以動態(tài)數(shù)學技術(shù)助力核心素養(yǎng)發(fā)展*
——以“正弦定理”教學為例

甘麗娟 周 瑩 李欣欣

(廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,541006)

Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件是一款集“制作素材”與“輔助教學”為一體的動態(tài)教育技術(shù)工具,具備制作可操控動態(tài)數(shù)學積件、測量動態(tài)數(shù)值、控制動態(tài)參數(shù)、處理動態(tài)數(shù)據(jù)、模擬隨機過程、跟蹤對象軌跡等功能[1].軟件可以展示對象運動或變化過程,呈現(xiàn)對象變化或運動軌跡,實時觀測對象相關(guān)參數(shù),化靜為動,化虛為實,解決傳統(tǒng)教學中的“成像”難題,減輕教師教學苦點,撫平學生學習痛點,極大地提高課堂教學的效率.

本文以 “正弦定理”的教學設(shè)計為例,借助動態(tài)數(shù)學技術(shù),讓學生在正弦定理相關(guān)知識的學習過程中內(nèi)化和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

一、創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問題

1.問題情境

如圖1所示,某漁船B在航行中不幸遇險,發(fā)出求救信號.海上巡視軍艦A獲悉后,立刻向4.2海里外的指揮部C請求救援指令.經(jīng)觀測,知∠BAC為45°,∠ACB為105°,已知軍艦航速為18海里/小時,則遇險漁船需要堅持多久才能獲救?

設(shè)計意圖選取“海上救援問題”作為背景引入,充分調(diào)動學生“搶險救災(zāi)”的緊張氛圍和積極行動心理,讓學生躍躍欲試.

2.問題抽象

分析已知三角形中AC的長度及∠BAC和∠ACB的大小,求AB的長度,問題抽象為“已知三角形其中的兩個角和一條邊,求另外兩邊的邊長”——問題的實質(zhì)是三角形邊和角的數(shù)量關(guān)系.

問題1由于解直角三角形的知識無法直接運用到斜三角形上,初中學過的三角形“大邊對大角,小邊對小角”一般性質(zhì)也無法滿足解決問題的需求,能否把三角形的邊角關(guān)系進行準確量化呢?

設(shè)計意圖讓學生體會數(shù)學知識源于生活,引導(dǎo)學生將現(xiàn)實情境抽象為數(shù)學模型與問題,滲透數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng),培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界的能力.

二、問題驅(qū)動,探究新知

問題2要量化三角形的邊角關(guān)系,可以從熟識的直角三角形入手.請大家回憶一下直角三角形中(圖2)有哪些邊角關(guān)系?(具體關(guān)系略)

問題3觀察上述式子,挖掘共同點,能否找到某些等量關(guān)系式?

設(shè)計意圖通過觀察直角三角形的三角函數(shù),分析它們內(nèi)在聯(lián)系,尋找數(shù)量關(guān)系,變形轉(zhuǎn)化,初嘗正弦定理公式,培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

三、直觀感知,抽象概念

師:同樣也可以利用動態(tài)數(shù)學技術(shù)觀測在一般三角形中的情況.

對邊a=3.1b=1.8c=2.5角∠A=90°∠B=36°∠C=54°對邊sin(角)asin A=3.1bsin B=3.1csin C=3.1

對邊a=1.9b=3.9c=2.6角∠A=23°∠B=124°∠C=33°對邊sin(角)asin A=4.7bsin B=4.7csin C=4.7

活動2操作動態(tài)積件(任意拖動點A、點B或點C,改變?nèi)切蜛BC的形狀和大小,如圖4所示,掃碼參見詳情),讓學生觀察數(shù)據(jù)欄數(shù)值變化情況,總結(jié)歸納共同點.

設(shè)計意圖借助動態(tài)數(shù)學技術(shù),對三角形形狀大小及其參數(shù)變化進行實時觀測,化抽象為具體,讓學生直觀感知正弦定理,并從具體的數(shù)值規(guī)律中抽象概括出本節(jié)課的概念,促進學生直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)發(fā)展.

問題4通過前面具體數(shù)值測量計算,我們知道正弦定理在一般的三角形中也成立,但如何證明呢?

設(shè)計意圖拋出疑問——如何進行一般性證明,引發(fā)學生進一步思考探究,培養(yǎng)學生知識應(yīng)用與遷移能力、分析與圖形構(gòu)造能力,為培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)提供基礎(chǔ)條件.

活動3分組探究,讓部分學生證明在銳角三角形(圖5)中的情況,另一部分學生證明在鈍角三角形(圖6)中的情況?教師可啟發(fā)與引導(dǎo)學生充分利用已有的經(jīng)驗,讓一般三角形搭上直角三角形的“順風車”,尋找等量聯(lián)系.對于有其他想法的小組,予以鼓勵與引導(dǎo).

活動4學生分享與交流,教師總結(jié)歸納(推導(dǎo)過程省略)

設(shè)計意圖引導(dǎo)學生化一般為特殊,巧妙化解難點,使舊知發(fā)生遷移和創(chuàng)造,既培養(yǎng)學生利用直觀圖形分析和解決問題的能力,也讓學生體會從一般到特殊和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想,推動學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)悄無聲息地生長.

① 具有“結(jié)構(gòu)不變,字母可變”性;

② 具有“分子為‘邊’,分母為‘邊所對角的正弦’”的統(tǒng)一性、對稱性和簡潔性.

設(shè)計意圖通過賞析定理公式,讓學生感受數(shù)學的統(tǒng)一美、對稱美和簡潔美,感受到數(shù)學的邏輯性和嚴謹性以及數(shù)學思想精神的豐富性,提升學生數(shù)學素養(yǎng).

四、拓展提升,發(fā)展思維

1.追根溯源,了解正弦定理背后的數(shù)學文化

活動5向?qū)W生闡述展示正弦定理的發(fā)展歷程和背后人物故事.主要講述希帕科斯的故事，解釋“正弦”這一概念的產(chǎn)生和“正弦定理”的發(fā)現(xiàn),展示不同時代定理證明的演化過程和證明的思想方法,例如，納綏爾丁的同徑證明法、韋達開創(chuàng)性的外接圓證明法以及伍德豪斯直角三角形證法等[2][3].

設(shè)計意圖講述正弦定理的歷史發(fā)展,為下面引出正弦定理的比值意義和外接圓證明方法做鋪墊.

2.直觀感知,透析正弦定理比值意義

活動5操作積件(拖動變量尺改變?nèi)切蔚拇笮?外接圓隨之變化),拖動三角形的頂點改變?nèi)切蔚男螤?如圖7所示,掃碼參見詳情),通過數(shù)值觀測向?qū)W生揭示:在任意三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比值等于其外接圓半徑的2倍.

設(shè)計意圖借助正弦定理的歷史文化知識啟發(fā)學生,讓學生“跳一跳”就能夠得到正弦定理背后比值的意義,動態(tài)數(shù)學技術(shù)輔助猜想,化抽象為直觀,使學生對正弦定理有更完整的認識,逐步提升學生的數(shù)學思維品質(zhì).

3.課外延伸,類比三維空間

課后探究在平面中,我們從直角三角形出發(fā),得到結(jié)論猜想,再證得正弦定理.若把二維平面類比推廣到三維空間, 即把三角形類比為三棱柱(如圖8), 將會得到什么類似正弦定理結(jié)構(gòu)的結(jié)論?

設(shè)計意圖將正弦定理類比推廣到三維空間,為學有余力的學生提供學習發(fā)展的需要.

五、應(yīng)用新知,固化提升

問題8學完本節(jié)課的新知識,現(xiàn)在你能用正弦定理估算出遇險漁船需要等待多久才能獲救了嗎?

解題思路已知兩個角(∠BAC和∠ACB)以及一條邊的長度(AC),挖掘隱含條件∠C,利用正弦定理可表示出AB和BC邊,然后代入已知數(shù)據(jù)便可迎刃而解.

設(shè)計意圖讓學生運用新知嘗試計算海上救援時間問題,既體現(xiàn)問題設(shè)置的有效性,又符合學生運用新知解決問題的心理期待,學生通過動手分析和解決問題,有利于加強對數(shù)學知識應(yīng)用價值的認同感和加深對正弦定理的理解,提高學生數(shù)學運算素養(yǎng).

變式訓(xùn)練在?ABC中,已知a=6,c=3,C=60°,求?ABC的其他各邊和各角,并計算三角形的面積.

設(shè)計意圖通過變式“知兩邊和一角,解三角形”,讓學生解決不同于情境 “知兩角和一邊”的問題,學會運用正弦定理解決斜三角兩類基本問題,領(lǐng)會解三角的含義,并體會三角形新面積公式求解三角形面積的價值.

六、總結(jié)歸納,內(nèi)化新知(略)