考慮情感的三策略囚徒困境博弈模型與合作演化

謝能剛, 代亞運, 王 萌, 王 璐, 暴 偉

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243002; 2.安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院,安徽 馬鞍山 243002)

0 引言

合作共贏是“構(gòu)建人類命運共同體”的重要理念、意識和模式之一[1]。那么在由利己的相互競爭的個體所組成的社會中，合作行為是如何產(chǎn)生和演化的呢？被譽為“新時代達爾文”的Nowak教授提出[2]：合作的產(chǎn)生有親緣選擇、直接互惠、間接互惠、網(wǎng)絡(luò)互惠和種群選擇5種物理機制，并認(rèn)為自然合作與自然選擇、遺傳變異居于同等地位，是演化理論的第3條基本規(guī)則。

目前關(guān)于合作行為發(fā)生和進化機制的分析大都是建立在個體理性基礎(chǔ)上的，最近關(guān)于最后通牒博弈的社會學(xué)實驗表明[3]，個體理性的假設(shè)很難解釋實驗結(jié)果，而基于腦功能活動的認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)研究對該實驗結(jié)果的神經(jīng)生理機制做出了有益的探索，從中發(fā)現(xiàn)負(fù)性情感和情緒反應(yīng)是影響個體合作的重要因素。Nowak指出[4]：“盡管競爭是自然選擇的天然特性，但在直接和間接互惠的贏家策略中，以下的‘慈善’屬性卻是必不可少的：心存希望，慷慨大方，寬宏大量”。同時，Rao等[5]也率先提出“弱勢導(dǎo)致親社會行為”這一潛在機制來解釋合作行為的產(chǎn)生。因此，人類的理性從來就不是冷酷的、不帶情感的理性，從情感角度研究合作的演化機制，將豐富人們對社會困境中合作行為涌現(xiàn)的認(rèn)知，從而發(fā)現(xiàn)某些社會現(xiàn)象背后的“情”、“理”邏輯。

基于社會比較理論的觀點，個體之間競合行為的發(fā)生及結(jié)束可能源于個體對自身適應(yīng)度和他人適應(yīng)度的相對比較(將此稱為相對適應(yīng)度)，并由此產(chǎn)生同情、漠然、欺凌、尊敬、畏懼及嫉妒的內(nèi)生情感和相應(yīng)行為。我們在文獻[6]中將情感類型分為四種，即對強者的尊敬與嫉妒和對弱者的同情與欺凌，基于遺傳算法的種群演化結(jié)果顯示：情感的多樣性能有效促進合作的產(chǎn)生，其中，同情和尊敬的情感更具進化優(yōu)勢。在隨后的研究中[7]，進一步將情感類型拓展為六種，采用三策略囚徒困境博弈模型，基于格子網(wǎng)絡(luò)的演化博弈結(jié)果顯示：隨著背叛誘惑的增強，社會系統(tǒng)逐漸從“敬上愛下”的良性氛圍轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔窂娏枞酢钡膼盒誀顟B(tài)。

由于個體之間的相互作用需依托網(wǎng)絡(luò)載體開展，因此空間網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)影響演化博弈的進程與結(jié)果。據(jù)《美國科學(xué)院院報》(PNAS)報導(dǎo)[8]，以及最近關(guān)于社會困境的行為實驗結(jié)果也表明[9]，網(wǎng)絡(luò)群體能夠有效地促使處于劣勢的合作者聚集成團簇，從而維持穩(wěn)定的合作水平，使群體獲得較高的收益。

本文將基于考慮情感的三策略囚徒困境博弈模型，采用二維格子網(wǎng)絡(luò)、隨機網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)等三種網(wǎng)絡(luò)模型，通過演化博弈仿真分析，研究社會合作狀態(tài)、情感類型分布和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣髦g的關(guān)系。

1 模型與方法

1.1 三策略囚徒困境博弈模型

采用一種考慮自愿參與的囚徒困境博弈模型，其中博弈方的策略分為參與博弈狀態(tài)下的合作、背叛策略和不參與博弈的孤獨策略三種。表1為兩個博弈方的收益矩陣[10](博弈方1收益在前)。其中R為雙方合作的獎勵；P為相互背叛的懲罰；T為背叛成功的誘惑；S為合作失敗的代價；σ為不參與博弈的福利。

表1 博弈收益矩陣

1.2 個體情感特征的定量表達方法

人類的情感豐富多彩，本文將情感集限定為個體對相對適應(yīng)度的關(guān)注而產(chǎn)生的情感。我們假設(shè)面對“弱者”(即對手的收益小于或等于自己的收益)時，個體產(chǎn)生的情感集合為{同情、欺凌和漠然}。當(dāng)面對“強者”(即對手的收益大于自己的收益)時，個體產(chǎn)生的情感集合為{尊敬、嫉妒和畏懼}。

用四個參數(shù){W,α,V,β}對個體的情感特征進行表達。W表示對弱者的情感標(biāo)簽，取值為0或1，α∈(0,1)表示相應(yīng)的情感程度；V表示對強者的情感標(biāo)簽，取值為0或1，β∈(0,1)表示相應(yīng)的情感程度。(1)當(dāng)W=0時，α表示個體對弱者同情的程度，α越大表示對弱者的同情心越強，漠然感越弱。(2)當(dāng)W=1時，α表示個體對弱者欺凌的程度，α越大表示對弱者的欺凌心越強，漠然感越弱。(3)當(dāng)V=0時，β表示個體對強者尊敬的程度，β越大表示對強者的尊敬心越強，畏懼感越弱。(4)當(dāng)V=1時，β表示個體對強者嫉妒的程度，β越大表示對強者的嫉妒心越強，畏懼感越弱。

1.3 情感與博弈行為策略之間的對應(yīng)表達機制

定義六種情感與三種策略之間的定性對應(yīng)關(guān)系為[10]：同情和尊重對應(yīng)合作策略；欺凌和嫉妒對應(yīng)背叛策略；漠然和畏懼對應(yīng)個體選擇不參與博弈的孤獨策略。假設(shè)Ui和Uj分別表示個體i和個體j在當(dāng)前輪次的收益，個體i的情感特征為{Wi,αi,Vi,βi}。當(dāng)個體i和個體j進行博弈時，個體i的情感和博弈策略之間的定量表達機制為(個體j同理)：

(1)當(dāng)個體j相對于個體i是“弱者”(即Ui≥Uj)時，1)若Wi=0，即個體i對弱者的情感為同情或漠然；αi表示個體i對弱者同情的程度，代表了將和個體j合作的概率。如果p1≤αi(p1為[0,1]之間服從均勻分布的隨機數(shù))，則合作；否則個體i選擇不參與博弈的孤獨策略；2)若Wi=1，即個體i對弱者的情感為欺凌或漠然；αi表示個體i對弱者欺凌的程度，代表了將對個體j背叛的概率。如果p1≤αi，則背叛；否則個體i選擇不參與博弈的孤獨策略。

(2)當(dāng)個體j相對于個體i是“強者”(即Ui

1.4 博弈動力學(xué)演化算法

網(wǎng)絡(luò)載體采用構(gòu)建的社會網(wǎng)絡(luò)(節(jié)點總數(shù)為N)，采用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法對三策略囚徒困境博弈模型進行演化仿真。

(1)初始階段，每個個體被隨機分配一個表征其情感特征的四個參數(shù)組合{W,α,V,β} 以及初始收益U0。W和V被隨機賦值為0或1；α和β被隨機賦值為(0,1)區(qū)間上的數(shù)；U0被隨機賦值為區(qū)間[S,T]上的數(shù)。

(2)在每一個博弈輪次，從群體中隨機選擇一個個體i與其所有鄰居分別進行一次博弈，博弈中個體i及其鄰居采取的策略按照1.3節(jié)的方法確定，獲得其平均收益Ui(個體i和所有鄰居博弈后所獲收益的平均值)，然后用該收益替換個體i之前的收益。

(3)個體i進行情感模仿更新，采用依賴收益差別的情感學(xué)習(xí)方法，即參與者模仿“收益更高”的鄰居情感特征。個體i從他的鄰居中隨機選擇一個鄰居(記為個體j)進行收益的比較，個體i以某個概率q(為i、j兩個體收益差的函數(shù))模仿個體j的情感特征，一般取為q={1+exp[(Ui-Uj)/κ]}-1，其中：κ為噪聲參數(shù)，本文取0.1。具體學(xué)習(xí)模仿過程為：在[0,1]區(qū)間生成兩個隨機數(shù)γ1和γ2，如果γ1≤q和γ2>q，個體i只模仿個體j的情感特征{Wj,αj}并保持自身原有的情感特征{Vi,βi}；如果γ1>q和γ2≤q，個體i只模仿個體j的情感特征{Vj,βj}并保持自身原有的情感特征{Wi,αi}；如果γ1≤q和γ2≤q，個體i同時模仿個體j的情感特征{Wj,αj}和{Vj,βj}；如果γ1>q和γ2>q，則個體i保持自身原有的情感特征{Wi,αi}和{Vi,βi}。

(4)重復(fù)上述博弈N輪，使每個個體在概率上平均有一次機會更新情感特征和收益。

(5)將以上過程作為一個蒙特卡洛步，重復(fù)基于蒙特卡洛步的迭代過程，直至系統(tǒng)演化達到穩(wěn)定狀態(tài)(一般以群體情感類型的分布達到穩(wěn)定)。

2 演化分析

2.1 計算說明

群體規(guī)模N取為40000，采用相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造方法生成二維格子網(wǎng)絡(luò)、隨機網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，3種網(wǎng)絡(luò)的度分布如圖1所示。參數(shù)取值為：R=1,S=0,P=0,σ=0.3以及T=1.5。為對個體情感類型進行歸類，本文分別將α∈(0,1)和β∈(0,1)均分為10段，當(dāng)不同個體的W(以及V)相同且α(以及β)的數(shù)值落在同一個區(qū)間段時，則認(rèn)為屬于同一種情感類型，這樣群體中一共有2*2*10*10=400種情感類型。同時，根據(jù)W和V的取值將群體的情感類型分為4個區(qū)域，即：區(qū)域P1(W=1,V=1)、區(qū)域P2(W=0,V=1)、區(qū)域P3(W=1,V=0)和區(qū)域P4(W=0,V=0)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)的度分布

2.2 計算結(jié)果及分析

2.2.1 格子網(wǎng)絡(luò)

圖2顯示了合作、背叛和孤獨3種策略的演化趨勢，同時也給出了群體平均收益的演化趨勢。從圖2可看出，系統(tǒng)中合作策略首先消亡，背叛和孤獨策略最終取得均衡，大約各占50%；最終系統(tǒng)的平均收益為0.33。

圖2 基于格子網(wǎng)絡(luò)的博弈系統(tǒng)中三種策略占比和平均收益的演化

圖3為4個情感區(qū)域內(nèi)個體數(shù)占群體比例的演化圖，圖4為400種情感類型的迭代演化，其中P(α,β)表示屬于某情感類型的個體數(shù)占群體的比例。從圖3和圖4可以看出，由于背叛誘惑T=1.5，大于合作的獎勵R=1，因此在演化初期，合作策略將受到背叛策略的剝削，使得具有較高概率采取合作策略的情感類型及個體(區(qū)域P4)迅速減少，而具有較高概率采取背叛策略的情感類型及個體(區(qū)域P1)迅速增加；隨著良性情感類型及個體(區(qū)域P4)的消亡，不良情感類型失去了剝削對象，尤其是對強者和弱者都具有較高概率采取背叛策略的情感類型{W=1,α∈[0.9,1.0),V=1,β∈[0.9,1.0)}及個體，在面對以較大概率采取孤獨策略的情感類型{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈(0.0,0.1)}和個體時，失去了進化優(yōu)勢(因為前一種情感類型的兩個個體進行博弈的收益是背叛的懲罰P=0，而后一種情感類型的兩個個體進行博弈的收益是不參與博弈的福利σ=0.3)，也開始逐漸減少；隨著演化的進行，情感類型{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈(0.0,0.1)}取得了進化優(yōu)勢并占據(jù)種群。

圖3 基于格子網(wǎng)絡(luò)的四個情感區(qū)域內(nèi)個體占比的演化

圖4 基于格子網(wǎng)絡(luò)的群體中情感類型占比的迭代演化(圖a、b、c、d分別對應(yīng)迭代步為1、100、1000和7944即最終穩(wěn)態(tài))

圖5顯示了群體情感特征空間分布情形的演化，本文定義兩個指標(biāo)(-1)Wα和(-1)Vβ，(-1)Wα的值從1變化至-1，表示對弱者的情感從同情→漠然→欺凌的變化，(-1)Vβ的值從1變化至-1，表示對強者的情感從尊敬→畏懼→嫉妒的變化。從圖5可看出，在背叛誘惑的激勵下，首先是個體對弱者的同情心失去進化優(yōu)勢，從同情轉(zhuǎn)化為欺凌，然后失去的是個體對強者的尊敬和嫉妒，取而代之的是對強者的畏懼和躲避博弈。

圖5 格子網(wǎng)絡(luò)中個體情感指標(biāo)(-1)Wα和(-1)Vβ的空間分布特征演化(圖a、b、c、d、e分別對應(yīng)迭代步為1、10、100、1000和7944即最終穩(wěn)態(tài))

2.2.2 隨機網(wǎng)絡(luò)

圖6顯示了隨機網(wǎng)絡(luò)中合作、背叛和孤獨3種策略和群體平均收益的演化趨勢，從圖6可以看出，系統(tǒng)中合作策略首先消亡，背叛策略占比逐漸增長，然后在背叛策略和孤獨策略的對抗中，孤獨策略取得一定優(yōu)勢，最終狀態(tài)為孤獨策略和背叛策略共存，其中孤獨策略占比略高于0.5，背叛策略占比略低于0.5；最終系統(tǒng)的平均收益為0.30。

圖6 基于隨機網(wǎng)絡(luò)的博弈系統(tǒng)中三種策略占比和平均收益的演化

圖7為4個情感區(qū)域內(nèi)個體數(shù)占群體比例的演化圖，圖8為400種情感類型的迭代演化。從圖7和圖8可以看出，演化初期與格子網(wǎng)絡(luò)相似，但在后續(xù)的演化過程中出現(xiàn)與格子網(wǎng)絡(luò)的兩個不同點：(1)P3區(qū)域的個體占比持續(xù)減小，沒有像格子網(wǎng)絡(luò)那樣在演化中期出現(xiàn)增長并逐漸占據(jù)進化優(yōu)勢；(2)演化中期系統(tǒng)呈現(xiàn)P1和P2區(qū)域個體共存的局面，占比波動較小，演化中后期(104代左右)，P1區(qū)域的個體占比突然上升和P2區(qū)域的個體占比突然下降，并最終表現(xiàn)為情感類型{W=1,α∈(0.0,0.1),V=1,β∈[0.9,1.0)}占據(jù)群體的主導(dǎo)地位。為了分析圖7中P1和P2區(qū)域的個體占比突然反轉(zhuǎn)的原因，根據(jù)節(jié)點的度，將群體分為3個子群體：度<4、4<=度<10和度>=10。圖9給出了P1和P2區(qū)域中三類子群體的占比演化情況，從中可以看出：度>=10的子群體在演化過程中的占比不穩(wěn)定，顯示出容易激發(fā)和大幅波動，因此可能是該反轉(zhuǎn)的驅(qū)動因素和先行者。

圖7 基于隨機網(wǎng)絡(luò)的四個情感區(qū)域內(nèi)個體占比的演化

圖8 基于隨機網(wǎng)絡(luò)的群體中情感類型占比的迭代演化(圖a、b、c、d分別對應(yīng)迭代步為1、100、1000和20000即最終穩(wěn)態(tài))

圖9 三類子群體的占比演化(a.P1情感區(qū)域;b.P2情感區(qū)域)

2.2.3 BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

圖10顯示了BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中合作、背叛和孤獨3種策略和群體平均收益的演化趨勢，從圖10可以看出，系統(tǒng)中孤獨策略逐漸消亡，背叛和合作策略最終取得均衡，大約各占50%；最終系統(tǒng)的平均收益為0.52。

圖10 基于BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的博弈系統(tǒng)中三種策略占比和平均收益的演化

圖11為4個情感區(qū)域內(nèi)個體數(shù)占群體比例的演化圖，圖12為400種情感類型的迭代演化。從圖11和圖12可以看出，演化初期與格子網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò)相似，但后續(xù)演化進程中不同的是，區(qū)域P3的個體占比一直呈上升趨勢，且主要表現(xiàn)為{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈[0.9,1.0)}的情感類型(圖12b所示)，由于該情感類型的個體面對弱者時大概率欺凌(背叛策略)，面對強者時大概率尊敬(合作策略)，強者和弱者在博弈對局中的收益體現(xiàn)了弱者向強者的朝貢模式，而無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在中心節(jié)點(擁有比較多的鄰居)，使這種朝貢模式得到發(fā)展和繁榮，具體原因為：一旦中心節(jié)點為該情感類型，中心節(jié)點在與其鄰居中的弱者博弈時就會取得收益優(yōu)勢，這樣使得中心節(jié)點的情感類型被鄰居節(jié)點模仿的概率增大，同時由于中心節(jié)點的鄰居數(shù)目多，導(dǎo)致中心節(jié)點的情感類型可以快速和廣泛擴散。

圖11 基于BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的四個情感區(qū)域內(nèi)個體占比的演化

圖12 基于BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的群體中情感類型占比的迭代演化(圖a、b、c、d分別對應(yīng)迭代步為1、100、1000和20000即最終穩(wěn)態(tài))

根據(jù)節(jié)點的度，將群體分為3個子群體：度<4、4<=度<10和度>=10。定義a3和b3分別為P3區(qū)域內(nèi)所有個體情感指標(biāo)(-1)Wα和(-1)Vβ的均值。圖13給出了P3區(qū)域內(nèi)三類子群體的情感指標(biāo)a3和b3的演化情況，圖14給出了P3情感區(qū)域中三類子群體的占比演化情況，從圖13和圖14可以看出：度>=10的子群體的情感指標(biāo)b3和占比均大于且先行于其他2個子群體，說明度>=10的子群體是整個網(wǎng)絡(luò)情感演化的發(fā)動機，也驗證了上面對中心節(jié)點的分析。

圖13 P3區(qū)域中三類子群體的情感指標(biāo)演化

圖14 P3區(qū)域中三類子群體的占比演化

3 結(jié)論

本文基于個體對相對適應(yīng)度的關(guān)注，設(shè)定了強者和弱者之間的同情、欺凌、漠然、尊敬、嫉妒和畏懼等6種情感類型，建立了個體情感特征的定量表達方法。將情感引入到三策略囚徒困境博弈模型中，設(shè)計了6種情感類型與合作、背叛及孤獨3個博弈策略之間的對應(yīng)關(guān)系和定量表達機制。構(gòu)建了基于情感模仿規(guī)則的博弈動力學(xué)演化算法，采用二維格子網(wǎng)絡(luò)、隨機網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)等三種網(wǎng)絡(luò)模型進行演化博弈仿真分析，結(jié)果顯示了情感類型及社會合作狀態(tài)與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣髦g的關(guān)系。

(1)較大的背叛誘惑促進了采取背叛策略的情感類型的演化繁榮，三種網(wǎng)絡(luò)的演化結(jié)果表明，系統(tǒng)的最終演化狀態(tài)都體現(xiàn)出程度不同的負(fù)性情感特征，其中無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能夠?qū)е戮哂幸欢夹蕴卣鞯那楦蓄愋脱莼€(wěn)定，并帶來較高的合作水平。1)基于格子網(wǎng)絡(luò)的最終穩(wěn)定狀態(tài)是情感類型{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈(0.0,0.1)}占據(jù)整個群體，個體的行為方式體現(xiàn)出對弱者欺凌和對強者畏懼的“欺軟怕硬”特征，群體中采取背叛策略和孤獨策略的概率基本一致(0.5左右)。2)基于隨機網(wǎng)絡(luò)的最終演化狀態(tài)表現(xiàn)為情感類型{W=1,α∈(0.0,0.1),V=1,β∈[0.9,1.0)}占據(jù)群體的主導(dǎo)地位，個體的行為方式表現(xiàn)為對弱者漠然和對強者嫉妒的“憎人富貴嫌人窮”特征，群體中背叛策略和孤獨策略共存。3)基于BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的最終演化狀態(tài)表現(xiàn)為情感類型{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈[0.9,1.0)}占據(jù)群體的絕對主導(dǎo)地位，個體的行為方式體現(xiàn)出對弱者欺凌和對強者尊敬的“敬上欺下”特征，群體中采取背叛策略和合作策略的概率基本一致(0.5左右)。

(2)在二維格子網(wǎng)絡(luò)中，由于所有個體的環(huán)境資源相同，個體為維護其積極的自我概念，一般傾向于進行下行比較(同弱者相比)并產(chǎn)生對比效應(yīng)，比較對象(弱者)的失敗將導(dǎo)致個體產(chǎn)生自豪和高興的正性情緒，從而達到增強自尊和主觀幸福感的目的，因此，這可能是格子網(wǎng)絡(luò)中對弱者欺凌和對強者畏懼的情感類型{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈(0.0,0.1)}取得進化優(yōu)勢的原因。

(3)在隨機網(wǎng)絡(luò)中，大部分節(jié)點的鄰居數(shù)目大致相同，接近“平均數(shù)”，鄰居數(shù)高于或者低于平均數(shù)的節(jié)點都較少，這類似一種依靠朋友、熟人等強鏈接關(guān)系建立的網(wǎng)絡(luò)。在具有強鏈接的關(guān)系情境中，個體一般傾向于進行上行比較(同強者相比)并產(chǎn)生對比效應(yīng)，朋友的成功將導(dǎo)致個體產(chǎn)生嫉妒、憎恨等負(fù)性情緒，馬克·吐溫就曾經(jīng)說過：“你的好友的成功有時會帶給你不快”，因此，這可能是隨機網(wǎng)絡(luò)中對弱者漠然和對強者嫉妒的情感類型{W=1,α∈(0.0,0.1),V=1,β∈[0.9,1.0)}在系統(tǒng)演化中取得主導(dǎo)地位的原因。

(4)在BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于具有較多鄰居數(shù)目的中心節(jié)點的存在，以及大量的節(jié)點只有很少的鄰居，使得個體在進行上行比較時(同強者相比，強者一般為中心節(jié)點)，基于自我完善的動機產(chǎn)生同化效應(yīng)，強者的成功會使個體產(chǎn)生敬仰并備受激勵；在進行下行比較時(同弱者相比，弱者一般不為中心節(jié)點)，出于自我滿足的動機產(chǎn)生對比效應(yīng)，弱者的失敗會使個體產(chǎn)生自信和提高自尊。因此，這可能是BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中系統(tǒng)最終演化為對弱者欺凌和對強者尊敬的{W=1,α∈[0.9,1.0),V=0,β∈[0.9,1.0)}情感類型的原因。