基于學(xué)情分析 提升運算素養(yǎng)
——以三角和數(shù)列復(fù)習(xí)為例

丁晨麗

(浙江省杭州市艮山中學(xué),310005)

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是中學(xué)生應(yīng)具備的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一．它是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段,貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,也是形成和發(fā)展其它數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)．高三教學(xué)內(nèi)容的諸多板塊,如三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、圓錐曲線等，都特別注重對數(shù)學(xué)運算的考查．學(xué)情不同,年段不同,提升運算素養(yǎng)的策略也各不相同,但根本目標(biāo)是提高復(fù)習(xí)的實效,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．本文以高三第一輪復(fù)習(xí)為例對此進行探究．

一、回歸運算起點,準(zhǔn)確掌握運算法則,注重思想方法的一致性

一輪復(fù)習(xí)的首要任務(wù)是喚醒,教學(xué)設(shè)計要注重回歸學(xué)生認知的原點,重新理解運算對象及運算法則,舍得花時間注重對具體運算過程的示范引領(lǐng)和指導(dǎo),加強基礎(chǔ)運算,促進學(xué)生對基本方法、基本元素的理解和掌握,強化知識的梳理和重建．

例1(浙江省2006年高考第11題)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若S5=10,S10=-5,則公差為______．

變式設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S5=10,S10=-5,則公比為______.

等差與等比數(shù)列是兩類基本的數(shù)列模型,是數(shù)列問題轉(zhuǎn)化和化歸的原型．對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生首先該落實基本的解題方法．等差(比)數(shù)列通常稱為二元數(shù)學(xué)對象,首項與公差(比)是它們的“元”,求解等差(比)問題通常是轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩個“元”的方程(組)來求解．復(fù)習(xí)時要引導(dǎo)學(xué)生回歸元的思想和方程(組)的思想,感悟等差、等比數(shù)列解題方法的一致性．在求解結(jié)果時,應(yīng)注重解題示范,讓學(xué)生對比兩個問題中方程組求解的差別,加深印象．

在復(fù)習(xí)課中,示范如何列方程組,如何求解,看似沒有必要,但對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生來說,這樣的示范更具有導(dǎo)向性,過程體驗有利于學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范的思維方式．教學(xué)不能局限于一招一式的“解題術(shù)”,要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的一致性,多做典型示范,助推學(xué)生養(yǎng)成好的運算習(xí)慣．

二、正確對待“硬算”,體驗算法優(yōu)化過程,感悟方法的普適性

在復(fù)習(xí)時,常常有老師提到:“前兩天剛復(fù)習(xí)過,今天提問怎么都不知道！”“怎么越復(fù)習(xí)考得越差!”在復(fù)習(xí)三角函數(shù)求值問題時,可以設(shè)計下面一組題:

溢流室壓力隨噴漿速度升高的變化幅度較小。當(dāng)前所研究的噴漿速度范圍10～180 m/min與溝槽內(nèi)表面速度21 m/s(即1260 m/min)相差巨大，所以噴漿速度的升高對流道內(nèi)流速的影響很小，環(huán)形流道內(nèi)漿流流速主要靠溝槽輥轉(zhuǎn)速帶動。

這類三角恒等變換求值問題在前面都已學(xué)過,多數(shù)學(xué)生卻忘得一干二凈,他們習(xí)慣把已知條件等式與sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程組求解sinα,cosα,俗稱“硬算”．在實際教學(xué)中由于有更好的解題方法,這種“硬算”法往往被忽略,或者被鄙視．其實基礎(chǔ)弱的學(xué)生最害怕一題多解．在一輪復(fù)習(xí)初期,教師應(yīng)該尊重學(xué)生的這種算法,幫助學(xué)生回歸認知原點,循序漸進,不能硬拔,課堂上舍得花時間讓學(xué)生完整規(guī)范地算完．因為一方面這種方法屬于通法通解,5道題都能解決；另一方面讓學(xué)生自己多參與、多體會、多感悟,參與運算的全過程,感悟方法的普適性,體會運算成功的喜悅．

從而求得結(jié)果．在解答過程中,和學(xué)生一起厘清題目的內(nèi)在聯(lián)系,歸納和總結(jié)“算法”(圖2),揭示題組中(1)和(2)所蘊含的數(shù)學(xué)背景,再進一步將問題一般化,這樣不但能解決一個問題,而是能解決一類問題．這樣可以提升理解的深刻性和運用的靈活性．

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題組中(3)(4)(5)與(1)(2)的共同點和不同點,共同點是題設(shè)本質(zhì)上是相同的,不同的是求解的三角函數(shù)不同．題設(shè)本質(zhì)相同,可以通過合一變形轉(zhuǎn)化為sin(α+φ)=m,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?求解內(nèi)容不同了,是否還有其他方法?學(xué)生在進一步的探究思考中,不僅能深刻理解之前歸納的算法,還會探究出其他通用方法如平方法(圖3)．

三角是基礎(chǔ)薄弱學(xué)生得分的重點,“會做算不對”是學(xué)生的常見毛病,其本質(zhì)是習(xí)慣于“照搬”,對知識理解不透徹,運算不過硬．對于基礎(chǔ)比較弱的學(xué)生教學(xué)要做減法,減的目的是為了讓學(xué)生有更多的時間思考和領(lǐng)悟．這是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)必不可少的過程．要重基礎(chǔ),注重通性通法的培養(yǎng),優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計,不斷培養(yǎng)思維的深刻性,也要引導(dǎo)學(xué)生深層次思考問題,注意培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成反思解題過程和優(yōu)化解法的習(xí)慣,能從不同層次不同角度認識知識間的內(nèi)在一致性和關(guān)聯(lián)性,體會數(shù)學(xué)的整體性．

三、組合“知識塊”,明確運算方向,提升邏輯的連貫性

數(shù)學(xué)運算屬于邏輯推理,傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)將數(shù)學(xué)內(nèi)容碎片化為知識點,采用“灌輸+記憶”的方式強加給學(xué)生,再通過刷題提高解題技巧,對于邏輯推理能力弱的學(xué)生來說，這種方式并不利．復(fù)習(xí)時我們可以采用“知識組塊”策略,將長線思維分割成短線,一段一段地落實,這樣既能提升思維的連貫性,又能精準(zhǔn)落實知識點.對學(xué)生而言,易操作,方向明確,從而提升學(xué)習(xí)效果．

三角函數(shù)類解答題往往呈現(xiàn)一定的規(guī)律且相對穩(wěn)定,可以將其分割成三個知識組塊:恒等變形塊,性質(zhì)塊和求值塊．恒等變形塊主要是把已知三角函數(shù)式運用三角恒等變形公式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式,它是研究第二塊三角函數(shù)性質(zhì)最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)．對于恒等變形,可以設(shè)計這樣的程序式的知識塊(如圖4),形成知識縱向聯(lián)系的主線,使三角變換的目標(biāo)清楚,運算方向明確,思路清晰明朗,避免學(xué)生許多徒勞無益的盲目嘗試．性質(zhì)塊研究可以參考圖5,以方法為關(guān)鍵詞,構(gòu)建一類正弦類函數(shù)模型性質(zhì)問題解決的一般思路,感受變量代換法和圖象法在研究正弦類函數(shù)性質(zhì)中的差異,凸顯知識的內(nèi)在聯(lián)系,提升邏輯推理和運算素養(yǎng)．

知識塊與塊之間無縫連接提升學(xué)生對知識的綜合運用能力,優(yōu)化數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)．“知識塊”更凸顯知識的整體性,方便學(xué)生獲取解題思路,縮短思維長度,減少錯漏,提高運算的準(zhǔn)確度．運算能力增強會促進自身邏輯思維能力的提升．

具體的知識塊可以是大結(jié)構(gòu)也可以是小結(jié)構(gòu),可抽象也可具體．學(xué)生也可以根據(jù)自身需求,對所學(xué)知識或者做過的題型進行歸納和整理,構(gòu)建個性化的知識塊．

隨著復(fù)習(xí)的深入,經(jīng)驗不斷積累,這種塊的規(guī)模也會擴大．積少成多整理的過程,會促進學(xué)生從具體問題中學(xué)會抽象概括,再到類比推理,逐步形成思維的正向遷移,加深對概念方法的聯(lián)系和理解,提升運算的準(zhǔn)確度．