湘教版和人教A版高中《數(shù)學(xué)》必修教科書(shū)“函數(shù)”內(nèi)容比較研究

張曉東 孟彩彩 何軍海

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院,730070) (甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué),735000)

本文選取湖南教育出版社出版的普通高中《數(shù)學(xué)》(簡(jiǎn)稱湘教版)“函數(shù)”為研究對(duì)象,運(yùn)用內(nèi)容分析法與比較法,從體例結(jié)構(gòu)、內(nèi)容分布、內(nèi)容呈現(xiàn)方式與例題習(xí)題設(shè)置四方面，將其與人民教育出版社出版的普通高中《數(shù)學(xué)》必修教科書(shū)A版(簡(jiǎn)稱人教A版)進(jìn)行比較分析．

一、比較結(jié)果及分析

1.體例結(jié)構(gòu)

由圖1可知,兩版教科書(shū)章結(jié)構(gòu)都由章頭圖/語(yǔ)、節(jié)、拓展欄目與小結(jié)四個(gè)部分構(gòu)成．關(guān)于章前圖/語(yǔ),湘教版先有章頭圖后有章頭語(yǔ),章頭圖配有y=f(x)，A=Bc等數(shù)學(xué)符號(hào),點(diǎn)明本章主題,章頭語(yǔ)簡(jiǎn)明扼要地介紹本章主要內(nèi)容；人教A版先有章頭語(yǔ)后有章頭圖,章頭語(yǔ)主要包括相關(guān)現(xiàn)實(shí)情景、前章內(nèi)容回顧、本章主要任務(wù)三個(gè)部分．關(guān)于節(jié),兩版教科書(shū)均由節(jié)引言、正文、練習(xí)題、習(xí)題構(gòu)成,不同的是:湘教版利用“多知道一點(diǎn)”及時(shí)拓展本節(jié)內(nèi)容,供學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)；人教A版通過(guò)“觀察”、“思考”、“探究”、“歸納”等欄目呈現(xiàn)概念、定理、公式等．關(guān)于拓展欄目,湘教版設(shè)有“數(shù)學(xué)文化”、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”欄目；人教A版設(shè)有“閱讀與思考”、“信息技術(shù)應(yīng)用”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目．關(guān)于小結(jié),湘教版稱之為“小結(jié)與復(fù)習(xí)”；人教A版稱之為“小結(jié)”,兩版教科書(shū)小結(jié)部分都由知識(shí)結(jié)構(gòu)圖、回顧與思考、復(fù)習(xí)參考題三部分構(gòu)成．此外,兩版教科書(shū)對(duì)習(xí)題和復(fù)習(xí)題都作了分層設(shè)計(jì),僅命名方式有所不同,湘教版設(shè)有“學(xué)而時(shí)習(xí)之”、“溫故而知新”、“上下而求索”,人教A版設(shè)有“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合應(yīng)用”、“拓廣探索”．

2.內(nèi)容分布

(1)內(nèi)容選擇

兩版教科書(shū)在函數(shù)單調(diào)性證明、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)建模三個(gè)內(nèi)容選擇上存在差異．

對(duì)于函數(shù)建模,湘教版有“形形色色的函數(shù)模型”和“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”,突出基本初等函數(shù)模型的綜合應(yīng)用,初步滲透建模思想和建模過(guò)程．人教A版有“函數(shù)應(yīng)用(一)”和“函數(shù)應(yīng)用(二)”、“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”、“三角函數(shù)的應(yīng)用”,其中“函數(shù)應(yīng)用(一)”與“函數(shù)應(yīng)用(二)”側(cè)重基本初等函數(shù)模型的直接應(yīng)用,初步滲透建模思想,“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”、“三角函數(shù)的應(yīng)用”較為完整地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程．

(2) 編排順序

兩版教科書(shū)函數(shù)內(nèi)容的編排順序大致相同,但在以下幾處有差異．

① 冪函數(shù)與實(shí)數(shù)指數(shù)冪的編排順序

湘教版先結(jié)合初中所學(xué)的開(kāi)平方、開(kāi)立方、二次根式引入根式,介紹n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系,說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,再通過(guò)有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪并建立實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念,最后以“水滴成霧”的素材引出冪函數(shù)的概念．這種編排更加注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的邏輯順序,也有助于學(xué)生理解冪函數(shù)中指數(shù)的取值范圍．人教A版先通過(guò)四個(gè)實(shí)際問(wèn)題,從函數(shù)解析式的形式出發(fā)歸納出冪函數(shù)的概念,再由平方根、立方根的意義入手說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,進(jìn)而通過(guò)夾逼思想建立實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念．

② 三角恒等變換編排順序

三角恒等變換是研究三角函數(shù)的重要工具,構(gòu)成相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)邏輯體系．湘教版將三角恒等變換置于必修第二冊(cè)平面向量及其應(yīng)用之后,利用向量的夾角公式得出“兩角差的余弦公式”,不僅簡(jiǎn)化了運(yùn)算,還將三角恒等變換及解三角形作為平面向量的應(yīng)用,更突出了向量工具性．人教A版將三角恒等變換置于誘導(dǎo)公式之后,豐富了三角函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,為三角函數(shù)的研究奠定基礎(chǔ)．

3.內(nèi)容呈現(xiàn)方式

函數(shù)內(nèi)容呈現(xiàn)方式從整體設(shè)計(jì)思路、素材選取、概念引入三個(gè)方面進(jìn)行分析．

(1) 整體設(shè)計(jì)思路

函數(shù)內(nèi)容包括函數(shù)概念與基本性質(zhì),冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù),分別對(duì)其整體設(shè)計(jì)思路進(jìn)行梳理．

① 函數(shù)概念與基本性質(zhì)

由圖2，3可以看出,兩版教科書(shū)都介紹了函數(shù)的概念,解析法、列表法、圖象法三種表示方法與函數(shù)基本性質(zhì),不同的是湘教版還介紹了以黎曼函數(shù)、狄利克雷函數(shù)為代表的描述法．對(duì)于分段函數(shù),湘教版單獨(dú)設(shè)節(jié),人教A版則設(shè)置在圖象法之后,人教A版還設(shè)置了函數(shù)應(yīng)用的內(nèi)容．

② 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

由圖4，5可看出,兩版教科書(shū)把“指數(shù)冪運(yùn)算”作為冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)共同的運(yùn)算基礎(chǔ),都通過(guò)指數(shù)的相關(guān)內(nèi)容引出對(duì)數(shù)及其運(yùn)算,體現(xiàn)了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”．兩版教科書(shū)函數(shù)的應(yīng)用部分均設(shè)計(jì)了函數(shù)與方程的內(nèi)容,突出以函數(shù)的觀點(diǎn)看方程,將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn),用二分法求方程的近似解．人教A版強(qiáng)調(diào)指數(shù)定義及運(yùn)算、對(duì)數(shù)定義及運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)意義,而湘教版強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)意義．湘教版通過(guò)反函數(shù)的性質(zhì)探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),人教A版直接利用描點(diǎn)法探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．

③ 三角函數(shù)

由圖6，7可以看出,兩版教科書(shū)都先將初中學(xué)過(guò)的角推廣至任意角,說(shuō)明弧度制的必要性并引出單位圓的概念,定義任意角的三角函數(shù),進(jìn)而引出誘導(dǎo)公式,研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．不同的是,湘教版引入三角函數(shù)線的概念,將三角函數(shù)線作為解決三角不等式,探究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的重要工具．

(2) 素材選取

兩版教科書(shū)函數(shù)內(nèi)容素材選取梳理如表1所示．

表1

(3) 概念引入

①函數(shù)概念

湘教版將其命名為“對(duì)函數(shù)的再認(rèn)識(shí)”,體現(xiàn)高中函數(shù)概念是在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,同時(shí)用學(xué)生最為熟悉的加減乘除及常用公式為素材引入,強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)觀”．人教A版是用四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為感性材料通過(guò)“思考”和“探究”欄目的問(wèn)題引入．

②冪函數(shù)概念

湘教版在閱讀材料的基礎(chǔ)上,提出“水滴成霧”為什么小水滴不掉下來(lái)?構(gòu)建y=x,y=x2,y=x3三類函數(shù),深入淺出地引出冪函數(shù)的概念．人教A版則是在函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上,添加冪指數(shù)運(yùn)算的屬性,探究不同解析式的異同,歸納出冪函數(shù)的概念．

③三角函數(shù)概念

湘教版在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上采用比值定義法,并將銳角三角函數(shù)推廣至任意角的三角函數(shù)．為了使運(yùn)算簡(jiǎn)化,取r=1,進(jìn)而得到單位圓的概念,最后引出三角函數(shù)線的概念．人教A版直接構(gòu)建單位圓來(lái)呈現(xiàn)任意角的三角函數(shù),與學(xué)生初中所學(xué)銳角三角形的三角函數(shù)有一定的思維跨度．由此可見(jiàn),湘教版教科書(shū)概念引入注重與學(xué)生已有知識(shí)的關(guān)聯(lián)．

4.例習(xí)題設(shè)置

對(duì)例題從類型和輔助表現(xiàn)形式兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行分析,對(duì)習(xí)題和復(fù)習(xí)題從水平層次指標(biāo)[2]進(jìn)行分析．

(1)例題的類型和輔助表現(xiàn)形式

例題類型可分為純數(shù)學(xué)例題和有背景性例題[3],例題的輔助表現(xiàn)形式包括圖、表和旁白．對(duì)兩版教科書(shū)函數(shù)例題的類型和表現(xiàn)形式進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表2所示．

表2

注:凡有圖、表、旁白的例題,分別按圖、表、旁白累加統(tǒng)計(jì)．

從例題總量看,湘教版教科書(shū)例題共106個(gè),其中有背景性例題8個(gè)，占比7.5%;人教A版共90個(gè),其中有背景性例題14個(gè)，占比15%．有輔助表現(xiàn)形式的例題，湘教版29個(gè)，占比27.3%,人教A版32個(gè)，占比35.6%．說(shuō)明人教A版例題的類型和表現(xiàn)形式更豐富和多樣化一些．

(2)習(xí)題與復(fù)習(xí)題的水平層次

湘教版在習(xí)題和復(fù)習(xí)題中,設(shè)計(jì)了“學(xué)而時(shí)習(xí)之”、“溫故而知新”、“上下而求索”三個(gè)水平層次,人教A版設(shè)計(jì)了“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合運(yùn)用”、“拓廣探索”三個(gè)水平層次．本研究中,將“學(xué)而時(shí)習(xí)之”與“復(fù)習(xí)鞏固”作為水平一,“溫故而知新”與“綜合運(yùn)用”作為水平二,“上下而求索”與“拓廣探索”作為水平三,按上述三級(jí)水平層次對(duì)函數(shù)習(xí)題與復(fù)習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表3．

表3

在習(xí)題和復(fù)習(xí)題的總量上,湘教版(共280道)多于人教A版(共234道)．水平一層次的習(xí)題,湘教版(共117道,占比61.3%)明顯多于人教A版(共78道,占比43.3%)；水平三層次的習(xí)題,湘教版(共1道,占比0.05%)少于人教A版(共32道,占17.8%)．湘教版水平一層次的復(fù)習(xí)題(共56道,占比62.9%)明顯多于人教A版(共25道,占比46.3%);湘教版水平三層次的復(fù)習(xí)題(共8道,占比8.9%)少于人教A版(共11道,占比20.3%).水平二層次的習(xí)題復(fù)習(xí)題差別不大．可見(jiàn),湘教版注重基礎(chǔ)題目的設(shè)置,人教A版題目設(shè)計(jì)較為均衡．

二、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

通過(guò)比較與分析,可以得到如下結(jié)論:

第一,體例結(jié)構(gòu)方面.兩版教科書(shū)體例結(jié)構(gòu)大致相同,但欄目設(shè)計(jì)各有特色．湘教版關(guān)注數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),通過(guò)“多知道一點(diǎn)”欄目為學(xué)有余力的學(xué)生提供拓展性學(xué)習(xí)內(nèi)容．人教A 版關(guān)注閱讀思考、探究發(fā)現(xiàn),通過(guò)“觀察”“思考”等欄目為學(xué)生學(xué)習(xí)提供引導(dǎo)．

第二,內(nèi)容分布方面.湘教版更加注重函數(shù)內(nèi)容與其它內(nèi)容之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的邏輯順序．

第三,內(nèi)容呈現(xiàn)方面.湘教版?zhèn)戎赜谕诰蛩夭闹械臄?shù)學(xué)元素,人教A版?zhèn)戎赜诮鉀Q素材中現(xiàn)實(shí)問(wèn)題;湘教版注重基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)引入概念,人教A版主要從感性材料出發(fā),以問(wèn)題為導(dǎo)向歸納探索引入概念．

例習(xí)題設(shè)置方面,湘教版例題數(shù)量多于人教A版,表明湘教版更注重例題的示范作用．湘教版重視基礎(chǔ)題目的設(shè)置,人教A版題目設(shè)計(jì)較為均衡．

2.建議

基于以上分析和結(jié)論,對(duì)使用湘教版教科書(shū)的老師提出以下建議．

(1)處理好數(shù)學(xué)內(nèi)容間的內(nèi)在邏輯關(guān)系．深入挖掘教科書(shū)特點(diǎn),把握函數(shù)內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)與整體設(shè)計(jì)思路,做好函數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)．

(2)處理好數(shù)學(xué)思考過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系．分析教科書(shū)中的情境案例及問(wèn)題探究過(guò)程,深挖素材中的數(shù)學(xué)元素,把握學(xué)生的認(rèn)知水平,重視利用學(xué)生熟知的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建新的知識(shí)．

(3)處理好數(shù)學(xué)實(shí)踐與信息技術(shù)應(yīng)用的關(guān)系．重視并挖掘湘教版教科書(shū)中的拓展性內(nèi)容,深入鉆研“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”專欄中的“網(wǎng)絡(luò)畫板”這一動(dòng)態(tài)的共享實(shí)驗(yàn)室,重視信息技術(shù)在學(xué)生解題或建模過(guò)程中的應(yīng)用．

(4)處理好學(xué)情與習(xí)題水平層次的關(guān)系．優(yōu)化習(xí)題和復(fù)習(xí)題的數(shù)量,均衡水平層次,滿足不同層次學(xué)生的不同需求．