián).）

（4）能否運(yùn)用函數(shù)的概念對(duì)以多種形式表達(dá)的對(duì)應(yīng)進(jìn)行判斷？（學(xué)習(xí)的應(yīng)用.）

以上結(jié)合教材和學(xué)情提出的關(guān)注點(diǎn)正是進(jìn)階設(shè)計(jì)的障礙點(diǎn)，教師只有清楚了學(xué)生所在的“階”，才能為學(xué)生構(gòu)建更合適的“階”.

二、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的過程設(shè)計(jì)

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的過程設(shè)計(jì)，應(yīng)該找準(zhǔn)進(jìn)階的起點(diǎn)，高度重視進(jìn)階序列的搭建，通過逐級(jí)完成和評(píng)測，達(dá)到進(jìn)階終點(diǎn).

1. 復(fù)習(xí)舊知，回顧初中函數(shù)的概念——學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)

問題1：在初中，我們是如何定義函數(shù)的？

師生共同回顧初中函數(shù)的定義：在一個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù).

問題2：我們學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)？能舉些例子嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】教師提出問題幫助學(xué)生回顧舊知，突出函數(shù)“變量說”的要點(diǎn)，即兩個(gè)變量、y隨x的變化而變化、每個(gè)x對(duì)應(yīng)唯一的y. 通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)的起點(diǎn). 在這個(gè)過程中也可以看出經(jīng)過初中學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)仍停留在具體函數(shù)，并依賴于解析式刻畫變量關(guān)系，抽象水平較低.

問題3：思考y = 1，x ∈ R是函數(shù)嗎？函數(shù)關(guān)系是不是必須通過解析式來刻畫？

學(xué)生爭論不休，一時(shí)無法決斷. 教師亦不下結(jié)論，鼓勵(lì)學(xué)生帶著疑問開始本節(jié)課的探究.

【設(shè)計(jì)意圖】認(rèn)知沖突是學(xué)習(xí)的源動(dòng)力. 學(xué)生認(rèn)為，在y = 1，x ∈ R中，y似乎不隨x的變化而變化，按照已知函數(shù)定義無法進(jìn)行準(zhǔn)確判斷. 可見初中函數(shù)概念存在著無法完成的任務(wù)，這就成為我們進(jìn)一步發(fā)展函數(shù)概念的原因和動(dòng)力.“函數(shù)關(guān)系是不是必須通過解析式來刻畫？”這個(gè)問題則指向?qū)瘮?shù)本質(zhì)的思考——兩個(gè)變量到底是什么樣的關(guān)系？并為函數(shù)表示方法的學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊.

2. 問題引導(dǎo)，逐級(jí)生成函數(shù)概念——學(xué)習(xí)進(jìn)階的路徑

（1）第一階——實(shí)例探究概念.

活動(dòng)：閱讀三個(gè)實(shí)例.

實(shí)例1：人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù). 從中國統(tǒng)計(jì)年鑒中可以查得我國1979—2014年（年末）人口數(shù)據(jù)資料如表3所示，你能根據(jù)該表說出我國人口的變化情況嗎？

實(shí)例2：一物體從靜止開始下落，下落的距離y（單位：m）與下落時(shí)間x（單位：s）之間近似地滿足關(guān)系式[y=4.9x2，] 若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

實(shí)例3：圖1為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖.

【設(shè)計(jì)意圖】三個(gè)實(shí)例來源于生活及相關(guān)學(xué)科，易于引發(fā)學(xué)生的注意與興趣，同時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)的三種表示方法，成為可以一以貫之的案例，有利于體系化的學(xué)習(xí).

學(xué)生逐個(gè)閱讀后，教師引導(dǎo)學(xué)生以整體眼光繼續(xù)分析.

問題4：上述三個(gè)實(shí)例中各有幾個(gè)變量？你能描述各個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系嗎？變量之間能構(gòu)成函數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】問題串引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三個(gè)實(shí)例進(jìn)行整體思考. 預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)以最為熟悉的以解析式刻畫兩個(gè)變量關(guān)系的實(shí)例2入手，實(shí)例1和實(shí)例3雖然會(huì)費(fèi)一些周折，但可以判斷三例均是函數(shù). 由此拓展了認(rèn)識(shí)：除了解析式，函數(shù)的變量關(guān)系也可以用表格、圖象來刻畫，并體會(huì)所謂的“對(duì)應(yīng)”.

問題5：我們學(xué)習(xí)了集合這種重要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，能否用集合語言分別描述這三個(gè)實(shí)例？

學(xué)生沉默.

問題6：能否試著將這個(gè)問題進(jìn)行分解？① 用集合語言來描述這兩個(gè)變量;② 用集合語言來描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】教師先拋出大問題，學(xué)生無法著手，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生以集合語言為基礎(chǔ)分解問題、探究結(jié)論. 如此設(shè)計(jì)是為了在注重知識(shí)傳授的同時(shí)，滲透思想方法的養(yǎng)成.

教師鼓勵(lì)學(xué)生先從三個(gè)實(shí)例中選取一個(gè)來研究，然后展示交流.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生建立探究問題的一般路徑：由簡入難，從特殊到一般.

大部分學(xué)生選擇實(shí)例1，師生共同探究如下.

首先，分別用集合A，B表示年份和對(duì)應(yīng)年份的人口數(shù)：

[A=1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014，]

[B=975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368.]

其次，用集合語言描述集合A中元素與集合B中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2所示.

集合A中的每個(gè)年份在集合B中都有一個(gè)人口數(shù)與之對(duì)應(yīng).

少部分學(xué)生選擇實(shí)例2和實(shí)例3，研究流程與實(shí)例1類似，但在交流中發(fā)現(xiàn)：在實(shí)例3中，集合A（時(shí)間組成）中的元素7和23均對(duì)應(yīng)集合B（溫度組成）中的0，這與實(shí)例1有所差別. 說明對(duì)應(yīng)關(guān)系可能是一對(duì)一，也可能是多對(duì)一.

【設(shè)計(jì)意圖】充分相信學(xué)生是開展教學(xué)的基本要素. 適時(shí)引導(dǎo)后，學(xué)生運(yùn)用集合語言分析三個(gè)實(shí)例，在其“跳一跳，夠得到”的范疇，發(fā)現(xiàn)一對(duì)一、多對(duì)一的差別，令人驚喜.

（2）第二階——抽象生成概念.

問題7：能用集合語言闡述上述三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)嗎？

預(yù)設(shè)回答：三個(gè)實(shí)例都涉及兩個(gè)集合，且集合A中的每個(gè)[x]在集合B中都有一個(gè)[y]與之對(duì)應(yīng).

問題8：有沒有補(bǔ)充？兩個(gè)什么樣的集合？“都有一個(gè)”是什么含義？

預(yù)設(shè)回答：是數(shù)構(gòu)成的集合，不能是空集，“都有一個(gè)”指的是“有且只有一個(gè)”.

師生共同總結(jié)，給出集合視角下的函數(shù)概念：給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A，B，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系[f，]對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)[x，] 在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)[y]和它對(duì)應(yīng)，那么就稱[f：] A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作[y=fx，x∈A.] 其中，[x]叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域. 我們將所有輸出值[y]組成的集合[yy=fx，x∈A]稱為函數(shù)的值域.

問題9：能否圈出函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞？

預(yù)設(shè)回答：兩個(gè)非空數(shù)集、每一個(gè)、唯一、對(duì)應(yīng).

回應(yīng)問題3，依據(jù)函數(shù)新定義可以判斷y = 1，x ∈ R的確是函數(shù)，且函數(shù)關(guān)系除了可以用解析式描述外，還可以通過列表、畫圖描述.

【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)概念的生成是這節(jié)課的核心，通過一系列的鋪墊引導(dǎo)，學(xué)生從三個(gè)實(shí)例中歸納共性，抽象概念已經(jīng)水到渠成，圈畫關(guān)鍵詞有利于學(xué)生抓住概念核心，突出函數(shù)的本質(zhì)——對(duì)應(yīng).

問題10：① 怎樣理解符號(hào)[y=fx ？]②[fx=x2，][x∈0，+∞]與[ft=t2，t∈0，+∞]表示的是同一個(gè)函數(shù)嗎？

師生共同探討，明確[fx]是一個(gè)整體，是對(duì)應(yīng)關(guān)系[f]對(duì)[x]的作用，形象理解為將[x]投入加工機(jī)器[f]生成產(chǎn)品[y，] 如圖3所示.

例如，[fx=x2-1，] 可以理解為將x投入加工機(jī)器[f，] 進(jìn)行“先平方，再減1”的運(yùn)算，最終輸出結(jié)果[y.] 不同的機(jī)器[f]對(duì)放入的[x]進(jìn)行不同的加工處理，而對(duì)于同一機(jī)器[f，] 放入不同的[x]也會(huì)生成不同的[y.] 至此，問題10的第②問迎刃而解，并明確函數(shù)三要素的從屬關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)概念的生成、符號(hào)[fx]的引入凸顯了數(shù)學(xué)的抽象特征，既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn). 為了幫助學(xué)生深刻理解，借用機(jī)器加工的形象比喻，化抽象為形象，揭示函數(shù)的本質(zhì).

（3）第三階——借史深化概念.

師：同學(xué)們，回顧我們構(gòu)建函數(shù)概念的過程實(shí)在是漫長且不易. 而縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，函數(shù)概念則歷經(jīng)了300多年的變遷. 下面我們一起來了解一下函數(shù)的前世今生.

變量說：1718年，約翰·貝努利給出函數(shù)定義：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量. 但僅僅局限于代數(shù)式. 1748年，歐拉首次提出用“解析式”定義函數(shù)：變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的所謂解析式，它是通過算數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算及指數(shù)運(yùn)算連接變量和常量的分子. 這里打破了代數(shù)式的局限. 1755年，歐拉再次定義函數(shù)：如果一些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù). 與現(xiàn)代定義很接近，破除了用解析式表達(dá)函數(shù)的局限性，畫在坐標(biāo)系上的曲線也叫做函數(shù).

對(duì)應(yīng)說：1823年，柯西給出定義：對(duì)于[x]的每一個(gè)值，如果[y]有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則[y]叫[x]的函數(shù). 破除了用解析式表達(dá)函數(shù)的局限性，避免了“變化”，提出了“對(duì)應(yīng)”. 1837年，狄利克雷進(jìn)一步定義：對(duì)于在某一區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y叫x的函數(shù). 這是公認(rèn)的函數(shù)經(jīng)典定義. 黎曼加強(qiáng)定義：若對(duì)于x的每一個(gè)值，有完全確定的y值與之對(duì)應(yīng)，不管建立起這種對(duì)應(yīng)方式如何，都稱y叫x的函數(shù). 強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念的本質(zhì)是“對(duì)應(yīng)”.

對(duì)應(yīng)說→關(guān)系說：19世紀(jì)末，康托創(chuàng)立集合論，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想. 一系列的現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念都建立在集合論之上，函數(shù)的概念也不例外. 20世紀(jì)初，維布倫提出用“集合”和“對(duì)應(yīng)”給出函數(shù)定義，通過集合語言描述函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域之間的關(guān)系，且打破了“變量是數(shù)”的極限. 注意：變量可以是數(shù)，也可以是其他對(duì)象（點(diǎn)、線、面、體、向量等）.

教師引導(dǎo)學(xué)生簡單談一談閱讀感悟.

師：我們不難看出函數(shù)概念的形成和發(fā)展是不斷被挖掘、豐富、精確的過程. 在這個(gè)過程中，無數(shù)數(shù)學(xué)家付出了艱辛的勞動(dòng)，彰顯了嚴(yán)謹(jǐn)、堅(jiān)毅的數(shù)學(xué)精神. 追尋他們的足跡，我們對(duì)照自己的學(xué)習(xí)，終于明確：① 初、高中函數(shù)定義是遞進(jìn)的、發(fā)展的關(guān)系;② 用集合的視角進(jìn)一步定義函數(shù)是因?yàn)榧险撌茄芯楷F(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的普適語言;③ 至此，函數(shù)概念的發(fā)展仍未停歇，今日學(xué)習(xí)的定義也只是學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)站點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】M.克萊因認(rèn)為，歷史順序是教學(xué)的指南. 學(xué)習(xí)函數(shù)概念的過程與函數(shù)概念的歷史發(fā)展過程基本吻合，而函數(shù)發(fā)展史上的困惑也與學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑基本吻合. 因此，將概念發(fā)展的歷史融入課堂，可以幫助學(xué)生理解函數(shù)概念發(fā)展的必然性，并且在大歷史背景下提升對(duì)“集合”“對(duì)應(yīng)”的認(rèn)識(shí)，以突破本節(jié)課的難點(diǎn)，并滲透數(shù)學(xué)精神.

（4）第四階——練習(xí)鞏固概念.

練習(xí)：試判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).

① 某小組此次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)如表4所示.

②[x→y，y2=x，x∈N，y∈R.]

③ 當(dāng)[x]為有理數(shù)時(shí)，[x→1;] 當(dāng)[x]為無理數(shù)時(shí)，[x→0.]

④ 如圖4.

練習(xí)①強(qiáng)化函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng). 可以補(bǔ)充追問，如何修改使其成為函數(shù)？學(xué)生指出將缺考記為0即可;練習(xí)②以解析式描述對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查“任一對(duì)應(yīng)唯一”的判斷;練習(xí)③為經(jīng)典的狄利克雷函數(shù)，考查函數(shù)關(guān)鍵屬性的同時(shí)，引入分段函數(shù)的認(rèn)識(shí);練習(xí)④中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，確定y不是關(guān)于x的函數(shù). 學(xué)生提出換個(gè)角度考慮問題，x是關(guān)于y的函數(shù)也未嘗不可.

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)題組擴(kuò)充了教材例題單純以解析式形式刻畫對(duì)應(yīng)關(guān)系的辨析，而融入表格、圖象的形式，旨在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)本質(zhì)的理解，并為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊. 正例與反例的辨析有利于學(xué)生鞏固對(duì)概念的理解，反例尤其有助于學(xué)生加深對(duì)函數(shù)概念的關(guān)鍵特征的認(rèn)識(shí). 教師需充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，經(jīng)由熱烈的爭論與交流實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.

3. 總結(jié)梳理，深化升華函數(shù)概念——學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn)

問題11：經(jīng)歷以上研究，你對(duì)于函數(shù)的概念有了哪些新的認(rèn)識(shí)和想法？

知識(shí)內(nèi)容層面：歸納抽象得出用集合語言刻畫的函數(shù)概念，深挖數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握關(guān)鍵屬性，運(yùn)用符號(hào)語言，并了解函數(shù)概念的發(fā)展歷史.

思想方法層面：在生成概念的過程中，感受從具體到抽象、由已知探未知的研究方法，提升學(xué)生的抽象能力、數(shù)學(xué)語言能力等.

數(shù)學(xué)精神層面：通過概念探索和數(shù)學(xué)史回顧，體會(huì)數(shù)學(xué)家的堅(jiān)韌、執(zhí)著，追求數(shù)學(xué)理性精神.

【設(shè)計(jì)意圖】教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行全方位的梳理和思考，最終達(dá)到學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn). 這里需要特別注意，設(shè)置開放性的總結(jié)和思考有助于學(xué)生整體審視學(xué)習(xí)過程，內(nèi)化、升華學(xué)習(xí)成果. 需要留給學(xué)生足夠的時(shí)間，不要讓其流于形式.

三、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的評(píng)估與反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用了學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，根據(jù)學(xué)生的進(jìn)階起點(diǎn)，以初中函數(shù)的概念順應(yīng)高中函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象、從特性到共性，針對(duì)概念的生成設(shè)置層層遞進(jìn)的“階”，幫助學(xué)生逐級(jí)構(gòu)建并加深集合視角下函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，同時(shí)使得學(xué)生探究問題的能力得到提升，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)到思維的全面進(jìn)階. 整體過程如圖5所示.

在這個(gè)過程中，學(xué)生的主體地位得到了充分彰顯，教師的主導(dǎo)作用也得到了有效體現(xiàn). 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的教學(xué)嘗試有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地生根.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳穎康，鄧少博，楊潔. 數(shù)學(xué)教育中學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究進(jìn)展及啟示[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（6）：40-46.

[2]周軍. 學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的數(shù)學(xué)大概念深度學(xué)習(xí)實(shí)踐[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2020（10）：92-95.

[3]傅贏芳，喻平. 從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)：基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視域[J]. 教育理論與實(shí)踐，2019，39（20）：41-43.

[4]何小靈.“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2017（1 / 2）：9-11，13.