在“穿梭”中發(fā)展空間觀念

李曉梅

摘要：《正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖》一課教學(xué)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、操作和想象等過(guò)程，使學(xué)生不但能在生活經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中“穿梭”，而且能在操作活動(dòng)與想象活動(dòng)中“穿梭”，還能在二維空間與三維空間中以及感覺(jué)和知覺(jué)之間來(lái)回“穿梭”，從而幫助學(xué)生豐富空間感知，發(fā)展空間觀念。

關(guān)鍵詞：空間觀念;經(jīng)驗(yàn);活動(dòng);空間維度;感知;《正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖》

“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容是培養(yǎng)小學(xué)生空間觀念的重要載體，而“正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要知識(shí)點(diǎn)，是培養(yǎng)小學(xué)生空間觀念的重要教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)《正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖》一課，教師引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、操作和想象等過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生在探究性學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷“穿梭”，從而有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、在經(jīng)驗(yàn)中“穿梭”

研究表明：學(xué)生是依靠經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始幾何學(xué)習(xí)并逐步形成空間觀念的。韓龍淑，呂傳漢.空間觀念的含義和特征及其教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（6）：21。小學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)包括生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。生活經(jīng)驗(yàn)是在生活實(shí)踐中通過(guò)觀察、感受、體驗(yàn)積累和豐富起來(lái)的知識(shí)總量?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)是直接或間接經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程所獲得的經(jīng)驗(yàn)，包括行為操作經(jīng)驗(yàn)和思維操作經(jīng)驗(yàn)等。行為操作經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生“在實(shí)際的外顯操作活動(dòng)中來(lái)自感官、知覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)”③孔凡哲.基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義、成分與課程教學(xué)價(jià)值[J].課程·教材·教法，2009（3）：34，35。;思維操作經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生“在思維操作中開(kāi)展活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)”③。在日常生活中，學(xué)生已經(jīng)積累了一些關(guān)于正方體和長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的生活經(jīng)驗(yàn);學(xué)習(xí)了觀察物體、圖形的認(rèn)識(shí)、周長(zhǎng)、面積以及平移、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)后，學(xué)生已經(jīng)具備了一些相關(guān)的行為操作經(jīng)驗(yàn)和思維操作經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和教學(xué)需要，引導(dǎo)學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中“穿梭”，充分激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

《正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖》一課教學(xué)伊始，教師由宜興地區(qū)（上課地點(diǎn)）的學(xué)生在日常生活中常見(jiàn)的紫砂壺包裝盒引入，學(xué)生很容易由包裝盒有正方體和長(zhǎng)方體兩種形狀聯(lián)想到它們的特征。教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)正方體的各個(gè)面時(shí)，學(xué)生探究長(zhǎng)方體和正方體特征所形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)被充分激活，這為學(xué)生尋找展開(kāi)圖的相對(duì)面奠定了基礎(chǔ)。在小組合作剪、找、貼、折等活動(dòng)中，學(xué)生初步形成了行為操作經(jīng)驗(yàn)——操作要有序，同一個(gè)正方體可以有不同的展開(kāi)圖。在正方體的展開(kāi)與折疊中，學(xué)生初步形成了尋找正方體展開(kāi)圖相對(duì)面的行為操作經(jīng)驗(yàn)——相對(duì)的面不相鄰。學(xué)生閉眼“回放”正方體展開(kāi)圖的形成過(guò)程，能強(qiáng)化剛剛形成的思維操作經(jīng)驗(yàn);判斷哪些圖形是正方體展開(kāi)圖，則是對(duì)剛剛形成的操作經(jīng)驗(yàn)的遷移應(yīng)用。探究長(zhǎng)方體展開(kāi)圖是學(xué)生對(duì)正方體的展開(kāi)圖探究經(jīng)驗(yàn)的遷移應(yīng)用，同時(shí)也是對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富。課末，教師用課件出示各種各樣的包裝盒，鼓勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)研究正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖并探究規(guī)律，讓活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與生活經(jīng)驗(yàn)在廣闊的空間里相融相生。

這里，教師循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)中“穿梭”：一方面讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，另一方面鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)和積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在行為操作經(jīng)驗(yàn)和思維操作經(jīng)驗(yàn)中“穿梭”，有效幫助學(xué)生探究、理解、掌握正方體和長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的相關(guān)知識(shí)。學(xué)生積累的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為探究新知奠定了基礎(chǔ)，而探究新知中形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)逐漸內(nèi)化并與已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)融為一體，助力后續(xù)探究和空間觀念的發(fā)展。

二、在活動(dòng)中“穿梭”

活動(dòng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式之一，包括身體的活動(dòng)（即操作活動(dòng)）和思維的活動(dòng)（如推理、想象等）。學(xué)生根據(jù)相關(guān)要求和程序進(jìn)行操作性實(shí)踐活動(dòng)，不但能積極參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程中，還能有效地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。想象是學(xué)生在頭腦中對(duì)已儲(chǔ)存的表象進(jìn)行恰當(dāng)加工并改造成新形象的心理過(guò)程。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的思維以形象思維為主，并逐漸向抽象思維發(fā)展。探究新知時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、大膽想象，根據(jù)描述或圖樣在頭腦中進(jìn)行“再創(chuàng)造”，以便將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加具體生動(dòng)、更容易理解和掌握，使學(xué)生在豐富具體形象思維和抽象邏輯思維的同時(shí)發(fā)展空間觀念。

這節(jié)課教學(xué)，教師先固定一個(gè)正方體的后面，再沿著正方體的棱依次剪開(kāi)，得到正方體的前面、左面和下面，最后形成一個(gè)完整的正方體展開(kāi)圖（如圖1，文字為驗(yàn)證結(jié)果時(shí)加上的）。學(xué)生根據(jù)展開(kāi)圖判斷圖中的六個(gè)面分別是原來(lái)正方體的哪個(gè)面后，教師通過(guò)折疊驗(yàn)證結(jié)果是否正確。

在此基礎(chǔ)上，教師出示活動(dòng)要求：（1）剪一剪。沿正方體的棱剪開(kāi)，剪出不一樣的展開(kāi)圖，但展開(kāi)圖要相連。（2）找一找。找出展開(kāi)圖中三組相對(duì)的面。（3）貼一貼。在相對(duì)的兩個(gè)面上貼上顏色相同的彩紙。（4）折一折。貼完彩紙后折疊驗(yàn)證。學(xué)生思考后開(kāi)展合作，動(dòng)手剪貼、交流展開(kāi)圖（交流結(jié)果板貼如圖2所示），發(fā)現(xiàn)展開(kāi)圖都有6個(gè)相同的正方形，折疊后都有3組相對(duì)的面（顏色相同），并且所有相對(duì)的面都不相鄰。

尋找展開(kāi)圖相對(duì)面時(shí)，有的學(xué)生從不相鄰的面里找，有的學(xué)生根據(jù)顏色找，有的學(xué)生通過(guò)反復(fù)折疊找。練習(xí)找相對(duì)面時(shí)，教師出示一個(gè)展開(kāi)圖（如圖3），學(xué)生根據(jù)顏色判斷并折疊還原驗(yàn)證，再想象折疊過(guò)程，交流想象方法：想象一個(gè)固定的面，再想象其他的面，最后折疊驗(yàn)證。

判斷圖形沿虛線折疊后能否圍成正方體時(shí)，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在交流中說(shuō)出自己的想法，再用折疊的方法進(jìn)行驗(yàn)證，最后思考如何調(diào)整正方形展開(kāi)圖使之能?chē)烧襟w。如對(duì)圖4，學(xué)生需要思考：調(diào)整幾號(hào)才能?chē)烧襟w？還可以怎么調(diào)整？把1號(hào)正方形調(diào)整到2號(hào)正方形的左邊行不行？為什么？進(jìn)而，通過(guò)想象和操作驗(yàn)證順利解決了問(wèn)題。

操作是想象的基礎(chǔ)，想象是操作的升華。想象正方體的展開(kāi)與折疊過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)表示6個(gè)面關(guān)系的過(guò)程。學(xué)生在想象過(guò)程中容易對(duì)展開(kāi)圖6個(gè)面對(duì)應(yīng)立體圖形6個(gè)面的相關(guān)位置產(chǎn)生混亂或無(wú)序的認(rèn)識(shí)。而學(xué)生在操作活動(dòng)中獲得了豐富而直觀的體驗(yàn)，為想象活動(dòng)做好了鋪墊。從教師的示范操作中，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了正方體的展開(kāi)圖，理解了“相對(duì)的面不相鄰”的特征。在小組合作操作中，學(xué)生學(xué)會(huì)了把正方體展開(kāi)、找相對(duì)面以及折疊驗(yàn)證的方法，為想象折疊過(guò)程、交流想象方法奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)先想后折，學(xué)生學(xué)會(huì)了空間定位;通過(guò)先想后說(shuō)，學(xué)生學(xué)會(huì)了空間推理。這樣，學(xué)生在有序操作和充分想象中“穿梭”，不斷豐富空間思維表象，推動(dòng)空間觀念的發(fā)展。

三、在維度中“穿梭”

空間是運(yùn)動(dòng)物質(zhì)存在的一種形式。如果用“維”表示方向，由一個(gè)方向確立的直線模式就是一維空間，由兩個(gè)方向確立的平面模式就是二維空間，由三個(gè)方向確立的立體模式就是三維空間。簡(jiǎn)單地說(shuō)，一維空間是一條線，二維空間是一個(gè)面，三維空間是一個(gè)立體。正方體和長(zhǎng)方體是立體圖形，正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖是平面圖形。把正方體和長(zhǎng)方體展開(kāi)是從三維空間走向二維空間，把展開(kāi)圖折疊變成正方體和長(zhǎng)方體是從二維空間走向三維空間。引導(dǎo)學(xué)生用“一些非正式的方式去看待二維和三維的空間，例如折紙、變換、鑲嵌、對(duì)稱(chēng)、投影等”張昆.養(yǎng)成空間觀念數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)新視角[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2021（12）：48。，能有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

這節(jié)課教學(xué)，教師示范剪開(kāi)正方體得到展開(kāi)圖，學(xué)生首次發(fā)現(xiàn)平面圖形與立體圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，初步認(rèn)識(shí)了立體圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了從三維空間到二維空間的轉(zhuǎn)換。學(xué)生根據(jù)活動(dòng)要求合作把正方體展開(kāi)變成平面圖形，再把展開(kāi)圖折疊為正方體，經(jīng)歷了由三維空間到二維空間再到三維空間的過(guò)程。從展開(kāi)圖中找出相對(duì)的面后，教師演示正方體的展開(kāi)過(guò)程，學(xué)生閉眼“回放”這一過(guò)程，再次體驗(yàn)了由三維空間到二維空間再到三維空間的過(guò)程。用反復(fù)操作或想象的方法找平面圖形與立體圖形上的面的對(duì)應(yīng)關(guān)系是在三維空間和二維空間不斷“穿梭”;對(duì)正方體的展開(kāi)圖進(jìn)行分類(lèi)是在二維空間中“穿梭”;判斷由6個(gè)相同正方形拼成的圖是不是正方體展開(kāi)圖或能不能沿虛線折疊后圍成正方體，是二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)換;把一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒剪開(kāi)變成展開(kāi)圖并探究特征，判斷圖形是否是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，學(xué)生先提出猜想，再折疊驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了由二維空間向三維空間再到二維空間的“穿梭”。

在空間觀念的發(fā)展過(guò)程中，學(xué)生不但要認(rèn)識(shí)圖形的特征，而且要學(xué)會(huì)二維空間與三維空間的相互轉(zhuǎn)化，能從圖形的形狀、特征和關(guān)系等不同角度理解空間、把握空間。學(xué)生從二維空間觀念發(fā)展到三維空間觀念不是一蹴而就的，必須借助空間想象和抽象思維在頭腦中建構(gòu)立體圖形的影像，再想象展開(kāi)圖折疊所出現(xiàn)的情況，實(shí)現(xiàn)圖形的有效轉(zhuǎn)換。學(xué)生“穿梭”于二維空間和三維空間，發(fā)現(xiàn)尋找正方體展開(kāi)圖相對(duì)面的方法，溝通展開(kāi)圖各個(gè)面之間的聯(lián)系，對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)由淺入深，空間觀念不斷增強(qiáng)。

四、在感知中“穿梭”

感知就是感覺(jué)和知覺(jué)。感覺(jué)是大腦對(duì)直接作用于感覺(jué)器官的客觀事物的個(gè)別屬性的反映;知覺(jué)是大腦對(duì)直接作用于感覺(jué)器官的客觀事物的整體屬性的反映。感覺(jué)是知覺(jué)等復(fù)雜的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的基礎(chǔ)。“空間知覺(jué)是關(guān)于物體、圖形的形狀、大小及距離、方位等位置關(guān)系的知覺(jué)?？臻g知覺(jué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)物體或幾何圖形的觀察、觸摸，直觀刺激物以及已往的直觀經(jīng)驗(yàn)是空間知覺(jué)的物質(zhì)基礎(chǔ)和能力起點(diǎn)。”吳靜.小學(xué)生空間能力培養(yǎng)的實(shí)踐研究[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2018（1）：5758。

觀察紫砂壺的包裝盒，學(xué)生的第一感覺(jué)是包裝盒的形狀有正方體，也有長(zhǎng)方體，然后才感覺(jué)到包裝盒的大小或顏色，進(jìn)而形成整體認(rèn)識(shí)，也就是知覺(jué)。學(xué)生觀察教師拿出的正方體時(shí)，先感覺(jué)到正方體的某一個(gè)面，等教師把正方體完全展開(kāi)后才能對(duì)展開(kāi)圖形狀有整體知覺(jué);教師把展開(kāi)圖轉(zhuǎn)換（折疊）成正方體時(shí)，由于教師的提示，學(xué)生知覺(jué)到展開(kāi)圖能轉(zhuǎn)換成正方體，但不是很清楚究竟怎么轉(zhuǎn)換。教師用課件動(dòng)畫(huà)演示時(shí)，學(xué)生仔細(xì)觀察，逐個(gè)感覺(jué)每個(gè)面的轉(zhuǎn)換情況，最后自己閉眼“回放”轉(zhuǎn)換過(guò)程，又形成了整體知覺(jué)。正方體的展開(kāi)圖是不是只有一種情況呢？學(xué)生只有一種模糊的感覺(jué)。動(dòng)手操作時(shí)，學(xué)生按照要求剪開(kāi)，逐個(gè)面感覺(jué)剪開(kāi)圖的形狀，剪完后形成對(duì)展開(kāi)圖形狀的整體知覺(jué);最后折疊驗(yàn)證又是一次從感覺(jué)到知覺(jué)的“穿梭”過(guò)程。找剪開(kāi)圖相對(duì)面的顏色時(shí)，學(xué)生一開(kāi)始也只有一種感覺(jué)，認(rèn)為某個(gè)面的對(duì)面可能是綠色或黃色，邊操作邊感覺(jué);操作結(jié)束后，學(xué)生對(duì)剪開(kāi)圖的相對(duì)面顏色的感覺(jué)就形成了知覺(jué);反向驗(yàn)證則是學(xué)生由知覺(jué)向感覺(jué)的“穿梭”過(guò)程。

學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體和正方體個(gè)別屬性的反映越豐富、越精確，形成的知覺(jué)就越完整、越正確。在感覺(jué)和知覺(jué)過(guò)程中不斷“穿梭”，學(xué)生激活了自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，不斷形成新的空間知覺(jué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。