一種面向可靠性的改進不確定性重要度分析方法

兌紅炎, 李 玥, 白光晗

(1.鄭州大學 管理工程學院,河南 鄭州 450001; 2.國防科技大學 智能科學學院,裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室,湖南 長沙 410073)

0 引言

自從可靠性理論及工程產(chǎn)生以來，隨著對系統(tǒng)安全性以及生產(chǎn)效率要求的逐漸提高，系統(tǒng)可靠性已經(jīng)逐步地發(fā)展成為一門必不可少的學科，并隨時隨地的應用在系統(tǒng)運行的各個環(huán)節(jié)。重要度理論作為識別和評估系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)的有效方法，已被廣泛應用于可靠性和安全性工程[1]。同時，為表征多態(tài)系統(tǒng)的可靠性[2]，改善由于設計、加工流程、內(nèi)外部環(huán)境等因素所帶來的系統(tǒng)不確定性[3]，其解決方法之一就是使得系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)成為服從某一數(shù)學分布的隨機變量，以解決實際工程中由于小樣本、失效數(shù)據(jù)不足且難以獲取等因素所產(chǎn)生的退化參數(shù)模型不確定性[4]。在系統(tǒng)的重要度分析中，有關(guān)不確定性的分析和研究更是被諸多研究學者所推崇。

“不確定性”這一概念的最早提出者 Heisenberg，首先在量子力學方面提出了有關(guān)粒子的不確定性原理。在該原理中，粒子的速度和位置總有一個是作為模糊變量存在的，這樣就產(chǎn)生了不確定性。于是，不確定性開始作為研究內(nèi)容走進大眾的視野。Apostolakis[5]在期刊風險分析中提出，輸入變量的不確定性體現(xiàn)在響應模型結(jié)果及預測的不確定性中。基于此，Salteli[6]提出了靈敏度分析的概念并強調(diào)了應用靈敏度分析的重要性。在已有的不確定性重要度研究中，很多研究學者諸如Nakashima和Yamato[7]，Bier[8]，Iman[9]，Heiton等[10]以及Andsten和Vaurio[11]關(guān)注的是如何降低輸出不確定性，而Iman和Hora[12]，Khatibrahbar等[13]以及Chang和Ahn[14]關(guān)注的則是如何精確度量輸出分布。當某個結(jié)果具有較高的均值而有較小的不確定性范圍而其他結(jié)果具有較低的均值而有較大的不確定性范圍時，如何比較和排列這兩個結(jié)果成為先前研究中出現(xiàn)的關(guān)鍵問題之一。

不確定性問題存在于系統(tǒng)可靠性分析的每個階段中，主要分為三類[15]：(1)由于數(shù)據(jù)獲取不充分所導致的參數(shù)不確定性；(2)由于仿真建模時所作的假設性條件限制所帶來的仿真模型不確定性；(3)由于不確定性分析者能力不足而導致的分析不完全所帶來的不確定性。在這三種可能產(chǎn)生不確定性的分析過程中，參數(shù)不確定性又在這三者中居于主導地位。

因此，本文以累積分布函數(shù)(cumulative distribution function, CDF)為媒介，建立了基于Minkowski距離的不確定性重要度的數(shù)學模型來研究輸入不確定性對輸出不確定性的相對影響程度。并在數(shù)據(jù)歸一化處理的情況下，對模型進行了分析。結(jié)果表明，在這一方面，不確定性重要度是一個指引未來方向的有效工具，通過分析和研究系統(tǒng)的不確定性重要度，可以更好地對系統(tǒng)的可靠性進行優(yōu)化和改善。

1 改進的不確定性重要度分析

在本文中，我們關(guān)注模型Y=g(X)，其中，設X={X1,X2,…,Xn}為一系列由連續(xù)累積分布函數(shù)描述的具有不確定性的隨機輸入變量，n為輸入變量的維數(shù)，且g(X)是確定性連續(xù)標量函數(shù)。根據(jù)數(shù)學關(guān)系，當輸入變量服從一定的分布時，其不確定性將通過模型傳遞給響應輸出變量Y，則Y也服從一定的分布，且其不確性可以表示為Y=g(X1,X2,…,Xn)。

(1)

其中f1(Xi)和f2(Xi)是Xi的兩個連續(xù)累積分布函數(shù)，且變參數(shù)w≥1。

不確定性重要度分析可以如下描述[15]，在給定n維變量X1、X2、…、Xn的具有不確定性的情況下(即給定的n個變量具有隨機性)，通過Y=g(X1、X2、…、Xn)來確定Y的不確定性的過程稱之為不確定性重要度分析。也就是說，輸入變量不確定性必然導致輸出變量的不確定性。不確定性通常以分布的形式給出，如X1、X2、…、Xn的不確定性，通過指定其邊緣分布來進行描述。在一些情況下，變量X1、X2、…、Xn間的相關(guān)性也可作為已知條件給出。

在本文的研究中，為了度量不確定性重要度，提出了在采用均值形式使得數(shù)據(jù)歸一化的條件下利用兩個累積分布函數(shù)之間的Minkowski距離的特殊形式—歐幾里德距離來度量不確定性重要度，即基于Minkowski距離的不確定性重要度，定義為UI(i)，其具體的公式表達為:

(2)

對數(shù)據(jù)進行歸一化處理有兩種方式，一種是以均值的形式進行，但該種方法不能將實際生產(chǎn)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)歸一化到(0,1)區(qū)間內(nèi)，僅能使數(shù)據(jù)無量綱化。因此，為了保證數(shù)據(jù)的可信性，本文對數(shù)據(jù)處理方式提出了改進，其具體形式如下:

(3)

其中，Y代表處理后的隨機變量，y表示原始數(shù)據(jù)，即未處理的輸出變量的具體數(shù)值，E(Y)表示輸出變量的均值，D(Y)表示輸出變量的方差。

將改進的數(shù)據(jù)處理方式代入公式(2)的一般形式的不確定重要度中，表達如下：

當天下午，王敬凱與市公安局及刑警二隊領(lǐng)導共同研究并取得共識：寫信人即便不是主犯也是同案犯或與案件有關(guān)系的人。

(4)

其中，D(Yo)和E(Yo)分別代表初始情況下的輸出變量Y的方差和數(shù)學期望。

2 在不同分布條件下的不確定性重要度特征

由于在實際生產(chǎn)系統(tǒng)中，大量的數(shù)據(jù)可以通過頻數(shù)和頻率等介質(zhì)而轉(zhuǎn)化成為服從某一概率分布的數(shù)據(jù)庫來彌補參數(shù)缺失等問題。因此，本文提出了經(jīng)典對稱分布和非對稱分布下的不確定性重要度的數(shù)學表達模型以簡化生產(chǎn)系統(tǒng)中的運算。

2.1 兩種對稱分布

a.正態(tài)分布

對于連續(xù)性隨機變量，若其服從正態(tài)分布，即X～N(μ,σ2)，則其概率密度函數(shù)f(x)表示為:

將上述公式代入前文所提出的基于Minkowski距離的不確定性重要度的公式(4)中，則可得出：當其輸出變量服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布時，輸出變量的不確定性重要度表示為:

其中，下標o和i分別表示初始及其靈敏性情況。此UI(i)公式表明：輸出變量均值和方差的變化將決定系統(tǒng)不確定性重要度的程度。

b.均勻分布

Zp=1-P=1-P{y≤yp}

其中，Zp代表服從均勻分布的隨機變量Z所對應p的分位點，yp是服從均勻分布的隨機變量Y所對應p的分位點，a和b表示隨機變量所處的區(qū)間端點。則均勻分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為:

因為均值和標準差與i無關(guān)，所以均勻分布下的不確定性重要度也與i無關(guān)。此時不確定度與區(qū)間長度有關(guān)，且與輸出變量Y的原始數(shù)值有關(guān)，即輸出的Y越大，表明不確定性重要度UI越小。

2.2 非對稱分布之對數(shù)正態(tài)分布

對于服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量Y，其概率密度函數(shù)為:

基于不確定性重要度公式(4)，可得

對于改進不確定性重要度而言，其更好地融入了輸出變量Y這個因素。由于系統(tǒng)的組件Xi是不確定性隨機變量，其不確定性包含失效和故障這樣的情況，因此，其變化對輸出變量Y具有很大的影響。然而改進后UI除了考慮這樣的因素外，還添加了系統(tǒng)正常運行時的初始數(shù)據(jù)，這就更加的提高了系統(tǒng)的可靠性。故可以得出以下結(jié)論：若采用均值和方差并用的方法處理系統(tǒng)存在的不確定度，則不僅與靈敏度情況下輸出變量的均值和方差有關(guān)，且與其初始數(shù)據(jù)y也有關(guān)系。

3 案例分析

為了考察現(xiàn)有度量的一般適用性，本節(jié)對系統(tǒng)故障樹分析的典型事例進行了不確定性重要度分析。某故障樹例子如圖1所示。

圖1 某故障樹示意圖

在圖1中，X1～X8為該系統(tǒng)故障樹的基本事件變量，M1～M5是故障樹的中間事件變量，T為故障樹的頂端事件變量。

一般而言，由于連續(xù)性隨機變量的不確定性，系統(tǒng)故障樹底事件的發(fā)生概率是不確定的，這就需要使用底事件的數(shù)學表達式按層對輸出進行仿真模擬，而且頂事件的概率函數(shù)又是一個多重的線性函數(shù)。假設隨機變量Xi服從對數(shù)正態(tài)分布，且其輸出變量Y(頂事件)的表達式為:Y=Π(A(i)×Xi+B(i))(i=1,2,…,8),其中A(i)=B(i)=3,Xi的原始數(shù)值如表1所示，原始數(shù)值表示了基本事件的性能變化閾值。同時可以得到輸出變量的概率密度函數(shù)，如圖2所示:

表1 Xi的原始數(shù)值

圖2 頂事件概率密度函數(shù)

同理，保持其他變量不變，分別變化Xi的值將其分別地擴大10倍，表示為Xii。將得到基本事件變化時，頂事件發(fā)生概率，如表2所示。同時，可以得到不同條件下輸出變量Y的概率密度函數(shù)，如圖3所示。

表2 頂事件發(fā)生概率P(T)(單位：10-4)

圖3 系統(tǒng)的概率密度函數(shù)PDF

我們可以得到該系統(tǒng)的不確定重要度UI(i)(i=1,2,…,8)，如圖4和圖5所示。

圖4 初始情況和靈敏度情況下的UI

同理，若Xi=0，表示組件Xi失效，Xi=1，表示組件正常運作，此時得到的不確定性重要度為如圖5所示。

圖5 組件Xi失效時系統(tǒng)的UI

圖4和圖5中兩個CDF在[0,1]區(qū)間上所圍成的面積即為不確定度UI(i)。我們可以得UI(1)

4 結(jié)論

本文針對系統(tǒng)中存在的不確定性和可靠性問題，建立了一種的不確定性重要度的數(shù)學模型并進行了分析。結(jié)合系統(tǒng)故障樹案例，綜合運用概率密度函數(shù)、累積分布函數(shù)、定積分求解面積以及對所研究的模型進行了詳細地分析和討論，并提出了不同數(shù)據(jù)處理方式下的不確定性重要度模型。該模型在實際工程和概率安全評估中具有重要的意義，可快速對組件的不確定度大小進行排序，有效提高系統(tǒng)可靠性，降低其不確定性。