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    拋物線中雙定點性質(zhì)的探究*

    2022-04-11 10:14:10江西省南昌市第一中學(xué)330000喻瑞明
    關(guān)鍵詞:共線過點畫板

    江西省南昌市第一中學(xué) (330000) 喻瑞明

    拋物線性質(zhì)的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中不可缺少的一部分,有關(guān)拋物線性質(zhì)的考題也是層出不窮.我們知道,拋物線中蘊含了許多優(yōu)美的結(jié)論,本文從2018年全國Ⅰ卷文科第20題考查拋物線的性質(zhì)出發(fā),利用幾何畫板探究了拋物線中雙定點的一些性質(zhì),供同仁參考.

    文[1]中已探究了拋物線的性質(zhì),并得到如下結(jié)論:

    結(jié)論1 如圖1,已知拋物線y2=2px(p>0),點B(-m,0)(m>0),設(shè)斜率存在的直線l與拋物線相交于M,N兩點,則直線l過定點A(m,0)的充要條件是kBM+kBN=0.

    結(jié)論2 如圖2,已知拋物線y2=2px(p>0),A(m,0),B(-m,n)(m≠0),直線l過點A且與拋物線相交于P,Q兩點,則kPB+kQB=2kAB.

    圖1

    圖2

    綜觀上述兩個結(jié)論,我們可以發(fā)現(xiàn),得出了已知兩個定點A,B的拋物線的兩條性質(zhì),本文依此為背景,進一步研究的拋物線中雙定點的一些性質(zhì).

    首先,我們先一起探究以下引理:

    引理若A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線C:y2=2px(p>0)上不相同的兩個點,則直線AB的方程為(y1+y2)y=2px+y1y2.

    以此引理為基礎(chǔ),以幾何畫板為手段,探究得出如下結(jié)論:

    圖3

    圖4

    由結(jié)論3,進一步探究得出結(jié)論4.

    由結(jié)論3、4,進一步推廣得出結(jié)論5和結(jié)論6.

    圖5

    圖6

    結(jié)論6 如圖6,已知拋物線C:y2=2px(p>0),定點A(-a,0)(a>0),定點B(a,m)(m≠0)不在拋物線C上,過點A的直線與拋物線C相交于M,N兩點,直線MB與拋物線C相交的另一個交點為Q,記直線NQ恒過的定點為G,直線NB與拋物線的另一個交點為P,則(1)A,P,Q三點共線;(2)M,P,G三點共線.

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