拓展解題思路，優(yōu)化運算步驟*
——以解析幾何試題的求解為例

四川電影電視學(xué)院實驗中學(xué) (611331) 王昌林 羅萍雙

解析幾何試題的運算要求較高，如何簡化解析幾何中運算的策略很有意義.簡化運算的方法有很多，如定義法、數(shù)形結(jié)合法、巧設(shè)未知數(shù)，幾何分析，運用結(jié)論，特殊化等.本文予以論及.

1 運用定義，回歸本質(zhì)

俗話說：“萬變不離其宗”.其意為盡管形式上變化多端，其本質(zhì)或目的不變，殊途同歸.如何抓住本質(zhì)呢？最好的辦法就是回歸定義.利用定義解題，可以有效縮短解題過程，優(yōu)化思維品質(zhì).

評注：由拋物線的定義將|MN|用|AF|，|BF|表示出來，從而解決問題.

2 數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)素養(yǎng)

伴隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的推行，在高考試題中出現(xiàn)了越來越多需要用數(shù)形結(jié)合思想解決的題型.數(shù)與形有效結(jié)合的方法能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，幫助學(xué)生分析題意找到解題思路，達到高效的解題成果.

圖1

評注：圓錐曲線離心率的求解，半徑和直徑的判斷，采用數(shù)形結(jié)合可以有效避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣，提升準(zhǔn)確率.

3 巧設(shè)方程，規(guī)避討論

在解答解析幾何試題時，合理的巧設(shè)方程可以有效的避免討論.例如在解答直線與圓錐曲線的有關(guān)問題，可以將直線方程設(shè)為x=my+n，從而有效避免討論直線的斜率.此外，還有妙用極坐標(biāo)、參數(shù)方程等方式簡化解析幾何運算.

例4 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD與點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

評注：例3與例4分別巧設(shè)雙曲線與直線的方程，有效規(guī)避雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程與直線斜率的存在性，優(yōu)化解題目的，使得解題更加高效.

4 巧借未知，設(shè)而不求

“設(shè)而不求”是指增設(shè)輔助元卻在解題過程中不求出所增設(shè)元值的一種方法.采用“設(shè)而不求”的方法，往往可以避免因盲目計算而造成的大量繁瑣工作，從而達到簡潔、快速的解題效果.

例5 已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程以及準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l，交拋物線C于M，N兩點，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B，求證：以AB為直徑的圓過y軸上的兩個定點.

解析：(1)易得拋物線C的方程為x2=4y，準(zhǔn)線方程為y=-1.

評注：先設(shè)出參數(shù)x1，x2，y1，y2，用參數(shù)表示直線OM的斜率，從而表示A，B兩點的坐標(biāo).在表示圓的方程時發(fā)現(xiàn)方程中出現(xiàn)兩根之積，于是聯(lián)立方程并根據(jù)韋達定理得到x1x2=-4，從而解得y值，最終證明以AB為直徑的圓過y軸上兩個定點.

5 模型結(jié)論，減少運算

模型結(jié)論是指合理運用數(shù)學(xué)模型與重要結(jié)論解題的策略，其可以大大簡化運算，尤其在選填題中效果明顯.

例6 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

例7 已知點M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=.

解析：已知點M(-1,1)在拋物線的準(zhǔn)線上，且∠AMB=90°，則可知直線AB是切點弦方程，所以可得y=2x-2，則k=2.

評注：例6的拋物線焦點弦長公式以及例7的切線模型都是高考?？嫉膯栴}，因此，掌握一些結(jié)論與模型是必要的，但模型和結(jié)論不可死記硬背或是對其癡迷，其應(yīng)是在自己原有知識基礎(chǔ)和直覺感知之上的.

6 等價轉(zhuǎn)化，簡化運算

等價轉(zhuǎn)化是指將未知解法問題轉(zhuǎn)化到已有知識的一個過程.解決綜合試題時，根據(jù)題中給出的條件進行“精準(zhǔn)”轉(zhuǎn)化，使其能夠計算且便于計算，甚至簡算或者不用計算.

例8 已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B點，交C的線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ.

圖2

評注：將兩直線平行轉(zhuǎn)化為直線斜率相等的方法是常見轉(zhuǎn)換方式.大部分解析幾何試題難在運算，而優(yōu)化運算的根本在于轉(zhuǎn)化.此外，轉(zhuǎn)化的過程還會用到向量、導(dǎo)函數(shù)、不等式等工具.

7 巧借平幾，幾何分析

巧借平幾是指借助與平面幾何相關(guān)知識對解析幾何問題進行求解.在解答解析幾何問題時，進行適當(dāng)?shù)膸缀畏治觯⒅赝诰騿栴}的幾何特征，善于用幾何的眼光來審視問題，往往可以得到較為簡潔的方法.

評注：本題若直接用坐標(biāo)法建立等式，其運算量較大；現(xiàn)巧妙利用平面幾何知識，不但能減少運算量，還能給人耳目一新之感.

8 發(fā)掘隱含，優(yōu)化運算

“隱含條件”是指數(shù)學(xué)問題中沒有明確指出的非顯性條件.在解題時，應(yīng)仔細審題，認真觀察，充分挖掘并利用隱含條件，從而達到優(yōu)化解題過程、多想少算等目的.

例10 已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行與坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M.

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

解析：(1)kOM·kl=-9，過程略.

評注：運算能力的核心在于設(shè)計合理運算路徑，若是采用設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立的常規(guī)解題思路，會使得運算量大大增加以致無法操作.充分發(fā)掘P點橫坐標(biāo)是對角線的兩倍這一“隱含條件”，運算量會大大減少.

9 高觀導(dǎo)向，謀定而動

高觀導(dǎo)向是指運用高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識對解析幾何試題的結(jié)果進行預(yù)判.高考中，高等數(shù)學(xué)知識雖不能直接使用，但可以幫助考生把握解析幾何答案的預(yù)見性，從而做到對試題整體把控.

評注：例11與例12分別運用的是極點極線與二次曲線系方程的知識.例題若是采用一般方法解答，其過程是繁瑣的，用高觀進行導(dǎo)向，可以讓考生在解答過程中及時更正.

10 直觀想象，問題特殊化

運用特殊化策略是解答選擇填空題的常用方法.從特殊到一般是人們思考問題的根本方法，也是探求解題思路的基本策略[5].在解答題中特殊化思想可以起到有效的導(dǎo)向作用，為尋找問題的突破口指明方向.

評注：考慮B，M重合，將問題特殊化，避免了聯(lián)立、消元、韋達定理等一系列運算過程，達到簡化運算地目的.

數(shù)學(xué)解題不僅要會算，更要會看、會想.以上示例更能有效解決解幾何問題求解中“想到算不出”、“想想還會，算算就錯”等問題.