著力感悟運(yùn)算的“一致性”

徐斌

摘要：《小數(shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》一課的復(fù)習(xí)內(nèi)容是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊中三個(gè)相關(guān)單元的綜合整理。幾個(gè)相關(guān)單元的綜合復(fù)習(xí)，這樣的課型研究，有難度也有價(jià)值，需要跨越小學(xué)階段計(jì)算錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程改革的全新理念，更要從本質(zhì)上發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算思維。

關(guān)鍵詞：小數(shù)四則運(yùn)算;復(fù)習(xí)課;計(jì)算錯(cuò)誤;課改理念;運(yùn)算思維

《小數(shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》一課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）在回顧與梳理中進(jìn)一步理解小數(shù)的意義以及四則運(yùn)算的算理，感悟運(yùn)算的一致性。（2）在探索與比較中形成小數(shù)四則運(yùn)算的算法技能，培養(yǎng)運(yùn)算能力。（3）進(jìn)一步探索運(yùn)算規(guī)律，解決實(shí)際問題，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。本課教學(xué)過程與思考如下：

一、教學(xué)過程

（一）回顧梳理，形成結(jié)構(gòu)

1.小數(shù)的來源及意義

師關(guān)于小數(shù)，本學(xué)期學(xué)習(xí)了哪些知識？小數(shù)是怎么產(chǎn)生的？小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間有怎樣的聯(lián)系？小數(shù)的意義和性質(zhì)是什么？小數(shù)四則運(yùn)算的意義和法則分別是什么？

學(xué)生討論、匯報(bào)。教師板書（見圖1）。

[說明：有效復(fù)習(xí)的前提是回顧舊知和梳理關(guān)系，進(jìn)而形成結(jié)構(gòu)性認(rèn)知。雖然本課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容是小數(shù)的四則運(yùn)算，但是要真正理解算理和掌握算法，需要以小數(shù)的意義和性質(zhì)為支撐，還需要對小數(shù)產(chǎn)生的來源有充分的認(rèn)識。因此，上課伊始，通過談話和交流，讓學(xué)生從本學(xué)期學(xué)習(xí)的小數(shù)相關(guān)知識的回憶出發(fā)，追溯小數(shù)產(chǎn)生的生活需要和數(shù)學(xué)需要，再從整數(shù)認(rèn)識擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)認(rèn)識，從十進(jìn)分?jǐn)?shù)發(fā)展為小數(shù)意義。這樣的回顧和梳理，幫助學(xué)生建立起相關(guān)知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為接下來的四則運(yùn)算復(fù)習(xí)掃清障礙。]

2.小數(shù)的計(jì)數(shù)單位

師小數(shù)的計(jì)數(shù)單位有哪些？是如何確定的？（出示圖2）你會涂色表示小數(shù)的計(jì)數(shù)單位嗎？

通過課件和教具演示，輔以學(xué)生的動手涂色，再現(xiàn)小數(shù)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生過程以及相互關(guān)聯(lián)（如圖3所示）。

[說明：運(yùn)算的本質(zhì)是計(jì)數(shù)。弗賴登塔爾曾經(jīng)對算術(shù)的現(xiàn)代化方法進(jìn)行了一些比較研究，發(fā)現(xiàn)“好的方法都強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)”。學(xué)生雖然從三年級開始初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)和小數(shù)，但在之前的整數(shù)認(rèn)識中早就認(rèn)識了計(jì)數(shù)單位及數(shù)位順序表。通過小數(shù)意義的復(fù)習(xí)，可以進(jìn)一步依托十進(jìn)分?jǐn)?shù)理解小數(shù)，并借助整數(shù)數(shù)位順序表的拓展理解小數(shù)。教學(xué)時(shí)，采用“三合一”的方式強(qiáng)化計(jì)數(shù)單位的復(fù)習(xí)：一是先讓學(xué)生在練習(xí)紙上分別涂色表示0.1、0.01、0.001;二是在學(xué)生匯報(bào)時(shí)通過課件的對應(yīng)動態(tài)演示，逐步“生長”出計(jì)數(shù)單位;三是同步在黑板上分別貼上直觀教具，以留下“痕跡”作為接下來解釋算理的依據(jù)。]

（二）探索比較，建立聯(lián)系

1.口算明理

出示算式（見圖4）。

師如何運(yùn)用計(jì)數(shù)方法解釋小數(shù)四則運(yùn)算的算理？

學(xué)生獨(dú)立口算。匯報(bào)時(shí)，教師通過課件直觀顯示算理依據(jù)。

[說明：口算的依據(jù)是運(yùn)算的意義，口算的算理需要直觀的解釋。所有的學(xué)生最終都期盼使用有效的筆算方法計(jì)算。但是，只有循序漸進(jìn)地建立這些方法，并不斷完善和擴(kuò)展口算策略，筆算方法對學(xué)生來說才是有意義的。因此，小學(xué)階段學(xué)習(xí)整數(shù)和小數(shù)計(jì)算，都是先學(xué)習(xí)口算，再學(xué)習(xí)筆算。通過小數(shù)口算的復(fù)習(xí)，結(jié)合四則運(yùn)算的意義，借助直觀的計(jì)數(shù)單位，幫助學(xué)生形象地理解運(yùn)算的算理，逐漸形成熟練的運(yùn)算技能。此處口算的復(fù)習(xí)，首先讓學(xué)生自主計(jì)算，然后分別解釋算理，并以課件動態(tài)演示的方法來對應(yīng)，在直觀演示和歸納概括中幫助學(xué)生內(nèi)化算理，形成算法。]

2.筆算成法

出示算式（見圖5）。

師小數(shù)加、減法的法則是什么？為什么要“小數(shù)點(diǎn)對齊”？小數(shù)乘法中積的小數(shù)位數(shù)有什么規(guī)律？計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，為什么要先把除數(shù)變成整數(shù)？計(jì)算小數(shù)四則運(yùn)算時(shí)，哪些地方用了小數(shù)的性質(zhì)？

首先，讓學(xué)生帶著問題獨(dú)立筆算;接著，讓學(xué)生同桌交流對這4個(gè)問題的認(rèn)識;然后，邀請4名“小老師”到臺上分別講解筆算過程和方法，同時(shí)讓臺下學(xué)生提問和質(zhì)疑;最后，進(jìn)一步比較和歸納筆算法則及其依據(jù)。

[說明：筆算的依據(jù)是運(yùn)算法則。筆算其實(shí)是記錄計(jì)算過程與結(jié)果的書面形式，不管是何種計(jì)算，位數(shù)多了就有必要用紙筆記錄計(jì)算過程。豎式筆算的優(yōu)點(diǎn)是對基礎(chǔ)知識要求不高、能進(jìn)行機(jī)械化運(yùn)演、具有普適性，其不足是顯得有些封閉和單調(diào)、不需要創(chuàng)造性思維、缺乏針對性。小數(shù)四則運(yùn)算的筆算復(fù)習(xí)，讓學(xué)生首先帶著問題進(jìn)行思考，然后獨(dú)立計(jì)算并自主講述方法，再進(jìn)行題組對比。這樣的復(fù)習(xí)不是機(jī)械的運(yùn)算，而是讓學(xué)生在核心問題引領(lǐng)下逐步理解和掌握：小數(shù)加、減法的法則核心是“小數(shù)點(diǎn)對齊”（即相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才可相加、減）;小數(shù)乘法是利用“積的變化規(guī)律”先轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，再點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn);除數(shù)是小數(shù)的除法是利用“商不變的規(guī)律”轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法。]

3.溝通聯(lián)系

師小數(shù)乘、除法中也要“小數(shù)點(diǎn)對齊”嗎？為什么要把小數(shù)乘、除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘、除法再計(jì)算？如果除數(shù)是小數(shù)，不轉(zhuǎn)化為整數(shù)，會出現(xiàn)什么情況？小數(shù)四則運(yùn)算與整數(shù)四則運(yùn)算之間有怎樣的聯(lián)系？

[說明：深度學(xué)習(xí)的前提是深度理解，而深度理解的達(dá)成需要深度思考。好的課堂教學(xué)需要設(shè)計(jì)好的問題。課上，這4個(gè)問題的拋出，如同往平靜的池塘里扔進(jìn)了石頭，激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，將學(xué)生的學(xué)習(xí)和思維推向高潮。前面的知識回顧、口算明理和筆算成法，對學(xué)生的思維難度其實(shí)并不大;而此時(shí)的4個(gè)問題，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察對比與比較辨析能力，還需要豐富的想象能力和冷靜的理性思考，甚至?xí)a(chǎn)生不同觀點(diǎn)的激烈辯論?？梢姡挥袕暮唵纬霭l(fā)，并不斷向本質(zhì)邁進(jìn)，才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深入。]

（三）對比練習(xí)，形成能力

1.找規(guī)律寫得數(shù)

（1）根據(jù)38×12=456直接寫積。

3.8×12=（）;

0.38×12=（）;

0.38×1.2=（）;

0.38×0.12=（）;

（）×（）=（）。

（2）根據(jù)4.56÷3.8=1.2填空。

45.6÷（）=1.2;

0.456÷（）=1.2;

（）÷380=1.2;

（）÷0.038=1.2;

（）÷（）=1.2。

這兩題，讓學(xué)生首先根據(jù)已知的乘法和除法算式填空，然后在匯報(bào)交流時(shí)講述思考的過程和方法。同時(shí)，每組題設(shè)計(jì)了一道“空題”，讓學(xué)生根據(jù)規(guī)律靈活填寫。

2.解決實(shí)際問題

師（出示圖6）你能算出徐叔叔大約停車幾小時(shí)嗎？

[說明：口算和筆算的學(xué)習(xí)有兩個(gè)重要目的，一是掌握運(yùn)算規(guī)律和形成數(shù)感，二是解決實(shí)際問題和發(fā)展技能。在口算明理和筆算成法之后，需要通過適度的練習(xí)，進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算智慧和解決實(shí)際問題的水平。此處，設(shè)計(jì)了兩道算式填寫題和一道生活應(yīng)用題：根據(jù)整數(shù)乘法算式直接填寫小數(shù)乘法的得數(shù)，依據(jù)的是“積的變化規(guī)律”;根據(jù)小數(shù)除法算式直接填寫除法算式的被除數(shù)或除數(shù)，依據(jù)的是“商不變的規(guī)律”。同時(shí)，通過題組的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、對比、推理、檢驗(yàn)中探索運(yùn)算規(guī)律，發(fā)展運(yùn)算思維。最后的解決實(shí)際問題，依據(jù)學(xué)生生活中常見的停車場支付停車費(fèi)情境展開，讓學(xué)生選擇合適信息，結(jié)合數(shù)量關(guān)系，靈活選擇解決方法，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。]

（四）總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提升思維

師通過本課的學(xué)習(xí)，你對小數(shù)四則運(yùn)算又有了哪些收獲？你還能想到什么運(yùn)算？

二、教學(xué)思考

（一）如何進(jìn)行幾個(gè)相關(guān)單元的綜合復(fù)習(xí)？

平時(shí)的課堂教學(xué)研究活動中，最常見的自然是新授課，偶爾也會展示一些練習(xí)課和復(fù)習(xí)課，但是對幾個(gè)相關(guān)單元的綜合復(fù)習(xí)課，研究得極少。本課的復(fù)習(xí)內(nèi)容是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊中三個(gè)相關(guān)單元的綜合整理，即《小數(shù)的意義和性質(zhì)》《小數(shù)加法和減法》《小數(shù)乘法和除法》。這樣的綜合復(fù)習(xí)課如何上呢？我心里一點(diǎn)數(shù)也沒有，甚至一度覺得這可能是給自己挖了一個(gè)坑。果然，掉進(jìn)坑里的不止我一個(gè)。正如在上課結(jié)束后的專題研討中，和我一起同課異構(gòu)的吳敏老師（曾經(jīng)獲得江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)賽課一等獎）坦言：“接到上課課題后，檢索中國知網(wǎng)上關(guān)于本課的文獻(xiàn)，結(jié)果竟然是0篇。”這就更加說明這樣的課型研究有難度、有創(chuàng)造價(jià)值，更需要我們?nèi)ド钊胪诰?，哪怕挖的是“深坑”，或許能夠找到“富礦”。

（二）如何跨越小學(xué)階段計(jì)算錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)？

我今年正好教五年級數(shù)學(xué)（所教班級是我從一年級帶上來的）。根據(jù)我多年對計(jì)算教學(xué)的研究和調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)，既不在六年級，也不在低年級，而在五年級，尤其在五年級上學(xué)期。主要原因是學(xué)習(xí)小數(shù)四則運(yùn)算時(shí)，很多學(xué)生難以從整數(shù)思維中走出來，再加上小數(shù)四則運(yùn)算的算理和算法比較復(fù)雜，計(jì)算步驟煩瑣。本學(xué)期關(guān)于小數(shù)的知識，教材編排了三個(gè)單元，這三個(gè)單元的總課時(shí)量將近占本學(xué)期教學(xué)時(shí)間的一半。為了有效提高學(xué)生對小數(shù)四則運(yùn)算的算理理解水平和算法掌握水平，有必要對幾個(gè)單元的知識進(jìn)行整體化教學(xué)，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

（三）如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程改革的全新理念？

盡管新一輪修訂版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)至今遲遲未發(fā)布，不過從數(shù)學(xué)課程改革的動向來看，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越受到重視。關(guān)于計(jì)算教學(xué)，2001年發(fā)布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》十分強(qiáng)調(diào)“重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化”，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》則把“運(yùn)算能力”作為數(shù)學(xué)課程的10個(gè)核心詞之一，并且在“教學(xué)建議”中提出“引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性”。我也有幸參與了新一輪義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的征求意見工作，從中發(fā)現(xiàn)即將發(fā)布的課標(biāo)十分重視“讓學(xué)生感悟運(yùn)算的一致性”，并且在第三學(xué)段（五、六年級）的“教學(xué)提示”中具體指出：“注重對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性，從整體上理解和掌握運(yùn)算的算理和算法，認(rèn)識計(jì)算方法的共性與差異?！?/p>

（四）如何從本質(zhì)上發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算思維？

為了上好這節(jié)貌似“前無古人”的計(jì)算復(fù)習(xí)課，我深深地陷入了自己挖的坑，一連十多天處于毫無頭緒之中。何以解憂？唯有讀書。于是，我開始重讀幾本專著，試圖從中尋找上課的靈感。首先閱讀的是史寧中教授所著的《基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題》和《數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象》兩本書，書中談到小數(shù)的產(chǎn)生歷史較晚（18世紀(jì)才建立穩(wěn)定的十進(jìn)位小數(shù)），談到建立小數(shù)概念源于兩個(gè)方面的需要（一是現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系表達(dá)的需要;二是數(shù)學(xué)本身的需要，即主要為了表示無理數(shù)），談到“小數(shù)單位其實(shí)就是十進(jìn)的分?jǐn)?shù)單位”“四則運(yùn)算都源于加法”“從自然數(shù)開始，每擴(kuò)充一次數(shù)的集合都是為了滿足某種運(yùn)算的需要”等重要論述。然后，我又重點(diǎn)閱讀了王永所著的《數(shù)學(xué)化的視界——小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教與學(xué)》一書，書中專門引用著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的兩句名言：“好的方法都強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)?！薄斑\(yùn)算的本質(zhì)是計(jì)數(shù)?！边@引起了我極大的興趣。如何在我的課堂上體現(xiàn)小數(shù)四則運(yùn)算與整數(shù)四則運(yùn)算之間的關(guān)系？如何從計(jì)數(shù)單位的強(qiáng)化角度來統(tǒng)籌四則運(yùn)算的本質(zhì)？心中開始有一些思考。除此之外，我還閱讀了王永春、王林、沈重予、吳正憲、劉曉萍、陳六一等老師的著作，從中尋找到了不少有價(jià)值的啟示。