把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效能

?江蘇省常熟市昆承中學(xué) 張 超

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心內(nèi)容，也是掌握其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)好數(shù)學(xué)概念可以使知識(shí)的運(yùn)用更加靈活，使學(xué)生更加能夠理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).然而數(shù)學(xué)概念具有抽象性和復(fù)雜性的特點(diǎn)，常常使很多學(xué)生望而生畏，無(wú)法理解其內(nèi)涵，影響了其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)效果對(duì)于數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效能有著重大影響.在教學(xué)中，教師要從學(xué)生的角度出發(fā)，重視數(shù)學(xué)概念的生成和學(xué)生的感悟，不能采用讓學(xué)生強(qiáng)行記憶的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，只有這樣才能提升數(shù)學(xué)概念的教學(xué)效果.筆者擬以“銳角三角函數(shù)”一課為例，從分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的問(wèn)題出發(fā)，探討有效推進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略.

1 忽視學(xué)生感悟的概念導(dǎo)入，導(dǎo)致學(xué)習(xí)低效

案例1導(dǎo)入“銳角三角函數(shù)”

(1)Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長(zhǎng)度為3，BC的長(zhǎng)度為4，求AB的長(zhǎng)度.

(2)Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長(zhǎng)度為3，∠B的度數(shù)是40°，求AB的長(zhǎng)度.

設(shè)計(jì)評(píng)析：本例是通過(guò)問(wèn)題進(jìn)行導(dǎo)入，第(1)問(wèn)在已有的對(duì)勾股定理認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生很容易求出AB的長(zhǎng)度.接著教師繼續(xù)提出第(2)問(wèn)，學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備難以求出AB的長(zhǎng)度，從而設(shè)疑導(dǎo)入.看似是精心設(shè)計(jì)，為了激發(fā)學(xué)生的探究欲，實(shí)則卻忽視了導(dǎo)入的必要性，“為了導(dǎo)入而導(dǎo)入”，這樣的導(dǎo)入就失去了意義，學(xué)生只是跟隨教師盲目操作，對(duì)新學(xué)的知識(shí)沒(méi)有很深的印象.

改進(jìn)建議：本例可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)以下情境進(jìn)行導(dǎo)入——小華和小方兩人一起步行，小華在傾斜角為30°的斜坡上步行，小方在傾斜角為40°的斜坡上步行，兩人在同一水平上步行了150 m，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)登得高？高多少呢？

改進(jìn)評(píng)析：修改之后的設(shè)計(jì)通過(guò)連續(xù)的追問(wèn)引入課題，第一個(gè)問(wèn)題大部分學(xué)生都能回答，一下子激發(fā)了學(xué)生的興趣，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)充滿信心.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生試圖去回答登得高多少時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)遇到了困難，無(wú)法解決其中的數(shù)量關(guān)系，這時(shí)自然地引入課題，使得學(xué)生充滿了想要探究的好奇心，一下子吸引了學(xué)生的注意力.這樣的設(shè)計(jì)既考慮了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，又讓學(xué)生帶著疑問(wèn)進(jìn)入了學(xué)習(xí)狀態(tài)，發(fā)揮了導(dǎo)入的最佳效應(yīng).

數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入首先要使學(xué)生從心理上產(chǎn)生認(rèn)同感，這就需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)符合學(xué)生生活實(shí)際的情境，使學(xué)生明晰引入數(shù)學(xué)概念以及建立這一概念的理由，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力，為深入學(xué)習(xí)做好心理準(zhǔn)備.

2 忽視概念生成的探究，導(dǎo)致學(xué)習(xí)低效

案例2正弦定義

(1)由特殊到一般概括正弦的定義.

已知Rt△ABC中，∠C為直角.

①如果∠A的度數(shù)為30°，那么∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比是多少？

②如果∠A的度數(shù)為45°，那么∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比是多少？

③如果∠A的度數(shù)為60°，那么∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比是多少？

(2)請(qǐng)大家觀察幾何畫(huà)板的演示，思考一般情況下，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A取固定值時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比是固定的嗎？

(3)經(jīng)過(guò)大家的共同證明，我們得到了一個(gè)結(jié)論：在Rt△ABC中，對(duì)于銳角的任何一個(gè)固定值，它的斜邊與對(duì)邊的比是固定的，與Rt△ABC的大小無(wú)關(guān).

(4)歸納總結(jié)：在Rt△ABC中，∠A所對(duì)的邊與斜邊的比值隨∠A的變化而變化；∠A不變，則比值不變.

教師板書(shū)正弦定義：在△ABC中，∠C為直角，那么銳角A的對(duì)邊與斜邊的比就叫做∠A的正弦，記作sinA.

師：這里要注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，不是一個(gè)乘積形式，符號(hào)中的“∠”是習(xí)慣省去的，而單獨(dú)的“sin”也是沒(méi)有意義的.

設(shè)計(jì)評(píng)析：上述設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師希望通過(guò)由特殊到一般歸納正弦定義的良苦用心，問(wèn)題由易到難，便于學(xué)生接受.但是在整個(gè)流程中學(xué)生始終處于被動(dòng)地位，正弦定義的概念并不是學(xué)生在探究中主動(dòng)獲取的，是被動(dòng)地接受的.在學(xué)生觀察幾何畫(huà)板演示的過(guò)程中，學(xué)生被動(dòng)接受了∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是一個(gè)固定值，教師并沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生去論證和思考，只是直接把結(jié)論灌輸給了學(xué)生.這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生只需用到記憶性思維，而沒(méi)有調(diào)動(dòng)其他的思維形式，然而強(qiáng)行記憶是容易遺忘的，也將影響到知識(shí)和技能的運(yùn)用.

改進(jìn)建議：上述流程可以變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生探索的過(guò)程，改進(jìn)如下.

(1)探究問(wèn)題

已知Rt△ABC中，∠C為直角.

①如果∠A的度數(shù)為30°，那么∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比是多少？

②如果∠A的度數(shù)為45°，那么∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比是多少？

③如果∠A的度數(shù)為60°，那么∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比是多少？

(2)觀察分析

請(qǐng)大家觀察幾何畫(huà)板的演示，思考一般情況下，Rt△ABC中，當(dāng)銳角A取固定值時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比是固定的嗎？

(3)猜想證明

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論闡述自己的想法，然后猜測(cè)：一般情況下，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A取固定值時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比是固定的.

(4)動(dòng)手實(shí)踐

在教師的引導(dǎo)下，改變點(diǎn)B的位置(如圖1)學(xué)生通過(guò)測(cè)量計(jì)算∠A的對(duì)邊與鄰邊的比看有沒(méi)有發(fā)生變化；當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生改變時(shí)，再次通過(guò)測(cè)量計(jì)算比值進(jìn)行對(duì)比.

圖1

(5)推理論證

經(jīng)過(guò)猜想和實(shí)踐之后如何證明這個(gè)結(jié)論，為什么∠A的對(duì)邊與鄰邊的比不發(fā)生變化呢？在教師的提示下學(xué)生自主探索，可以通過(guò)相似三角形的知識(shí)進(jìn)行推理驗(yàn)證.

(6)再次探究

師：經(jīng)過(guò)剛才的證明，大家已經(jīng)知道了∠A的對(duì)邊與鄰邊的比與點(diǎn)B的位置是無(wú)關(guān)的，那么它與∠A的度數(shù)是否有關(guān)呢？我們應(yīng)該用什么方法驗(yàn)證呢？

生1：可以改變∠A的度數(shù)再次進(jìn)行測(cè)量.

師：很好！請(qǐng)大家來(lái)操作一下.

師：很好！但是這個(gè)結(jié)論還是需要通過(guò)理論進(jìn)行證明，大家看看是否可以用幾何圖形來(lái)驗(yàn)證？

生3：如圖2，以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓上有一點(diǎn)P，在PH與OP的比值中，當(dāng)角度增大時(shí)，PH變大，因此在分母不變的情況下，比值越來(lái)越大.

圖2

(7)總結(jié)規(guī)律

通過(guò)畫(huà)圖可以清晰地看到角度與比值的變化關(guān)系，再次驗(yàn)證了結(jié)論：角度變化，比值也相應(yīng)變化.這種隨著角度變化，比值發(fā)生變化的規(guī)律就是正弦的定義，我們可以用sinA來(lái)表示∠A的正弦.

改進(jìn)評(píng)析：通過(guò)教師引導(dǎo)下的探究，學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，經(jīng)過(guò)思考、討論、總結(jié)，逐步理解了正弦的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，學(xué)生在探究的過(guò)程中學(xué)會(huì)了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，理解知識(shí)之間的邏輯關(guān)系.在證明猜想的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形證明比值相等，真正深化了學(xué)生對(duì)概念的理解.

兩種設(shè)計(jì)方式表面上學(xué)習(xí)效果沒(méi)有太大差別，但是從更深層次來(lái)看，第二種設(shè)計(jì)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了探索的平臺(tái)，鍛煉了學(xué)生的思維，更加有利于學(xué)生的發(fā)展.

3 不恰當(dāng)?shù)厥褂眯轮绊憣W(xué)生對(duì)概念的理解 課堂教學(xué)中一般都有一個(gè)當(dāng)堂鞏固的環(huán)節(jié)，通過(guò)習(xí)題對(duì)當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固訓(xùn)練.

案例3課堂鞏固

(1)已知Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長(zhǎng)度為3，BC的長(zhǎng)度為4，求sinA和sinB的值.

(2)已知在△ABC中，CD是AB邊上的高，CD的長(zhǎng)度為12，AD的長(zhǎng)度為9，BD的長(zhǎng)度為5，求sinA,sinB,sin∠ACD和sin∠BCD的值.

(3)在Rt△ABC中，∠C為直角，a的長(zhǎng)度為1，c的長(zhǎng)度為2，求sinB的值.

設(shè)計(jì)評(píng)析：上述練習(xí)都是在直角三角形中求正弦值，一方面題型單一，學(xué)生基本只需要單一的固定思維就能解決，沒(méi)有起到鍛煉思維的作用；另一方面容易給學(xué)生一種誤導(dǎo)，只有在直角三角形中才能求銳角三角函數(shù)的值.因此，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力起不到應(yīng)有的提升作用，一旦題型稍作改變，學(xué)生可能就一籌莫展了.

改進(jìn)建議：(1)在Rt△ABC中，∠C為直角，AB的長(zhǎng)度為5，BC的長(zhǎng)度為3，求∠A的正弦.

(2)在Rt△ABC中，∠C為直角，BC的長(zhǎng)度為3，sinA的值為3∶5，求AB和AC的長(zhǎng)度.

變式訓(xùn)練：在Rt△ABC中，∠C為直角，BC的長(zhǎng)度為3，sinA的值為3∶5，求sinB的值.

改進(jìn)評(píng)析：改進(jìn)后的練習(xí)，不僅檢測(cè)了學(xué)生對(duì)正弦知識(shí)的掌握情況，突出了重點(diǎn)，而且還通過(guò)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生通過(guò)設(shè)置參數(shù)解題的方法.這樣的設(shè)計(jì)調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多種思維，提升了學(xué)生的解題能力，全面鞏固了所學(xué)知識(shí).

課堂鞏固的目的是為了了解學(xué)生知識(shí)的掌握情況，因此在習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)要注意問(wèn)題的廣度，重視思維過(guò)程，提高習(xí)題的質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生積極思考.

總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要摒棄給學(xué)生教概念的做法，要以學(xué)習(xí)活動(dòng)為抓手，在引導(dǎo)學(xué)生探究思考的過(guò)程中，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)能力，深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).