基于先驗信息和一維數(shù)據(jù)聚類的專家賦權(quán)方法

易平濤, 王士燁, 李偉偉, 王 露, 董乾坤

(東北大學(xué) 工商管理學(xué)院,遼寧 沈陽 110167)

0 引言

綜合評價通?；诙嘀笜?biāo)體系結(jié)構(gòu)，對被評價對象進(jìn)行客觀、公正、合理的全面評價[1,2]。多屬性群體評價作為綜合評價的一個重要分支，在經(jīng)濟(jì)、社會、管理、科技等諸多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。面對日益復(fù)雜的評價問題，通過群體評價匯集多位專家的知識、經(jīng)驗等解決復(fù)雜評價問題，是諸多專家學(xué)者研究的一個重要方向。截止到目前，國內(nèi)外學(xué)者針對群體評價的問題展開了持續(xù)討論并取得了豐盛的成果。如，李貴清等[3]根據(jù)語言評價標(biāo)準(zhǔn)提出的大規(guī)模群體評價方法；董慶興等[4]從雙重反饋的視角出發(fā)，對語言型動態(tài)群體評價問題提出了解決方案；張發(fā)明等[5]從網(wǎng)絡(luò)視角出發(fā)，對動態(tài)交互式的群體評價進(jìn)行了信息集結(jié)的探索，并有效地集結(jié)群體意見；Sujit Das等[6]提出了一種利用中性軟矩陣(NSM)和專家相對權(quán)重來求解群體決策問題(GDM)的算法；Soumava Boral等[7]提出一種新的混合多準(zhǔn)則群決策方法。

合理確定專家權(quán)重是多屬性群體評價需要解決的重要問題。目前，有學(xué)者對該問題從不同方面展開了深入討論。如，何立華等[8]根據(jù)聚類的思想，從類內(nèi)和類間兩個視角刻畫專家權(quán)重；王新鑫等[9]提出專家對應(yīng)準(zhǔn)則擴(kuò)充猶豫模糊集，利用擴(kuò)充后的矩陣計算出專家權(quán)重；金飛飛等[10]構(gòu)建專家之間信任關(guān)系模型，以此度量專家權(quán)重；劉業(yè)政等[11]在已知專家主觀權(quán)重的基礎(chǔ)上，提出一種權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整的方法；馮源等[12]依據(jù)平均差概念和修改后的平均差系數(shù)公式，對專家權(quán)重從局部到整體逐次進(jìn)行微調(diào)整；王俊英等[13]從TOPSIS法和灰色關(guān)聯(lián)度出發(fā)，提出了專家權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整算法；Xu[14]通過最小化個體區(qū)間和集體區(qū)間模糊偏好關(guān)系的偏差，構(gòu)建二次規(guī)劃模型確定專家權(quán)重；Yue[15]通過投影法度量專家權(quán)重；劉安英等[16]利用語言標(biāo)度確定專家的后驗權(quán)重；周宇峰等[17,18]通過對信息自身邏輯一致性和群體相容性程度的判斷，基于專家判斷信息可信度進(jìn)行后驗權(quán)重的確定，并綜合先驗和后驗信息來對專家進(jìn)行賦權(quán)。

本文在上述研究基礎(chǔ)上，針對多屬性群體評價中專家權(quán)重的確定問題，基于文獻(xiàn)[19]中的數(shù)據(jù)聚類思想及信息集結(jié)方法、文獻(xiàn)[20]中時間權(quán)向量的求解思路，給出了一種專家權(quán)重確定方法，該方法同時兼顧專家先驗權(quán)重和后驗權(quán)重。

本文的創(chuàng)新之處在于以下幾點：

(1)提出了一種確定專家先驗權(quán)重的方法，根據(jù)專家的先驗信息(即專家的歷史評價數(shù)據(jù))，利用專家歷史評價活動中的序值相關(guān)系數(shù)，計算出本次評價活動的預(yù)測值，從而確定出專家先驗權(quán)重。

(2)提出了一種確定專家后驗權(quán)重的方法，基于群體共識視角，對各專家所給出的后驗信息(即在當(dāng)前評價活動中專家提供的信息)進(jìn)行一維數(shù)據(jù)聚類，結(jié)合不同分組情況下出現(xiàn)的概率，進(jìn)而確定專家后驗權(quán)重。最后將兩種權(quán)重組合實現(xiàn)專家賦權(quán)。

本文對于專家賦權(quán)的方法充分考慮了歷史信息和當(dāng)下信息，相比傳統(tǒng)專家賦權(quán)方法僅考慮當(dāng)下信息有更好的適用性和靈活性。但本文所提供的方法對于使用者提出了更高的要求，如何為方法使用者提供更為科學(xué)合理的參照標(biāo)準(zhǔn)，是本文下一步重要的研究方向。

1 問題描述與條件假設(shè)

設(shè)被評價對象集合為O={o1,o2,…,on}，被評價對象綜合評價值集合為Y={y1,y2,…,yn}，評價指標(biāo)集合為U={u1,u2,…,um}，評價指標(biāo)權(quán)重集合為Ω={ω1,ω2,…,ωm}，評價專家集合為E={e1,e2,…,ek}，專家權(quán)重集合為A={A1,A2,…,Ak}，專家的權(quán)重由各專家的先驗信息和后驗信息確定。xijq表示專家eq對于被評價對象oi關(guān)于評價指標(biāo)uj的賦值，其中i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;q=1,2,…,k。不失一般性，令m,n,k≥3，由xijq組成的評價信息矩陣如表1所示。

表1 評價專家給出的指標(biāo)信息

為了更準(zhǔn)確地說明問題，現(xiàn)給出3個假設(shè)：

(1)參評者均為本次評價活動專業(yè)相關(guān)領(lǐng)域的專家；

(2)僅收集參評專家專業(yè)相關(guān)領(lǐng)域的歷史評價信息；

(3)各位專家的判斷具有一定的穩(wěn)定性。

2 方法與基本原理

2.1 專家先驗權(quán)重的確定

k位專家對問題作出評價，但因各個專家的知識結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗、能力、專業(yè)水平等的不同，這些因素在一定程度上會導(dǎo)致專家評價水平的差異。本文期望通過專家在以往評價活動中的歷史數(shù)據(jù)判斷專家評價水平，這些數(shù)據(jù)均屬于先驗信息，因此，由這類信息確定的專家權(quán)重稱為先驗權(quán)重。

確定先驗權(quán)重的基本思路：首先對評價者q(q=1,2,…,k)在tb(b=1,2,…,v)時期內(nèi)的評價活動中所給出的方案的評價結(jié)論與該方案最終的評價結(jié)論進(jìn)行一致性程度的分析(這里，本文考慮信息采集的經(jīng)濟(jì)性與簡便性，選擇序值信息作為度量依據(jù)，在寬松的分析環(huán)境中一定程度上也保證了度量的準(zhǔn)確性)，由此可以度量出每個評價者在各個時期內(nèi)進(jìn)行評價活動的準(zhǔn)確性；然后基于k組序值相關(guān)系數(shù)，結(jié)合指數(shù)平滑法[21,22]，計算出k位評價者在本次評價活動中對方案正確排序準(zhǔn)確性的預(yù)測度量。最后對k位評價者在本次評價活動中序值相關(guān)系數(shù)的預(yù)測度量進(jìn)行歸一化處理，得到k位評價者的先驗權(quán)重。

基于上述關(guān)于專家先驗權(quán)重的確定思路，下面給出確定專家先驗權(quán)重的具體過程:

1)收集專家eq的歷史評價信息，如表2所示。

表2 專家eq的歷史評價信息

2)計算專家eq的歷史序值相關(guān)系數(shù)

因序值具有等級變量的性質(zhì)，本文采用斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)[1]，對評價者在t時期內(nèi)進(jìn)行的評價活動進(jìn)行序值之間的相關(guān)系數(shù)計算。歷史序值相關(guān)系數(shù)的基本公式為:

(1)

式中d表示兩個序值之間的差值，j表示等級個數(shù)，r越高表明兩個序值之間的一致性程度越高。

3)運(yùn)用指數(shù)平滑法計算專家eq在本次評價活動中的序值相關(guān)系數(shù)(因序值相關(guān)系數(shù)沒有明顯的趨勢變化，故選用一次指數(shù)平滑法)。一次指數(shù)平滑法的平滑公式為:

(2)

α—平滑系數(shù)，其取值范圍[0,1]。

預(yù)測度量計算公式為:

(3)

平滑系數(shù)α的取值對于指數(shù)平滑法的預(yù)測效果有重要的影響，現(xiàn)有的研究和應(yīng)用中，確定α值的方法一般為以下兩種：

①經(jīng)驗估算和試算法[21,22]。α越接近于1，遠(yuǎn)期實際值對本期平滑值影響程度的下降越迅速；反之，越緩慢。一般來說，時間序列波動越小，α取小值；時間序列波動越大，α相應(yīng)地取大值。根據(jù)這種經(jīng)驗，對α進(jìn)行不同的取值，反復(fù)試算，最后選擇試算過程中誤差最小的平滑系數(shù)α作為最優(yōu)的值。

②規(guī)劃求解[22]。將目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為真實值與預(yù)測值差值的平方和，對其進(jìn)行最小化求解，便可以較快的速度進(jìn)行α系數(shù)的優(yōu)選。

本文為保證預(yù)測效果和計算過程的簡潔性，選用規(guī)劃求解的方式來確定α值。

對于(一次指數(shù))平滑序值相關(guān)系數(shù)初始值的確定，我們一般根據(jù)時間序列號t的大小來確定，若t≥15，則以第一期的序值相關(guān)系數(shù)作為初始值，若t<15，則以前三期的序值相關(guān)系數(shù)的絕對平均值作為初始值[21]。

4)確定專家先驗權(quán)重，公式如下:

(4)

2.2 基于群體共識視角的專家后驗權(quán)重的確定

在評價過程中，由于專家自身知識結(jié)構(gòu)、權(quán)威度等因素的影響，各位專家所做判斷信息的可信度會有所差異。根據(jù)專家給出的指標(biāo)信息可信度，進(jìn)而確定專家權(quán)重，一種可行思路是基于群體共識視角，對專家給出的指標(biāo)信息進(jìn)行聚類分組度量。本文將基于該思路確定的專家權(quán)重稱為后驗權(quán)重。

評價活動中，各位評價者給出各個方案的指標(biāo)信息，從各位評價者的指標(biāo)信息中抽取出Z{G11,G12,…,G1m;G21,G22,…,G2m;…;Gn1,Gn2,…,Gnm;Z=n·m}個一維數(shù)據(jù)集(一維數(shù)軸上若干數(shù)據(jù)點的集合)。Gnm表示方案on在指標(biāo)xm下，k位專家給出的指標(biāo)評價信息集。

定義3[1]對Gij={xij1,xij2,…,xijk}中數(shù)據(jù)由大到小進(jìn)行排序，得到有序組gij={bij1,bij2,…,bijk},bijq(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;q=1,2,…,k)為Gij中第q大元素，稱{Δd|Δd=bijq-bij(q+1),q=1,2,…,k-1}為Gij的有序增量集，Δd為Gij的有序增量。

(5)

(6)

(7)

(8)

從h次分組中和Z個一維數(shù)據(jù)集中，抽取出專家eq對應(yīng)的指標(biāo)信息被賦予的比重和，即

(9)

由此計算相應(yīng)的專家后驗權(quán)重為

(10)

基于上述關(guān)于專家后驗權(quán)重的確定思路，給出確定專家后驗權(quán)重的具體過程：

1)根據(jù)定義1，從各評價者的指標(biāo)信息中，抽取出Z個一維數(shù)據(jù)集；

2)對Gij={xij1,xij2,…,xijk}按定義3求得Gij的有序增量集；

3)依據(jù)定義4，求得有序組η；

4)根據(jù)定義5，求出有序組η的極差；

5)求出總的分組次數(shù)h和每一次分組中的數(shù)據(jù)群；

6)依據(jù)式(5)計算出數(shù)據(jù)集Gij中不同分組情況出現(xiàn)的概率；

7)根據(jù)式(6)計算出數(shù)據(jù)集Gij在第f次分組中第u個數(shù)據(jù)組中的指標(biāo)信息個數(shù)占總體的比重；

8)根據(jù)式(7)計算出數(shù)據(jù)集Gij在第f次分組中第u個數(shù)據(jù)組中的指標(biāo)信息xijq被賦予的比重；

9)根據(jù)式(8)得出數(shù)據(jù)集Gij中，第f次分組出現(xiàn)的概率情況下，每一個指標(biāo)信息xijq被賦予的比重；

10)根據(jù)式(9)從h次分組和Z個一維數(shù)據(jù)集中，計算出專家eq的比重和；

11)根據(jù)式(10)，進(jìn)行歸一化處理，求出各專家的后驗權(quán)重。

2.3 專家權(quán)重的確定

在本次評價活動中，考慮專家先驗信息和后驗信息的專家權(quán)重為

(11)

其中0≤φ≤1，且φ的取值越大，說明在本次評價活動中越關(guān)注專家的先驗信息；φ的取值越小，說明在本次評價活動中越關(guān)注專家的后驗信息。

3 應(yīng)用算例

某風(fēng)險投資公司對4個擬投資的初創(chuàng)企業(yè)(o1,o2,o3,o4)進(jìn)行評估，為此邀請了行業(yè)內(nèi)10名專家對它們從商業(yè)模式u1、市場洞察力u2、產(chǎn)品潛力u3、團(tuán)隊能力u4總計4個方面進(jìn)行評價，評價方式采用打分制，分?jǐn)?shù)越高，表示越優(yōu)，打分范圍為1～10分。

3.1 專家先驗權(quán)重的確定

計算10位專家的序值相關(guān)系數(shù)，囿于篇幅，此處僅列出專家e1的歷史評價信息。假設(shè)整理信息可得專家e1相關(guān)歷史評價活動進(jìn)行了6次，具體步驟如下：

1)專家e1的歷史評價信息見表3所示：

表3 評價專家e1的歷史評價信息

2)依據(jù)式(1)可得e1在6次評價活動中序值相關(guān)系數(shù)，如表4所示。

表4 評價專家e1的歷史評價序值相關(guān)系數(shù)

4)選取合適的α值：通過規(guī)劃求解，計算出最優(yōu)的α值為0.0623。

3.2 基于群體共識視角的專家后驗權(quán)重的確定

所有的指標(biāo)信息均由各位專家根據(jù)自己的知識、經(jīng)驗等給出相應(yīng)的分值(考慮到所有指標(biāo)均為極大型指標(biāo)且量綱一致，不對決策矩陣的進(jìn)行規(guī)范化處理)，相應(yīng)評價矩陣信息如表5所示。

表5 專家e1～e10的指標(biāo)信息

囿于篇幅，此處僅展示數(shù)據(jù)集G11的運(yùn)算。

1)從10位專家的指標(biāo)信息中，抽取出一維數(shù)據(jù)集G11={2.2,6.7,2.7,5.3,6.0,4.4,8.4,6.3,7.2,6.9};

2)根據(jù)定義3對G11中的指標(biāo)信息按照從大到小的順序進(jìn)行排列，排列后的數(shù)據(jù)集為g11={8.4,7.2,6.9,6.7,6.3,5.3,4.4,2.7,2.2}。并求得g11的有序增量集Δd={Δ1=1.2,Δ2=0.3,Δ3=0.2,Δ4=0.4,Δ5=0.3,Δ6=0.7,Δ7=0.9,Δ8=1.7,Δ9=0.5};

8)根據(jù)式(7)計算出數(shù)據(jù)集G11第f次分組下每一個數(shù)據(jù)組中的指標(biāo)信息x11q被賦予的比重：f=1時，Δd*∈(0.2,0.3]:

其余分組情況以此類推;

9)根據(jù)式(8)計算出數(shù)據(jù)集G11中，第f次分組出現(xiàn)的概率情況下，每一個指標(biāo)信息x11q被賦予的比重，f=1時，Δd*∈(0.2,0.3]:

其余分組情況以此類推;

10)根據(jù)式(9)從7次分組和16個一維數(shù)據(jù)集中，計算出專家eq的比重和：

Bq=(5.5878,6.9763,5.3845,6.3678,6.1429,

6.2181,6.6279,5.7412,6.4134,7.3793)

11)根據(jù)式(10)進(jìn)行歸一化處理，求出各專家的后驗權(quán)重：

Aq″=(0.0889,0.1110,0.0857,0.1013,0.0978,

0.0990,0.1055,0.0914,0.1021,0.1174)

3.3 專家權(quán)重的確定

根據(jù)式(11)計算10位專家的權(quán)重。實際應(yīng)用過程中，若更傾向于先驗信息，則對φ賦予較大的值；若更傾向于后驗信息，則對φ賦予較小的值，本次計算φ取0.5，計算結(jié)果見表10。

表6 10位專家的權(quán)重

在計算中可以看出，因知識結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗、能力、專業(yè)水平等的不同，以及受不確定性因素的影響，專家們在問題的分析及評判上存在差異，進(jìn)而在群體評價中各位專家的權(quán)重也存在差異。

對φ從0到1以0.01的步長取值，可以發(fā)現(xiàn)專家1、3、4、5、6、8、9的權(quán)重呈上升趨勢，專家2、7、10的權(quán)重呈下降趨勢。當(dāng)φ=0時表示僅考慮后驗信息；當(dāng)φ=1時表示僅考慮先驗信息。對φ在不同情況下取值，求解對應(yīng)的10位專家權(quán)重的誤差平方和(實際應(yīng)用過程中，可根據(jù)具體情況選用其它度量離散程度的方法)，具體見圖1。通過求解專家權(quán)重誤差平方和，可為評價活動的實施者對專家賦權(quán)提供參考。若決策者傾向于專家之間的差異性，則選擇專家權(quán)重誤差平方和較大時對應(yīng)的φ值，反之，選擇專家權(quán)重誤差平方和較小時對應(yīng)的φ值。

圖1 專家權(quán)重誤差平方和散點圖

3.4 不同方法的比較研究

應(yīng)用文獻(xiàn)[23]中提出的離差最大化的決策者權(quán)重確定方法，經(jīng)計算得到的專家權(quán)重為:

A1=0.0782;A2=0.1267;A3=0.1194;

A4=0.1190;A5=0.0828;A6=0.1101;

A7=0.0988;A8=0.1112;A9=0.0973;A10=0.0565

應(yīng)用線性加權(quán)計算各初創(chuàng)企業(yè)的綜合評價值分別為

y1=6.2707;y2=6.1465;y3=6.1227;y4=5.5073

因此，各初創(chuàng)企業(yè)的排序結(jié)果是：o1?o2?o3?o4。

在保證指標(biāo)權(quán)重與上述方法一致的前提下，利用本文提出的專家權(quán)重確定方法(φ取0.5)，可得各初創(chuàng)企業(yè)的綜合評價值為

y1=6.2033;y2=6.1377;y3=6.0352;y4=5.5320

對應(yīng)的排序結(jié)果是：o1?o2?o3?o4。經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，本文提供的方法與文獻(xiàn)[23]中所提方法排序結(jié)果是一致的，表明本文所提出的專家權(quán)重確定方法的合理性以及適用性，可在評價信息為精確值時的場景中作進(jìn)一步應(yīng)用。本文通過對φ值的選取，既考慮到歷史評價信息，又兼顧到當(dāng)下評價信息，將兩種客觀權(quán)重進(jìn)行組合賦權(quán)，得到比較科學(xué)合理的專家權(quán)重。φ取值的大小，充分考慮了方法使用者對于先驗信息和后驗信息的偏好，基于專家權(quán)重誤差平方和，進(jìn)一步為方法使用者針對評價專家差異性的偏好選擇提供了參考。相比文獻(xiàn)[24]中將主客觀權(quán)重進(jìn)行組合的方式，本文中專家先驗權(quán)重和后驗權(quán)重的確定均以一定的客觀數(shù)據(jù)信息為依據(jù)，進(jìn)一步減少了主觀因素的影響。

4 結(jié)語

本文根據(jù)現(xiàn)有確定專家權(quán)重的研究，以及一維數(shù)據(jù)聚類等思想，給出了確定專家先驗權(quán)重和后驗權(quán)重的方法：

(1)根據(jù)專家以往參與群體評價的歷史信息，給出了一種確定專家先驗權(quán)重的方法。為專家賦權(quán)的過程中，充分考慮各位專家的歷史評價信息，利用現(xiàn)有統(tǒng)計方法預(yù)測下一次專家評價活動的準(zhǔn)確度，以此給出相應(yīng)權(quán)重。本文先驗權(quán)重的求解方法，相比傳統(tǒng)的打分制確定權(quán)重的方式，減少了一定的隨機(jī)性，對先驗信息的利用更加公正合理。

(2)結(jié)合一維數(shù)據(jù)聚類的思想，給出了一種確定專家后驗權(quán)重的方法。考慮專家對各個方案在各個指標(biāo)之下的理解程度，基于群體共識視角進(jìn)行聚類分析，將分組以概率的形式展現(xiàn)，保證了參評專家信息的完整性，避免了信息缺失。相比傳統(tǒng)的剔除異常值的求解思路，更大程度地保證了評價活動中信息的完備性。

最后，本文通過一個算例說明了這兩種確定專家權(quán)重方法的合理性和有效性。在未來的研究工作中，可以嘗試將后驗權(quán)重的求解思路拓展至指標(biāo)權(quán)重的求解方法和評價信息為不確定值時的評價情景中。