感受數(shù)學(xué)的整體性

朱皓 華聲明

摘要：教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》一課，不能只關(guān)注本節(jié)課的知識點，而要引導(dǎo)學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的整體性。具體地，可以在通過教材例題引入具體算式之后，通過算式歸類，讓學(xué)生在課題層次中感受整體性;通過算法探究，讓學(xué)生在知識關(guān)聯(lián)中感受整體性;通過算理打通，讓學(xué)生在本質(zhì)認(rèn)識中感受整體性。

關(guān)鍵詞：整體性;《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》;單元教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“教學(xué)建議”中指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解?！敝腥A人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：45。

教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》一課，便不能只關(guān)注本節(jié)課的知識點，而要引導(dǎo)學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的整體性。為此，筆者的教學(xué)設(shè)計與實施如下：

一、算式歸類，在課題層次中感受整體性

《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》是《分?jǐn)?shù)乘法》單元的起始課。教材設(shè)計了“做一朵綢花要用3/10米綢帶。小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？”的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生列出“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的算式，探索其算法。為了讓學(xué)生對《分?jǐn)?shù)乘法》單元知識有一個整體的把握，筆者在學(xué)生列出算式“3/10×3”后，沒有急于引導(dǎo)學(xué)生探究其算法，而是讓學(xué)生思考：這個算式和之前學(xué)過的算式有什么不同？自然地，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個乘法算式中有分?jǐn)?shù)（之前學(xué)過的乘法算式中沒有）。借機揭示單元課題《分?jǐn)?shù)乘法》，并且追問：看到這個課題，你們想到了什么樣的算式？這時，學(xué)生的思維被激發(fā)，提出的算式有2/5×5、2×3/7、2/5×3/4、1/8×1/4、2/5×0.5等。接著，筆者讓學(xué)生將這些算式進(jìn)行分類。自然地，學(xué)生將其分成分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)乘小數(shù)等幾類。對此，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小數(shù)的意義，將分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)乘小數(shù)合并為分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)這一類。然后明確：今天我們先來研究“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”。板書本課課題“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”。

這里，教師引導(dǎo)學(xué)生在比較的基礎(chǔ)上歸類算式，在更加抽象的層面認(rèn)識單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，并對單元學(xué)習(xí)內(nèi)容做分類，把握單元學(xué)習(xí)內(nèi)容與本課學(xué)習(xí)內(nèi)容、后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)系，初步形成單元整體知識結(jié)構(gòu)。

二、算法探究，在知識關(guān)聯(lián)中感受整體性

揭示相關(guān)課題后，筆者放手讓學(xué)生自主探究“3/10×3”的計算方法。這一方面是因為學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗足以支撐他們對分?jǐn)?shù)乘整數(shù)計算方法的探究，另一方面是因為學(xué)生探究算法時不同角度和層次的思考可以充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。課堂上的生成也驗證了這一點。學(xué)生探究算法時，有的依據(jù)圖形直觀：如圖1，把1米平均分成10份，每朵綢花表示其中的3份，3朵綢花表示其中的9份，即910米。有的依據(jù)單位換算：3/10米=3分米，3分米×3=9分米，9分米=9/10米。有的依據(jù)分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化：3/10×3=0.3×3=0.9=9/10。有的依據(jù)乘法的意義與同分母分?jǐn)?shù)的加法法則：3/10×3=3/10+3/10+3/10=（3+3+3）/10=9/10。有的直接用分子乘整數(shù)：3/10×3=（3×3）/10=9/10。

在多種算法的展示交流中，學(xué)生充分感受到了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與畫圖策略、單位換算、分?jǐn)?shù)的意義、小數(shù)的意義、乘法的意義、同分母分?jǐn)?shù)的加法法則等知識和方法之間的聯(lián)系。在進(jìn)一步的比較中，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：畫圖直觀、單位換算、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化、轉(zhuǎn)化成加法計算這四種方法要么不具有一般性，要么比較麻煩，而直接用分子乘整數(shù)才是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)最具有一般性也最簡捷的算法。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)乘法的意義（乘法與加法的互化）和同分母分?jǐn)?shù)的加法法則，完善“直接用分子乘整數(shù)”的道理（同時明白“不用分母乘整數(shù)”的道理）：3/10×3=3/10+3/10+3/10=（3+3+3）/10=（3×3）/10=9/10。由此，讓學(xué)生經(jīng)歷算法多樣化到優(yōu)化的過程，真正理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法。

此外，站在“分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法”這一大單元的視角，上述算法探究活動還有十分重要的意義，是后續(xù)學(xué)習(xí)的“生長點”和“延伸點”。其一，從知識的角度看，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法“分子與分子相乘，分母與分母相乘”也適用于分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，如3/10×3=3/10×3/1=（3×3）/（10×1）=9/10;分?jǐn)?shù)除法的算法“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，是以分?jǐn)?shù)乘法的算法為基礎(chǔ)的。其二，從方法的角度看，畫圖直觀、單位換算（本質(zhì)上是結(jié)合具體情境的分?jǐn)?shù)與整數(shù)互化）、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化等同樣是后面探究分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除法計算方法的有效策略。可見，在知識的關(guān)聯(lián)中感受數(shù)學(xué)的整體性，能很好地促進(jìn)學(xué)生的知識理解和學(xué)習(xí)遷移。

三、算理打通，在本質(zhì)認(rèn)識中感受整體性

得到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧比較3×3、0.3×3、310×3的計算，發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的意義（算理的本質(zhì)）是一致的，都是相同計數(shù)單位的累加（乘個數(shù)）。3×3是3個計數(shù)單位“1”乘3，得9個計數(shù)單位“1”，所以得數(shù)是9;0.3×3是3個計數(shù)單位“0.1”乘3，得9個計數(shù)單位“0.1”，所以得數(shù)是0.9;310×3是3個計數(shù)單位“110”乘3，得9個計數(shù)單位“110”，所以得數(shù)是910。由此，讓學(xué)生從整體上把握所有學(xué)過的乘法計算，對“乘法計算”獲得打通的一般性認(rèn)識（感受到一個更大的單元整體）。

因為學(xué)習(xí)容量和學(xué)生認(rèn)知的限制，教材在編排時不得不把相關(guān)的知識分散在各個不同的年段、分冊和單元、課時中，但是教師在教學(xué)中不能拘泥于課時內(nèi)容，而要立足知識關(guān)聯(lián)以及數(shù)學(xué)整體，幫助學(xué)生有意義地理解、更系統(tǒng)地建構(gòu)，建立靈活（縱橫聯(lián)系、左右逢源）、深刻（居高臨下、化繁為簡）的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。