高中數(shù)學教科書“閱讀材料”的教學與思考

陸婭君 袁濤 張和平

【摘 要】 “閱讀材料”是開展探究性學習的重要素材，文章基于“雙曲線的光學性質及其應用”內容開展教學并作出反思：將“閱讀材料”融入課堂教學中，有利于數(shù)學思想方法的滲透、培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和探究問題的能力.

【關鍵詞】 數(shù)學教科書;閱讀材料;雙曲線的光學性質

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，教學活動不應只限于講授和練習，還應倡導閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流等學習數(shù)學的方式[1].教材中的“閱讀材料”體現(xiàn)了教學內容的彈性，符合不同層次學生的發(fā)展，幫助學生掌握正文的內容，并能促使學生內化數(shù)學思想方法、培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和探究問題的能力.數(shù)學教材中“閱讀材料”不應該是被教學遺忘的角落，而應該成為教學改革的試驗田[2].但在實際教學中，由于其不屬于考試范圍，大部分教師把它們當作學生課外學習的內容，不予以重視，忽略了“閱讀材料”的教學價值和育人功能.本文以新人教A版高中數(shù)學教科書“閱讀材料”中“雙曲線的光學性質及其應用”為例，談談對閱讀材料的使用與思考.

1 案例分析

1.1 依托教材，創(chuàng)設情境

床頭燈是利用燈泡照射，通過反射鏡反射而散發(fā)出光的一種裝置.燈罩不需要連接電源，上面裝有能旋轉的反射鏡，反射鏡的形狀是雙曲面，利用這樣的裝置就能散發(fā)出光了（如圖1）.通過燈泡所在位置的縱截面，可以得到圖1的縱截面圖，如圖2所示.

師：利用床頭燈照射的原理是什么？

生：因為曲面型的反射鏡將光線散發(fā)出去了.

師：這個反射鏡的軸截面是一個怎樣的圖形？燈泡應該位于哪個特殊的位置？

生：可能是雙曲線的一支，燈泡位于雙曲線的焦點處.

設計意圖 依托“床頭燈照射”創(chuàng)設情境，引導學生分析其工作原理，進而抽象出雙曲線模型，教師再結合雙曲線的相關知識進行提問，將生活問題抽象為數(shù)學問題，讓學生直觀感受雙曲線中光波的反射規(guī)律與焦點有關，提升學生數(shù)學的感知能力和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

1.2 閱讀發(fā)現(xiàn)，直觀驗證

問題1 光的反射現(xiàn)象如果與雙曲線的焦點有關，那么應該遵循怎樣的反射規(guī)律？

在物理學中，焦點可以理解成是光線聚集的點.把床頭燈裝置中反射鏡的軸截面抽象成雙曲線的一支，把燈泡抽象成雙曲線的一個焦點，把光線抽象成直線，得到圖3.開啟燈泡電源時，床頭燈散發(fā)出了一束光線，實際上是由燈泡發(fā)出的.但從視覺效果上看，每一條光線就好像是從燈泡后面某個虛擬位置（即虛光源處）直接發(fā)出的，可以初步判定虛光源一定位于光線的反向延長線上.作出光線的反向延長線，得到虛光源F1，F(xiàn)1和燈泡所在位置F2是雙曲線的兩個焦點，如圖4所示.圖4直觀地反映了光在雙曲線內的反射規(guī)律：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣.

問題2 反射鏡面與雙曲線會有怎樣的位置關系？

由物理學的相關知識可得，反射鏡面與雙曲線的位置關系是相切的.

問題3 如何直觀地驗證雙曲線中光的反射規(guī)律？

可以用幾何畫板直觀驗證：首先找到雙曲線的一條切線，作為反射鏡面;連接點F2和切點P，F(xiàn)2P就可以作為一條入射光線;作出反射鏡面的法線PH之后，就需要觀察反射光線PM的反向延長線是否經過點F1，如圖5所示.圖5???????? 圖6

問題4 用幾何畫板直觀演示當點P在雙曲線上運動時，MPH和F2PH會有怎樣的數(shù)量關系？如圖6所示.MPH=F2PH時，也就說明反射光線的反向延長線經過點F1.改變雙曲線的形狀，可以發(fā)現(xiàn)這兩個角仍然相等.設計意圖 根據(jù)生活現(xiàn)象猜想出光在雙曲線內的反射規(guī)律，再用幾何畫板直觀驗證，嘗試建立文字與圖形的聯(lián)系，促使學生透過現(xiàn)象看數(shù)學本質.經歷數(shù)學知識抽象的過程，培養(yǎng)學生數(shù)學模型思想，發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).

1.3 通過證明，深度探究

師：利用幾何畫板初步驗證了光在雙曲線內的反射規(guī)律，如何從數(shù)學的角度證明？

活動：已知圓F1和定點F2（定點F2不在圓F1上），在圓F1上隨機取一點A，如圖7所示.如何通過紙片對折的方式來做出線段AF2的垂直平分線？

只需要讓點A和點F2重合即可，即對折兩個點，由此便得到一條折痕，將折痕用筆畫上顏色，如圖8所示.

一直重復此操作過程，將點A繞圓周一圈，你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖9所示.

設計意圖 讓學生動手操作折紙活動，培養(yǎng)學生動手實踐、合作交流、自主探究的能力;使學生在操作、觀察、猜想的過程中，逐漸領悟折痕所在直線與雙曲線的位置關系，自主構建認知結構.通過數(shù)學活動，讓學生體驗從具體到抽象的過程，促使學生對數(shù)學現(xiàn)象產生個性化的理解，培養(yǎng)學生直觀想象、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

師：折痕所在直線與雙曲線具有怎樣的位置關系？

通過折紙活動發(fā)現(xiàn)折痕所在直線與雙曲線相切.

師：如果折痕所在直線l與雙曲線相切，那么直線l會作為一個什么圖形出現(xiàn)？

直線l會作為反射鏡面出現(xiàn)，但通過折紙活動和幾何畫板的驗證得到的“相切”是不嚴謹?shù)模枰M一步證明.

問題1 已知雙曲線的左焦點F1與圓的圓心重合，雙曲線的長軸長與圓的半徑相等即2a（a>0），點A為圓上任意一點，如何證明折痕所在直線l與雙曲線相切？

首先證明點P在雙曲線上.如圖10所示，直線PF1與l相交于點P;因為點P在線段AF2的垂直平分線上，所以連接PF2，由垂直平分線的性質可得|PA|=|PF2|;根據(jù)等量替換可得：|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PA|=|AF1|=2a，又因為雙曲線的長軸長為2a，所以點P是雙曲線上的點.

師：點P既是雙曲線上的點，同時也處于線段AF2的垂直平分線上，那么也只能說明點P是直線l與雙曲線的一個交點，交點一定是切點嗎？相交和相切最主要的區(qū)別是什么？

相交和相切最主要的區(qū)別是交點的個數(shù)問題.如果要驗證相切的情況，就需要驗證點P是直線l與雙曲線唯一的交點.

師：如何證明一個點的唯一性？

如圖11所示，在直線l上任取一個不與點P重合的點N.點N在線段AF2的垂直平分線上，所以滿足|NA|=|NF2|.因為點N與點P并不重合，故而點N、點F1、點A可構成一個三角形，由三角形的性質可得：|NF1|-|NA|<|AF1|.由等量替換即得|NF1|-|NF2|=|NF1|-|NA|<|AF1|=2a，據(jù)此可說明點N到雙曲線兩個焦點的距離之差的絕對值小于2a，即點N在雙曲線外部.因此，直線l上有且只有一個點P在雙曲線上，所以直線l與雙曲線相切，點P是切點.

問題2 已知雙曲線的左焦點F1與圓的圓心重合，雙曲線的長軸長與圓的半徑相等即2a（a>0），如圖12所示，求證：∠MPH=∠F2PH.圖12

因為直線l是線段AF2的垂直平分線，所以|CA|=|CF2|，∠ACP=∠F2CP=90°，|PC|=|PC|，據(jù)此可得△CAP≌△CF2P（SAS），即∠APC=∠F2PC.因為∠APC=∠MPD，由等量替換可得：∠F2PC=∠MPD.因為PH⊥l，所以∠DPH=∠CPH，即可得∠MPH=∠F2PH.

據(jù)此可得雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣.設計意圖 利用幾何畫板與折紙活動驗證雙曲線的光學性質還不夠嚴謹，需從數(shù)學的角度證明折痕所在直線與雙曲線相切、∠MPH=∠F2PH，從而抽象出雙曲線的光學性質，體現(xiàn)了數(shù)學學科結構嚴謹、邏輯性強的特征，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).借助圖形進行證明，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法，培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng).

1.4 鞏固拓展，體驗價值

問題1 在問題情境中，利用床頭燈散發(fā)出光時，為什么要將反射鏡設計成雙曲面的形狀？燈泡應該位于哪個位置？為什么？

問題2 在反射式天文望遠鏡的內部，為什么要將副鏡設計成雙曲面的形狀？主焦點和成像焦點應該位于哪個位置？為什么？

設計意圖 對情境內容再次提問，幫助學生梳理知識脈絡，更加清晰地認識雙曲線的光學性質在床頭燈中應用的具體原理.通過相似問題，讓學生進一步鞏固雙曲線的相關知識，感受“雙曲線的光學性質”在生活中的廣泛應用，開拓學生的數(shù)學視野.

2 對“閱讀材料”的思考

2.1 對案例的總結與反思

依托教材中“閱讀材料”并結合生活現(xiàn)象創(chuàng)設情境，由此引入課題和提出相關的探究問題，接著利用折紙活動和幾何畫板驗證雙曲線的光學性質，幫助學生積累數(shù)學活動經驗，進而發(fā)展學生直觀想象的核心素養(yǎng);再用數(shù)學方法證明性質，讓學生經歷完整的數(shù)學論證過程，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng);最后讓學生理解雙曲線的光學性質在某些裝置中的應用原理，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識.2.2 滲透數(shù)學思想方法

“閱讀材料”蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，如“探究函數(shù)y=x+1x的圖象與性質”中介紹了如何根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)圖象以及根據(jù)函數(shù)圖象探究函數(shù)的相關性質，其中滲透了數(shù)形結合的思想;“集合中元素的個數(shù)”中介紹了根據(jù)具體實例的計算思路進而推導出任意兩個有限集合的并集中元素個數(shù)的計算公式，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.教師應當深入剖析“閱讀材料”所蘊含的思想方法，并合理運用其進行教學，提高學生學習數(shù)學的能力.2.3 培養(yǎng)數(shù)學應用意識

教材中“閱讀材料”的內容與社會生活、科技生產等有著緊密的聯(lián)系.在教學中，教師應引導學生從數(shù)學的角度觀察生活，用數(shù)學語言表達問題，體驗數(shù)學的應用價值，促使學生形成數(shù)學應用意識.如“統(tǒng)計學在軍事中的應用”讓學生了解到利用樣本估計總體能推斷出在二戰(zhàn)時期德軍每月生產的坦克數(shù)目;“圓錐曲線的光學性質及其應用”還介紹了手電筒發(fā)光和電影放映機的工作原理，感悟生活處處皆數(shù)學.

2.4 培養(yǎng)探究問題能力

“閱讀材料”設置了“信息技術應用”專題，其目的是希望教師嘗試利用網絡資源開展基于信息技術的教學.在運用數(shù)學軟件探究問題的過程中，學生經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、獨立驗證等過程，能培養(yǎng)學生探究問題的能力.如“概率分布圖及概率計算”“探究指數(shù)函數(shù)的性質”“利用信息技術制作三角函數(shù)表”等，都是可以借助信息技術進行探究性學習的素材.

教材中“閱讀材料”蘊含著豐富的教育功能，教師應當主動挖掘這些資源，進行再創(chuàng)造、再組織，應用到課堂教學中，讓學生在此過程中感受數(shù)學的魅力與價值.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：8283.

[2] 宋磊.重視教材閱讀材料 提升數(shù)學核心素養(yǎng)——閱讀材料“橢圓的一種應用”引發(fā)的探究課[J].數(shù)學通訊，2020（10）：2124.

作者簡介 陸婭君（1997—），女，貴州遵義人，貴州師范大學碩士研究生;主要研究數(shù)學教育.袁濤（1994—），男，貴州遵義人，貴州師范大學碩士研究生;主要研究數(shù)學教育.

張和平（1974—），男，貴州從江人，博士，凱里學院理學院教授;主要研究數(shù)學教育與測量.