基于平衡態(tài)公理的一類最短路徑問題探究

鄧清

摘 ?要：平衡態(tài)公理，又稱最小勢能原理，是物理彈性力學中的一個基本原理. 該原理指出，在一個獨立體系中，如果該體系處于勢能最低狀態(tài)，則必然處于平衡狀態(tài). 研究旨在從物理學的視角出發(fā)，以平衡態(tài)公理為物理模型，重新思考和探究幾何中一類最短路徑問題，以使該類最短路徑問題的結(jié)論更加明晰且自然.

關(guān)鍵詞：平衡態(tài)公理;最短路徑;物理視角

一、問題提出

數(shù)學是一門工具性較強的學科，它是物理、化學、計算機等學科的基礎(chǔ). 我們常?？吹桨褦?shù)學思想嫁接到其他學科后結(jié)出豐碩的果實. 但反過來呢？其實，有些數(shù)學問題單純用數(shù)學理論方法不容易解答，但由于物理學與生活實際更加貼近，若能借鑒物理學中的一些思想方法，可以使我們接受起來更加容易且自然，有時甚至能簡化推理過程.

平衡態(tài)公理，又稱最小勢能原理，是物理彈性力學中的一個重要原理. 該原理指出，一個獨立體系最終總是趨于一個能量盡可能低的穩(wěn)定狀態(tài). 在一個獨立體系中，如果該體系處于能量最低狀態(tài)，則必然處于穩(wěn)定平衡狀態(tài);若體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則是能量最低狀態(tài).

如圖1，一個小球在曲面上運動，當小球靜止于最低點A時，小球的勢能最小，就會處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).

根據(jù)這一原理，可以得到這樣的結(jié)論：當一個質(zhì)點受到幾個始終分別指向某個定點的力時，若物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)——質(zhì)點所受合力為0，則該體系處于勢能最小狀態(tài). 進一步可以推出這樣的結(jié)論：質(zhì)點處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，該質(zhì)點到幾個定點的單程距離或多程距離之和最小.

下面的研究先對該定理進行證明，然后運用定理來探究數(shù)學中的一類最短路徑問題，并從幾何角度進行驗證，以增強研究的嚴密性.

五、結(jié)束語

研究中以平衡態(tài)公理為物理模型，推導出系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，質(zhì)點到各定點單程或多程距離之和最短的結(jié)論. 并以該結(jié)論為指引，探究一類幾何最短路徑問題的動點位置，再用數(shù)學方法進行證明. 由探究歷程不難看出，從物理情境出發(fā)，借助“平衡態(tài)公理——最短路徑問題”的模型思想，比從數(shù)學本身入手更容易確定動點的位置，更能促進學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.

讓學生在數(shù)學學習中經(jīng)歷“數(shù)學化”的過程，是弗賴登塔爾教育思想的靈魂. 數(shù)學是現(xiàn)實與觀念、經(jīng)驗與理性、直覺與邏輯的統(tǒng)一體. 從某個角度而言，數(shù)學是一門工具性較強的學科，然而，數(shù)學知識的學習和數(shù)學思想的積累卻又來源于情境，情境包括了生活情境和科學情境. 我們在教學過程或?qū)W習過程中，應(yīng)注重發(fā)掘有利于思考和發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的各種情境素材，特別是與數(shù)學關(guān)聯(lián)較大的物理問題情境，以便幫助學生發(fā)現(xiàn)和分析數(shù)學問題，培養(yǎng)他們的數(shù)學化能力，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]徐芝綸. 彈性力學簡明教程[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

[2]顏小兵.“飲馬問題”的拓展與妙用[J]. 數(shù)學通報，2010，49（1）：38-39，42.

[3]孫世良. 最短距離與費馬點[J]. 高等數(shù)學研究，2017，20（1）：30-31.

[4]于川. 讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”的數(shù)學教學策