同構思想在教學中的應用
——以導數問題教學為例

李 安

(江蘇省常熟中學，215500)

縱觀近年各地高考,導數作為考查熱點、難點，頻頻以指數函數和對數函數混合的形式呈現(xiàn)給考生.這類問題主要考查零點問題、不等式恒成立或有解問題.常用的解決方法有三種:一是指數對數分離后轉化為易于求最值的函數;二是利用放縮法將指數函數或者對數函數轉化為多項式,然后再作處理;三是直接求導研究函數最值,借助隱形零點消去指數或對數，化簡運算.2020年新高考山東卷21題第(2)問的眾多解法中,運用“同構”思想將一道復雜的導數題精彩地轉化為結構簡潔的單調性問題,可謂“四兩撥千斤”.這種問題解決的快感,讓老師和學生們都開始關注起“同構”這把利劍.在去年4月份的蘇州市高三數學二輪復習研討活動中,筆者以“同構思想在導數問題中的應用”為題開設一節(jié)公開課,受到聽課教師的一致好評,現(xiàn)將課堂實錄及教學反思呈現(xiàn)給大家.

一、課堂實錄

1.課前思考

(1)求證:函數f(x)有唯一零點;

(2)若?x∈(0,+∞),xex-lnx≥1+ax恒成立,求實數a的取值范圍.

教師提前一天讓學生完成上面的題目,并要求遇到問題后請保留原稿,課前整理學生的解答并投影呈現(xiàn).

問題1請學生甲來說說解答時遇到的困難是什么?

追問1:是什么導致化簡失敗?

師生互動:學生甲分析原因,指出需轉化的式子是指數對數混合式.

追問2:那些你會轉化的式子的結構又如何?

師生互動學生思考,發(fā)現(xiàn)能轉化的是簡單的指數型或對數型式子.學生在教師引導下嘗試通過多項式這個橋梁，把指數對數混合式轉化到指數型或對數型.教師提出跨階函數、跳階函數的概念.我們不妨把指數和多項式混合的函數稱為跨階函數,同樣對數和多項式混合的也稱為跨階函數,而既有指數又有對數的稱為跳階函數.目前,我們還沒有能力直接去處理跳階函數,所以需要把跳階函數轉化為低一階的跨階函數.

設計意圖通過實際遇到的問題,引導學生觀察函數結構,激活學生已有的知識儲備,為本節(jié)課研究同構式找到探究方向.

2.探究歸納

問題2請寫出你比較熟悉的跨階函數,以一次函數和指數函數、對數函數混合為例.

師生互動引導學生寫出y=xex和y=xlnx積型的跨階函數,y=x+ex和y=x+lnx和型的跨階函數.

追問1:以y=xex和y=xlnx兩個積型跨階函數為例,尋找兩者聯(lián)系,是否能互化?

追問2:我們知道和差互為逆運算,你能找到y(tǒng)=ex-(x+1)這個差型跨階函數的同構型函數嗎?

問題3請學生甲回答,課前遇到的隱形零點問題能否通過同構這個思想方法降階后化簡呢?

設計意圖讓學生獨立思考、自主探究,回答本課時兩個重要問題:同構式到底是什么?同構式可以解決什么問題?

3.小試身手

師生互動學生審題后,請學生乙交流思考過程.首先指數對數分放不等式兩側,并使參數在同一側,原不等式等價于λeλx≥lnx.再利用一次函數作橋梁兩邊同乘x形成積型跨階函數,有λxeλx≥xlnx.學生乙選擇結構同左構造函數f(x)=xex,將不等式等價于f(λx)≥f(lnx)，最后利用f(x)的單調性完成此題.

學生丙在學生乙的基礎上選擇結構同右構造函數f(x)=xlnx,將不等式等價于f(eλx)≥f(x).此時,教師引導學生,能否構造和差型跨階函數.討論發(fā)現(xiàn),通過兩邊同取對數將不等式化為λx+ln(λx)≥lnx+ln(lnx),可構造函數f(x)=x+lnx,于是不等式等價于f(λx)≥f(lnx).

例2已知函數f(x)=ex-aln(ax-a)+a,a>0若f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍.

師生互動學生獨立做題,教師巡視答疑,指導學生探索調整不等式結構.首先參數a與lnx分開,通過真數x-1,聯(lián)想到若構造的跨階函數是外層函數,則x-1為內層函數,從而可把不等式等價轉化為ex-ln a+x-lna>ln(x-1)+x-1.構造函數g(x)=ex+x,則不等式等價于g(x-lna)>g(ln(x-1)),利用g(x)的單調性完成本題解答.

設計意圖讓學生初步掌握同構式怎么構造,如何選取函數.同時進一步了解同構思想可以運用于零點問題,也可解答不等式恒成立問題.

例3(2020年高考山東卷21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略;

(2)若f(x)≥1,求實數a的取值范圍.

師生互動學生獨立解答,通過上一環(huán)節(jié),學生基本可以順利構造函數.教師利用多媒體呈現(xiàn)解答.

解不等式f(x)≥1即aex-1-lnx+lna≥1?ex+ln a-1+lna-1≥lnx?ex+ln a-1+x+lna-1≥x+lnx,所以構造函數g(x)=ex+x,則g(x+lna-1)=ex+ln a-1+x+lna-1,g(lnx)=x+lnx,所以原不等式等價于g(x+lna-1)≥g(lnx)．因為g(x)=ex+x在R上遞增,所以不等式等價于x+lna-1≥lnx恒成立,故lna≥(lnx-x+1)max=0,從而a≥1.

設計意圖通過走近高考題,讓學生進一步深刻理解同構是什么？同構解決什么問題？怎么同構？同時規(guī)范學生利用“同構”思想解答問題時的書寫.

4.再探課前思考題

師生互動整理課前思考題時發(fā)現(xiàn)，有一部分學生解答第(2)小題并未借助第(1)小題中的隱形零點,請學生丁用多媒體展示他的解答：將?x∈(0,+∞),xex-lnx≥1+ax恒成立整理成?x∈(0,+∞),ex+ln x-(x+lnx)-1≥(a-1)x恒成立.令t=x+lnx,不等式左側換元構造g(t)=et-t-1,由已有知識可知g(t)≥0恒成立所以當a≤1時,左側(a-1)x≤0恒成立,此時不等式恒成立，所以a≤1滿足題意，然后引導學生找到a>1時的矛盾點，當a>1時,左側t=0時，有g(0)=0,用零點的存在性定理可證明t=x+lnx存在唯一正零點x0,此時(a-1)x0>0與不等式恒成立矛盾.綜上a≤1.

問題4這個解法并沒有把不等式化到左右同構函數,但左側的函數構造上與本節(jié)課的同構思想是否是相通的?

師生互動學生獨立思考,學生戊回答兩者都是把指數對數跳階函數降階變?yōu)榭珉A函數,化到我們比較熟悉的那些函數,便于化簡運算.兩者都是通過換元,構造形式更為簡單的外層函數和內層函數,是把復合函數像剝洋蔥那樣一層一層分解開來，教師肯定學生的思考發(fā)現(xiàn),總結本節(jié)課同構思想的本質.同構從某種意義上不是表面上構造左右相同結構的函數,借助單調性來解決不等式恒成立問題,方程有解問題那么淺顯,同構思想的本質是換元降階.

設計意圖通過再探課前思考題,挖掘提升對同構思想本質的理解.通過本節(jié)課的學習,學生能意識到同構式需要構造一個母函數,即外層函數，通常為f(x)=xex，f(x)=x+ex，f(x)=ex-x-1這三個母函數.在這里,跳階函數需要先變形轉化才能同構,如何變形,又能變形成哪些常用形式,未作深究,等學生基本結構比較熟練后再加深研究本節(jié)課，旨在讓學生看到同構思想的本質.學生只有真正回答了一開始提出的三個問題,才能把同構思想運用得心應手.

二、教學反思

蘇步青說過:“學習數學要先知其然,然后知其所以然”.要想真正學通學透“同構”,就必須認真回答好三個問題:同構式到底是什么?同構式能解決什么問題?同構式怎么構造,如何選取函數?本節(jié)課的教學,正是圍繞著這三個問題的探究解決而展開的.教學過程可概括為兩句話:“三問題孜孜以求作探究,四層次步步為營明同構”.

具體這節(jié)課的結構與設計如圖1所示.為解決上述三個問題,本課選取多個典型題目,分成四個片段“課前思考、探究歸納、小試身手、再探課前思考”展開教學,這四個片段依次可概括為:“探”同構、“出”同構、“用”同構、“擴”同構,步步為營,通過這節(jié)課的教學最終讓學生達到“明”同構.

在教學中,注意放手讓學生進行探究,適時啟發(fā),將思維逐步引向深入,直至本質.在“課前思考”教學片段中,首先問“解答時遇到的問題是什么”,再追問“是什么導致你化簡失敗”,“那些你會轉化的式子的結構又如何”.以此三個問題來“探”同構,以教學中學生碰到的真實問題為研究對象,引出解決此類問題的有效方法,并對函數模型進行概括,這是對同構的初探.緊接著在“探究歸納”教學片段中,讓學生列舉以一次函數和指數函數、對數函數混合的跨階函數,并歸納成和差積商四種模型,這是從抽象到具體的過程,是“出”同構的過程.通過這兩個環(huán)節(jié)的教學,讓學生明白了“同構式到底是什么？”“同構式能解決什么問題?”第三個環(huán)節(jié)“小試身手”是“用”同構的過程,以三個例題作為同構方法的應用體驗,將問題解決的機會均留給學生,對如何變形趨同，如何構造函數？由學生交流討論,完成問題三“同構式怎么構造,如何選取函數?”同時也使學生對“同構式能解決什么問題”的理解更為深刻,讓學生積累了較為有用的數學活動經驗.至此,似乎教學任務已完成,但本節(jié)課的教學并未止步于此.第四個環(huán)節(jié)“再探課前思考”將我們進一步引向深入,是“擴”同構的過程,揭示數學的本質.同構從某種意義上說不像我們理解的僅僅是構造左右相同結構的函數,借助單調性來解決不等式恒成立問題和方程有解問題那么淺顯,同構思想的本質是換元降階,做到畫龍點睛.

同構思想總結起來為“同在前,構在后;同是難點,構是落點;同是形式,構是內涵;同構是方法,降階是本質”.