用樣本的頻率分布估計總體分布案例分析

孫五林　柳應康

摘要：時至霜降，寒意已濃，賽課研討，正酣火熱.2021年10月29日，基于核心素養(yǎng)下的達州市高中數(shù)學優(yōu)質課比賽活動在達州銘仁園中學舉行，比賽云集了各區(qū)縣和市直屬中學的各路高手，比賽激烈程度如同神仙打架.作為我校的高中數(shù)學教研組長，我思考得比較多的是我校選手怎樣在眾多選手中脫穎而出呢？什么樣的課才是優(yōu)質的課呢？我想，創(chuàng)新是唯一的出路，緊扣時代核心問題，落實五育并舉，彰顯靈趣課堂，突出數(shù)學學科的本質，數(shù)學與德育相結合，數(shù)學與生活相結合，這樣的課方能出彩.

關鍵詞：賽課案例;核心素養(yǎng);優(yōu)質課堂

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）09-0067-04

收稿日期：2021-12-25

作者簡介：孫五林，高中一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

柳應康，碩士，高中一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

我校積極推行課堂教學模式改革，每個老師的課堂都采用五導四動的課堂教學模式，現(xiàn)把這堂課呈現(xiàn)給大家.

1 課前導學（閱讀教材65-68頁并完成填空）

導語：統(tǒng)計學的基本思想是用樣本估計總體，通過樣本的基本特征來估計總體的基本特征，進一步為我們作出更好的決策.

（1）分析數(shù)據(jù)的基本方法有：_____________.

（2）極差是一組數(shù)據(jù)的的差________，它反映了一組數(shù)據(jù)__________.

（3）頻數(shù)、頻率：將樣本中的數(shù)據(jù)按要求分為若干組，對各個小組內數(shù)據(jù)的累計__________，這個累計數(shù)叫做各個小組的__________，各個小組的________除以______________，即得該小組的_________.

（4）組距和組數(shù)的確定____________（有/沒有）固定的標準，組距等于__________;一般分組的組數(shù)與___________-有關;樣本容量越大，分組組數(shù)越________，樣本容量越小，分組組數(shù)越___________.

（5）在頻率分布直方圖中，縱軸表示__________，各小長方形的面積等于__________，所有長方形面積之和等于___________.

本環(huán)節(jié)分析：課堂導學是指課前學生按照導學案要求進行自主預習，完成知識梳理和小題練習.這樣設計的目的在于提前讓學生對本節(jié)的概念有一個預知，不會對某些新概念感到陌生.

2 討論導習

討論導習是指上課后，老師對課前自主學習內容進行討論交流，目的是解決學生自主學習中存在的問題.

2020年6月19日，我國陳薇院士帶領的疫苗研發(fā)團隊發(fā)布了50位志愿者在接種了試驗疫苗以后血清中的抗體GMT倍增比值情況，如表1：

問題1：以上50個數(shù)據(jù)，同學們能直接得出哪些信息？

問題2：上述50個數(shù)據(jù)中的最大值和最小值分別是多少？由此說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是什么？

問題3：為了更加清晰的呈現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律，同學們會怎樣整理和分析數(shù)據(jù)？

問題4：對樣本數(shù)據(jù)進行分組，其中組數(shù)由哪些因數(shù)決定？

問題5：將上述50個數(shù)據(jù)按組距為“4”分組，能分成多少組？按照組距為“5”分組，能分成多少組呢？

問題6：各組數(shù)據(jù)的取值范圍（分段點如何歸屬）可以如何設定？

上述50個數(shù)據(jù)在各組中的頻數(shù)是多少？頻率是多少？你能將這些數(shù)據(jù)用表格反映出來嗎？ （請同學們分小組合作完成表2）

為了直觀的反應樣本數(shù)據(jù)在各組的分布情況，類比頻數(shù)分布直方圖，將上面頻率分布表中的有關信息用直方圖的形式畫出.

問題7：在頻率分布直方圖中各小長方形的面積表示什么？小長方形面積之和為多少，為什么？

問題8：頻率分布直方圖非常直觀的反應了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，你能根據(jù)頻率分布直方圖估計志愿者接種試驗疫苗以后抗體GMT倍增比值的一些分布特點嗎？

問題9：如果食藥監(jiān)局希望有90% 左右的接種者能達到抗體GMT倍增比值標準，根據(jù)頻率分布直方圖，你對此標準制定有何建議？

思考：以上研究的50位志愿者的抗體GMT倍增比值正是我國自主研發(fā)的新疫苗“克爾來?！痹谝黄谂R床試驗中的數(shù)據(jù)，該款疫苗效力優(yōu)秀，根據(jù)統(tǒng)計，接種者抗體GMT倍增比值達標率99.9967%.請同學們思考一下，為什么實際的達標率和試驗的達標率不一樣呢，你認為有哪些因素造成了這樣的誤差？

本環(huán)節(jié)分析：本節(jié)課由學生觀看疫苗研發(fā)視頻開始，引起共鳴，提出要研究的問題，然后以問題為導向，層層遞進，教師扮演導演的角色，負責問題的設置與啟發(fā)，聯(lián)系實際引導學生，逐步探索，積極發(fā)現(xiàn)，最終找到解決問題的辦法.在核心素養(yǎng)滲透方面，通過計算頻數(shù)和頻率，培養(yǎng)了學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng);通過自主探究與合作交流，經(jīng)歷數(shù)字特征的生成過程，利用樣本的頻率分布估計總體從而更好地作出決策，培養(yǎng)學生整理數(shù)據(jù)，提取信息的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

3 講授導法（用數(shù)據(jù)說話）

講授導法是指師生圍繞知識點進行例題講授、復習，目的是引導學生找到解決問題的方法，并能靈活地運用相應方法解決問題.

治愈率的高低可以從側面反應疫苗的效果，現(xiàn)在我們通過以下40個國家的治愈率數(shù)據(jù)分布情況來估計全球197個主權國家的新冠肺炎的治愈率分布情況，并以此為據(jù)來判斷我們國家疫苗的效果好壞.原始數(shù)據(jù)中已經(jīng)找出了治愈率、死亡率的最大（?。┲担?/p>

治愈率最大值：新加坡（99.53%）;治愈率最小值：英國（20.22%）.

請同學們根據(jù)表3，完成以下題目：

（1）求上表中a 、b、c、d的值;

（2）請補全頻率分布直方圖;

（3）請利用樣本估計總體的思想，試估計全世界197個國家中治愈率大于等于90%的國家個數(shù).

本環(huán)節(jié)分析：本環(huán)節(jié)通過填頻率分布表，畫頻率分布直方圖，培養(yǎng)學生數(shù)形結合、直觀想象的核心素養(yǎng).本環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了以學生為主體的新課程理念，讓學生充分體會數(shù)學來源于生活，同時又服務于生活.通過新冠疫苗的治愈率，進行愛國主義教育、勵志教育，讓本節(jié)課達到高潮，通過這種教育讓學生感受祖國的強大，立志好好學習，做新時代的優(yōu)秀青年.

4 當堂導練（活動時間——用數(shù)據(jù)說話）

當堂導練是根據(jù)知識點要求及例題講授情況，及時組織當堂訓練，目的是了解學生對當堂內容的掌握程度.

近日鐘南山團隊在網(wǎng)站上發(fā)布最新論文，披露了針對1000例新冠病毒感染者的研究成果.這篇論文對未來的疫情防治工作提供了重要的決策支持，但其中提到的潛伏期最長可達24天的結論，卻引起廣大網(wǎng)友和群眾的恐慌.原來不是一直說潛伏期最長14天嗎，現(xiàn)在怎么變成24天了？

同學們能不能用今天所學習的知識幫助廣大的網(wǎng)友消除疑惑呢？

本環(huán)節(jié)分析：數(shù)學來源于生活，同時又服務于生活.本節(jié)課力求將數(shù)學知識與生活實際緊密結合.學生眼里數(shù)學應該是一門看得見、摸得著、用得上的學科不再是枯燥乏味的數(shù)字游戲.因此本節(jié)課以新冠疫情，疫苗等生活中耳熟能詳?shù)氖虑闉楸尘白寣W生體會到“用數(shù)學”的樂趣.

5 探究導思（課后鞏固）

探究導思是把當堂作業(yè)分層訓練，引導學生對當堂知識點進行學后總結反思，對少數(shù)同學進行探究拓展訓練.

小組合作完成：

（1）抽樣調查學校100位學生的鞋碼大小信息，制作頻率分布表和頻率分布直方圖，并以此為據(jù)估計我校學生鞋碼大于40碼（中國碼）的學生人數(shù).

（2）課本71頁練習題第2題.

本環(huán)節(jié)分析：本案例在分析傳統(tǒng)作業(yè)的基礎上，提出了新課程下必須樹立的作業(yè)設計理念：設置分層作業(yè)、多元化作業(yè)、合作完成作業(yè)等，這是新課程教學的需要.

6 案例反思

6.1 數(shù)據(jù)問題

由于一些客觀原因，本節(jié)課所用部分數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)稍有差別，一切相關數(shù)據(jù)，請以國家發(fā)布的實時統(tǒng)計為準.

6.2 創(chuàng)新還是立足教材？

本節(jié)課的爭議點就在這里，大膽創(chuàng)新還是立足教材例子走，我們認為應該尊重教材，但不囿于教材，重視教材的再處理，拓寬學生知識視野.

6.3 什么是有價值的課？

習近平總書記在全國教育大會的重要講話中提出要“培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人”，“努力構建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，形成更高水平的人才培養(yǎng)體系”.這一重要指示給教育改革發(fā)展提出了新的努力方向和建設要求.為了落實立德樹人根本任務，我們必須全面貫徹新時期黨的教育方針.作為一線教師，筆者深知，“五育并舉，全面發(fā)展”決不能紙上談兵，需通過活動來實現(xiàn).本節(jié)課為學生量身定制，在師生互動、生生互動中促進學生的全面發(fā)展，所以我認為這是一堂有價值的課.

最后，這次賽課，精彩不斷，讓人回味無窮，本節(jié)課的不足之處，望各位同仁指正.

參考文獻：

[1]瞿高海.關注概念的本質——“函數(shù)的奇偶性”教學實錄與反思[J].中學數(shù)學月刊，2015（06）：4-7.

[2] 周開焱.借助信息技術，引入數(shù)學實驗，凸顯統(tǒng)計思想——“用樣本頻率分布估計總體分布”教學設計與反思[J].高中數(shù)理化，2018（03）：3-4.

[3] 孟勝奇.凸顯數(shù)學思維追求教育本真——“幾何概型”教學實錄與反思[J].中國數(shù)學教育（高中版），2012（09）：30-33.

責任編輯：李璟