例談判定正方形的三種方法

孟惠

正方形，不僅是特殊的平行四邊形，而且 是特殊的矩形和菱形.對(duì)此，筆者從平行四邊 形、矩形、菱形三個(gè)角度，總結(jié)了判定正方形 的常用方法，以期能夠幫助同學(xué)們學(xué)以致用.

一、利用“平行四邊形+一組鄰邊相等+一 個(gè)角為直角”判定

有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角為直角的 平行四邊形，被稱為“正方形”.根據(jù)這一定 義，在證明一個(gè)四邊形是否為正方形時(shí)，不妨 以平行四邊形為切入點(diǎn)，先思考該四邊形是 否為平行四邊形，然后考慮它的一組鄰邊是否 相等，能否證明一個(gè)角為直角.若該四邊形既是 平行四邊形，又有一組鄰邊相等，且一個(gè)角為 直角，那么就可以判定該四邊形為正方形.

例1

分析：由題意可知，四邊形 MNQP 中有 一組鄰邊相等，一個(gè)角為直角，因此，要證明 該四邊形為正方形，只需要證明四邊形 MNOQ 為平行四邊形，且有一個(gè)角為直角即可.

證明：

評(píng)注：在證明一個(gè)四邊形為正方形時(shí)，同 學(xué)們要從正方形的基本概念出發(fā)，借助“平行 四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)直角”進(jìn)行判定.

二、利用“矩形+一組鄰邊相等”判定

正方形也是鄰邊相等的矩形.在判定一 個(gè)四邊形是否為正方形時(shí)，同學(xué)們還可以從 矩形的角度予以考慮，先對(duì)這個(gè)四邊形是否 為矩形進(jìn)行判定，再判斷它是否有一組鄰邊 相等.若這個(gè)四邊形為矩形，且有一組鄰邊相 等，那么此四邊形必為正方形.

例2

分 析 ：由 題 意 易 知 △MAN、△NDP、△QCP、△MBQ 都為等腰直角形，這樣就有 ∠MAN = ∠D = ∠PCQ = ∠B = 90°，易證得四邊 形 ABCD 為矩形，只要再證明矩形 ABCD 中 有一組鄰邊相等，即可使問題得證.

證明：

評(píng)注：在證明一個(gè)四邊形為正方形時(shí)，如 果該四邊形為矩形，且有一組鄰邊相等，那么 這個(gè)四邊形就是正方形.

三、利用“菱形+一個(gè)角是直角”判定

正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都相等 且都是直角.根據(jù)這一重要性質(zhì)，在判定一個(gè) 四邊形為正方形時(shí)，可先觀察條件中是否蘊(yùn) 含了幾組相等的邊，并由此先證明該四邊形 為菱形，再證明它有一個(gè)角為直角，進(jìn)而利用 “有一個(gè)角是直角的菱形為正方形”判定該四 邊形為正方形.

例3 如圖3，已知四邊形 ABCD 和 BEFG 均為正方形，延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) M，在 AB 上任取一 點(diǎn)N，使得CM = BG = AN. 求證：四邊形 DNFM 為正方形.

分析：本題由已知條件易證得△DAN≌ △NGF≌△MEF≌△DCM，易得到 DN = NF = FM = MD，進(jìn)而證得四邊形 DNFM 為菱形，這 樣只要再證明菱形 DNFM 中有一個(gè)角為直 角，問題即可迎刃而解.

證明：

評(píng)注：在判定一個(gè)四邊形為正方形時(shí)，同 學(xué)們除了考慮平行四邊形、矩形外，還要注意 從菱形的角度去分析和解答問題.

當(dāng)然，判定正方形的方法并不只有上述 提及的這三種，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要 注意掌握不同幾何圖形的定義、特點(diǎn)、性質(zhì) 以及判定方法，多歸納總結(jié)，從而提高解題 能力.