活躍在橢圓中的“AP⊥AQ”

【摘 要】 新高考背景下，數(shù)學(xué)運(yùn)算作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，也是學(xué)生的薄弱之處，提高運(yùn)算能力，關(guān)鍵在于提升學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解，理清算法，本文通過(guò)對(duì)橢圓的含有條件“AP⊥AQ”的各類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行整理，旨在通過(guò)整理歸類(lèi)，引導(dǎo)如何實(shí)施運(yùn)算，把控運(yùn)算方法，提升我們的運(yùn)算求解能力.

【關(guān)鍵詞】 對(duì)稱(chēng)性;整體;垂直;換元

條件“AP⊥AQ”常出現(xiàn)在解析幾何試題中，當(dāng)然橢圓也不例外，而且往往作為題目中的核心條件，如何處理這個(gè)條件是能否順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵.筆者嘗試整理歸類(lèi)，呈現(xiàn)出以橢圓中不同位置的“AP⊥AQ”作為條件帶來(lái)的定值問(wèn)題，并分析算理，優(yōu)化算法，給出相應(yīng)解析和評(píng)析，以期提高我們的運(yùn)算能力.

1 “AP⊥AQ”中的點(diǎn)A在橢圓上，關(guān)注對(duì)稱(chēng)性與特殊化

圖1

例1 如圖1，已知橢圓x24+y2=1的左頂點(diǎn)為A，過(guò)A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過(guò)一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析 根據(jù)本題構(gòu)圖過(guò)程分析，從點(diǎn)A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(diǎn)，產(chǎn)生了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)因是直線旋轉(zhuǎn)，基于此，可設(shè)出直線AM：y=k（x+2），與橢圓聯(lián)立y=k（x+2），x24+y2=1，化簡(jiǎn)得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0.所以（x+2）[（1+4k2）x-（2-8k2）]=0，所以xM=2-8k21+4k2，yM=4k1+4k2，同樣方法直線AN與橢圓聯(lián)立y=-1k（x+2），x24+y2=1，化簡(jiǎn)得：（k2+4）x2+16x+16-4k2=0，所以（x+2）[（k2+4）x-（2k2-8）]=0，所以xN=2k2-8k2+4，yN=-4kk2+4， kMN=yM-yNxM-xN=4k1+4k2--4kk2+42-8k21+4k2-2k2-8k2+4=5k4-4k2，所以直線MN的方程為y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2，化簡(jiǎn)得y=3k4k2+4x+65，所以直線MN過(guò)x軸上的一定點(diǎn)P-65，0.

如果我們注意到本題構(gòu)圖的對(duì)稱(chēng)性，關(guān)注整體，通過(guò)對(duì)式子結(jié)構(gòu)的把握、變量代換、特殊化等手段優(yōu)化了算法[1]，使得運(yùn)算有了依據(jù)，得到優(yōu)化解法：

聯(lián)立方程組y=k（x+2），x24+y2=1，因橢圓和直線交于點(diǎn)A（-2，0），化簡(jiǎn)方程時(shí)保留因子x+2整體不變，得x2+4[k（x+2）]2=4，即（x+2）[（4k2+1）x+（8k2-2）]=0，所以xM=2-8k21+4k2，yM=4k1+4k2.同理，將xM=2-8k21+4k2中的k替換成-1k，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)：xN=2k2-8k2+4，同理得yN=-4kk2+4，令k=1，得x=-65，猜測(cè)所求定點(diǎn)的坐標(biāo)為P-65，0，一般地，驗(yàn)證kPM=4k1+4k2-02-8k21+4k2--65=5k4-4k2=kPN，所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)-65，0.

2 “AP⊥AQ”中的點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)處，關(guān)注調(diào)整條件先后順序與換元思想

例2 已知橢圓C：x29+y23=1，設(shè)G，H為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OG⊥OH.是否存在以原點(diǎn)O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請(qǐng)求出該定圓方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析 根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，若存在這樣的定圓，定圓的圓心必在原點(diǎn)O，所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成原點(diǎn)O到動(dòng)直線GH的距離是定值即可.設(shè)點(diǎn)O到動(dòng)直線GH的距離為d，在直角三角形△GOH中，由面積變換可得OG·OH=d·OG2+OH2，所以1d2=1OG2+1OH2.如果直接設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，求兩點(diǎn)G，H坐標(biāo)，再求其長(zhǎng)度，較為復(fù)雜，考慮到問(wèn)題設(shè)問(wèn)直接與OG與OH的長(zhǎng)有關(guān)，且OG⊥OH，且本題動(dòng)因是直線旋轉(zhuǎn)，故可以引入角度作為變量，可設(shè)G（OGcosθ，OGsinθ），HOHcosθ+π2，OHsinθ+π2，因?yàn)閮牲c(diǎn)G，H在橢圓C上，所以（OGcosθ）29+（OGsinθ）23=1，OHcosθ+π229+OHsinθ+π223=1，所以cos2θ9+sin2θ3=1OG2，sin2θ9+cos2θ3=1OH2，所以1OG2+1OH2=49，則d2=94，所以滿足條件的定圓方程為：x2+y2=94.3 “AP⊥AQ”中的點(diǎn)A在橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），設(shè)而不求，整體代換

例3 已知橢圓C：x24+3y24=1，過(guò)點(diǎn)P（-1，-1）作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N.若線段MN的中點(diǎn)在x軸上，求直線MN的方程.

解析 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x21+3y21=4，x22+3y22=4，

對(duì)于同結(jié)構(gòu)的方程，兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在x軸上，所以y1+y2=0，從而可得（x1+x2）（x1-x2）=0.

若x1+x2=0，則N（-x1，-y1）.

因?yàn)镻M⊥PN，所以PM·PN=0，得x21+y21=2.

又因?yàn)閤21+3y21=4，所以解得x1=±1，所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）.

所以直線MN的方程為y=-x.

若x1-x2=0，則N（x1，-y1），因?yàn)镻M⊥PN，所以PM·PN=0，得y21=（x1+1）2+1.

又因?yàn)閤21+3y21=4，所以解得x1=-12或-1，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=-12滿足條件，x=-1不滿足條件.

綜上，直線MN的方程為x+y=0或x=-12.

4 “AP⊥AQ”中的點(diǎn)A在橢圓外，動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，以靜制動(dòng)

例4 （上海交大自主招生試題）對(duì)于兩條垂直直線和一個(gè)橢圓，已知橢圓無(wú)論如何滑動(dòng)都與兩條直線相切，求橢圓中心的軌跡.

解析 不妨將橢圓固定，兩條垂直的直線可以視為過(guò)橢圓外某點(diǎn)向橢圓所作的兩條切線，設(shè)m，n都是橢圓x2a2+y2b2=1的切線，且m⊥n，m，n交于點(diǎn)M，先求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.

設(shè)M（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1，①的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，k為過(guò)M點(diǎn)所作橢圓的切線的斜率，則這切線的方程為y-y0=k（x-x0）.②

由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.③

由題意可得：Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化簡(jiǎn)得：（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.

當(dāng)a2≠x20時(shí)，設(shè)此方程的兩根為k1，k2，則k1·k2=-1，即b2-y20a2-x20=-1，故得x20+y20=a2+b2，用x，y替換x0，y0，化簡(jiǎn)得x2+y2=a2+b2.

當(dāng)k不存在或k=0時(shí)，易求得點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)為（±a，±b），這些點(diǎn)顯然滿足x2+y2=a2+b2，則點(diǎn)M的軌跡是x2+y2=a2+b2，即點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，a2+b2為半徑的圓.

由此可知，若橢圓與這兩條互相垂直的直線相切，那么橢圓的中心與這兩條直線交點(diǎn)的距離是一個(gè)定值，即無(wú)論橢圓如何滑動(dòng)都與兩條直線相切，則橢圓中心的軌跡是以兩條直線的交點(diǎn)為圓心的一個(gè)圓.

如今，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為高中主要核心素養(yǎng)之一，也是學(xué)生的軟肋之處，眾多學(xué)生認(rèn)為運(yùn)算就是死算，把問(wèn)題都?xì)w結(jié)為自己計(jì)算不行，其實(shí)不然，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)算不下去，算不出來(lái)，往往是因?yàn)槿鄙僖欢ǖ倪\(yùn)算觀察能力導(dǎo)致的.因此，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算觀察能力，不失為一條提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的有效途徑[2].

學(xué)生真正的問(wèn)題是不會(huì)算，如果我們能善于整理總結(jié)，從一類(lèi)問(wèn)題中提煉出解決問(wèn)題的思維路徑，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注算理算法，長(zhǎng)此以往，讓學(xué)生會(huì)算、敢算、勢(shì)必提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

參考文獻(xiàn)

[1] 胡寅年.兩道高考橢圓試題的解析與引申[J].數(shù)學(xué)通訊（上半月），2021（04）：2125.

[2] 張勁.提高運(yùn)算觀察能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2021，（78）：2125.

作者簡(jiǎn)介 周志國(guó)（1980—），男，江蘇盱眙人，中學(xué)高級(jí)教師，淮安市學(xué)科帶頭人，淮安市勞動(dòng)模范，高考命題專(zhuān)家;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)和命題;在省級(jí)以上刊物發(fā)表論文40余篇.