2022 版課標引領下學生數學思維的培育策略

文|張俊珍

核心素養(yǎng)落地是當前基礎教育課程改革的核心命題。就數學學科而言，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用?！读x務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱2022 版課標）提出課程目標要立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展，并提煉了數學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)主要包括三會，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。其中會用數學的思維思考現實世界進一步指出了數學思維的重要性，那么什么是數學思維？如何用數學思維思考現實世界、數學思維有哪些培育路徑，而理清這些問題是2022 版課標有效落實的關鍵。

數學思維是數學核心素養(yǎng)的重要內容，對促進學生智力和能力發(fā)展具有重要的作用，需要在課堂教學中有效落實。但是在當前的課堂教學中存在著數學思維缺失、學生思維點狀等樣態(tài)。具體來講，一是教學缺少整體化、結構化，數學思維過程呈現不足，以致學生的數學思維存在概念認知散點化、碎片化的現象，造成學生認知零散、點狀、孤立，缺乏對知識體系的整體理解，以致學生缺乏對每個知識點的價值與應用范圍的整體把握，影響知識理解與遷移。二是學生在數學理解上存在片面化、表象化現象，對數學本質理解缺失，學生沒有經歷數學概念形成的過程，探究活動缺少深度和探究價值，有些數學活動流于形式，缺少對數學思想方法的感知和領悟，導致學生思維惰性，對數學概念的理解不全面、不深刻。三是學生思考問題角度單一、扁平，缺少多角度、立體化思考，學生思考問題的方法及策略也缺乏提煉和梳理、導致學生思維靈活度不足，問題剖析缺乏深度，思考力、思辨性不強，思維受阻。四是學生語言表達不清晰，邏輯性不強，系統(tǒng)性不足，學生數學思考沒有清晰的邏輯鏈，對知識缺乏真正的理解，教學中沒能給學生思考和表達的機會和空間，沒有呈現學生的思維路徑和學習軌跡。五是思維品質的培養(yǎng)沒有得到足夠關注，特別是對學生發(fā)散性思維、批判性思維、直覺思維、邏輯思維等高階思維的關注較少，以致學生思維的深刻性、批判性、靈活性、獨創(chuàng)性、敏捷性不足。

出現以上問題的原因是教師在教學中沒有真正關注數學思維，特別是邏輯思維的培養(yǎng)，教學中過度關注知識間的表層關聯，忽視深入內部結構的本質聯系，難以促進學生深度學習理解，對學生的數學表達關注較少，引導學生用數學的語言表達現實世界有所欠缺，真實學習難以真正發(fā)生。為此，要深入理解數學2022 版課標理念，進一步理解數學思維的價值，在教學中發(fā)展學生的數學思維。

一、2022 年版課標對數學思維的解讀

數學是思維的體操，學生在數學學習過程中，通過抽象得出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構；通過推理解釋論證，促進數學的發(fā)展；通過建模，表達和解決問題。數學為人們提供了理解和解釋世界的思考方式，數學思維也為大家提供了思考現實世界的方式。2022 年版課標指出：“通過數學的思維，可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系；能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數學方法，分析、解決數學問題與實際問題；能夠通過計算思維將各種信息簡約和形式化，進行問題求解與系統(tǒng)設計；能夠形成重論據、有條件、合乎邏輯的思維品質，培養(yǎng)科學態(tài)度與理性精神?！笨梢?，數學思維是指數學學科的對象、思想與方法、特征、追求及其內在關系，其核心是形成數學學科特有的思維方式。數學思維在培養(yǎng)學生數學學科素養(yǎng)、發(fā)展學生核心素養(yǎng)中具有很重要的作用。因此，要根據數學課程標準，全面落實課程目標，進一步挖掘教材中的數學思維課程資源，深度理解，透徹領悟。數學思維的培養(yǎng)與發(fā)展要對數學學科對象的知識技能、思想方法、價值意義全面掌握，對學科特征全面體認，對數學追求全面體悟。

1.數學思維的內涵和特征。

思維是人的一種高級的心理活動形式。林崇德教授指出“思維是智力與能力的核心”，教學中要注重學生思維能力的培養(yǎng)。數學思維是學生通過對數學學科對象、思想與方法、特征、追求及其內在關系的理解與把握形成的思維方式，是學生具有鮮明數學學科特色的分析問題、解決問題的思維傾向，以及在此基礎之上形成的元認知水平的心智操作能力。數學思維指數學學習時思考問題、處理問題的基本視角與方法，以及探尋這些視角與方法的思維模式，乃至蘊藏于這些視角與方法背后的觀念。數學思維是學生在數學活動中的思維，是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用并按照一定的思維規(guī)律認識數學內容的內在理性活動，具有思維的概括性、問題性、邏輯性和發(fā)展性。體現為形象思維、邏輯思維、直覺思維等思維形態(tài)。數學思維是數學核心素養(yǎng)的根本，包括各種數學思維活動，如觀察、猜想、驗證、想象、實驗、運算、推理、建模、直觀想象、抽象概括、數據分析、反思、描述等。運算和推理是數學思維的主要體現。

2.數學思維的具體表現。

2022 版課標明確指出，在義務教育階段，數學思維主要表現為：運算能力、推理意識或推理能力。一是發(fā)現聯系，即通過數學思維過程，理解數學基本概念，發(fā)現概念與概念之間、數學與現實世界之間的聯系。二是分析論證，即能夠合乎邏輯地論證數學的基本方法和結論，分析和解釋問題。三是探究發(fā)現，即探究數學規(guī)律，經歷數學“再發(fā)現”的過程。四是質疑問難，發(fā)展批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質，形成理性精神。數學運算能力指能明晰運算的意義，理解算理算法，選擇運算策略解決問題，通過運算促進推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質。從小學階段的推理意識到初中階段的推理能力，再到高中階段的邏輯推理，學生都要經過歸納類比、猜想發(fā)現、推理論證、邏輯表達等過程。數學推理能力，包括邏輯思維能力和實驗、猜想等合情推理能力以及直覺聯想能力等；也包括數學交流能力，能運用數學語言、數學符號解釋和說明自己的思想觀點、思維過程，并能比較客觀地進行反思評價。常見的推理有演繹推理、歸納推理和類比推理。學生應學會觀察、操作、實驗、比較、猜想、分析與綜合、抽象和概括；會用歸納類比進行推理；會合乎邏輯地闡述自己的思想和觀點，逐步形成理性思維和理性精神。

因此，在教學中，要基于學生的數學思維發(fā)展特點，引發(fā)學生學會數學地思維；通過數學學習，使學生學會思維，展現思維過程，培養(yǎng)數學關鍵能力；發(fā)展數學思維品質，形成正確的數學價值觀，有效促進學生數學思維發(fā)展，促進學生數學素養(yǎng)的形成。

數學思維的形成不是一蹴而就的，需要長期、持續(xù)、循序漸進的過程。教學中要通過指向核心素養(yǎng)的情境真實促進學生發(fā)展的數學教學活動，引導學生通過觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法在應用知識解決問題的過程中經歷、體驗、感悟、內化，形成較為穩(wěn)定的思維方式。

二、基于“三會”視角發(fā)展學生數學思維的實踐路徑

2022 版課標提出了數學課程以“三會”為目標的學生的核心素養(yǎng)，“三會”是統(tǒng)一的整體，三者之間相互支撐、和諧統(tǒng)一。用數學的眼光觀察和用數學的語言表達都離不開數學思維的思考，數學思維也需要在數學的眼光和數學的語言中得以發(fā)展?！皶脭祵W的思維思考現實世界”為人們提供了理解與解釋現實世界的思考方式，通過數學教學有效促進學生數學思維的發(fā)展是2022 版課標有效落實的關鍵。因此，數學教學應關注學生數學思維的培養(yǎng)，使學生形成數學學科特有的思維方式，進而促進學生知識水平、學習能力、學科素養(yǎng)的全面提升。在數學課堂教學中要強調數學思維的培養(yǎng)，引導學生深入理解核心概念，嚴謹探究問題本源，多角度創(chuàng)造性地解決問題，科學合理地進行有效評價。

1.遵循學生年齡和心理特征及認知規(guī)律，促進數學思維的持續(xù)發(fā)展。

2022 版課標指出，數學核心素養(yǎng)體現了整體性、一致性和階段性。義務教育階段的數學課程主要是培養(yǎng)學生的形象思維和邏輯思維。有研究顯示，小學低段主要表現為形象思維，主要通過直觀形象思維理解數學概念。四年級學生開始思維由具體形象思維向以抽象邏輯思維過渡，是思維發(fā)展過程中的“飛躍”和“質變”。中學階段突出體現邏輯思維，初中二年級是從經驗型向理論型發(fā)展的開始，也是逐步了解對立統(tǒng)一的辨證思想規(guī)律的開始。根據學生認知規(guī)律發(fā)展思維有助于促進學生形成數學觀念及關鍵能力，體現數學結構體系的嚴謹性。數學核心素養(yǎng)的發(fā)展也有連續(xù)性、發(fā)展性、持續(xù)性。因此，教學內容的選擇要符合學生的認知規(guī)律，教學中要根據學生的年齡特點和認知規(guī)律，體現螺旋式及選擇性，逐步拓寬課程內容。皮亞杰提出的認知發(fā)展階段性理論認為，兒童認知形成的過程是先出現一些憑直覺產生的概念，這些原始概念構成思維的基礎，在此基礎上經過綜合加工形成新概念，建構新結構。小學生的思維發(fā)展從形象思維逐步向抽象思維過渡，一般要經歷由最初的穩(wěn)定集中性思維逐步向靈活分析性思維過渡的過程，要經歷由低層次思維向高層次思維發(fā)展的過程。因此，要保護學生直覺，關注思維的持續(xù)發(fā)展。

2022 版課標也指出，數學核心素養(yǎng)在不同學段的表現，既有一致性也有一個發(fā)展的過程。小學階段主要是基于經驗的感悟，形成初步的意識；初中階段要求基于概念的理解，形成相對明確的觀念，并發(fā)展更多的數學關鍵能力。因此在教學中要關注數學知識進階，核心素養(yǎng)進階的階段性實施。要樹立以學生發(fā)展為本，促進學生學習的可持續(xù)發(fā)展，全面提升學生綜合素養(yǎng)的學科課程銜接的核心課程銜接觀。由學科本位、知識本位轉化為課程綜合化、整體化、系統(tǒng)化和連續(xù)性、進階性，根據學生身心發(fā)展、知識儲備、經驗積累不同，從學生認知、情感、社會化以及情感、態(tài)度、價值觀，學習方式、思維方法、學習習慣、個性發(fā)展等方面實施有效銜接。如，教學三角形內角和，小學階段是通過觀察、操作、感知、了解三角形內角和是180°。中學階段則要求探索并證明三角形內角和定理，掌握它的推論，注重用演繹推理的方法證明。因此，從學科內容的組織來看，要突出知識的結構性和邏輯性，可根據教學內容采用直線式，將學科內容直線推進，環(huán)環(huán)相扣，不重復排列；也可采用螺旋式，不斷擴大知識的深度、廣度及寬度。

2. 明確數學思維與知識間關系，實施結構化教學，促進思維整體發(fā)展。

在教學中，數學思維的培養(yǎng)不能脫離數學知識的學習，否則數學思維是抽象而空洞的。將獲得過程性的數學知識進行活動化處理，數學思維才能得以彰顯。2022 版課標指出：指向核心素養(yǎng)的數學課堂教學應設計體現結構化的教學內容，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。這就要求教師在教學中做到，一方面了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義；另一方面要注重數學知識的本質理解，建立有意義的知識結構。同時，教師不僅要關注數學知識結構的內在聯系，還要引導學生深刻感悟數學知識背后的數學思想、方法、策略，培養(yǎng)發(fā)展學生的數學思維，引導學生像數學家那樣思考分析問題，深入探究、科學合理地解決問題，使學生的數學知識結構體現更加立體、豐富。教學中要創(chuàng)設真實的問題情境，引導學生在探究問題的解決過程中，形成一定的數量關系，發(fā)展探究規(guī)律的思維范式。

實施結構化教學，就要設計體現結構化的課程內容，從關注知識技能的“點狀”轉變?yōu)殛P注教學的關聯性整體性，從知識“傳輸”自覺變革為關注學生對知識技能的主動學習和思考，關注學生主動活動中所形成的知識與技能、過程與方法、態(tài)度與品格的綜合效應，關注學生核心素養(yǎng)的形成。因此教學中要做到教學內容結構化，一是要系統(tǒng)分析教學內容，構建結構化知識體系；二是設計結構化教學形式，實施單元整體教學設計；三是突出學生思維結構化，使學生形成整體的、系統(tǒng)的、關聯的結構化思維。

因此在教學中：一是要通過結構化教學使數學認知從散點走向結構。從數學概念的本質出發(fā)，考慮學生現有的知識結構、思維水平以及教材的邏輯結構，引導學生體會數學概念的意義、價值、必要性及優(yōu)越性；依據教材體系整體設計教學過程，在習得知識和發(fā)展思維的過程中，建構知識的系統(tǒng)性結構。二是通過啟發(fā)式教學使數學方法從單一走向多元。用聯系的視角互相融通，促進思想方法的理解遷移。三是從整體的視角使數學思維從割裂走向關聯。引導學生經歷清晰、全面、有序的思考路徑，體驗并形成解決問題的步驟，使思維更加嚴謹條理，合乎邏輯。四是通過深度學習使學生的數學理解從淺層走向深度，實施大單元整體教學，引導學生深刻理解數學知識，發(fā)現并探索數學知識與其他學科及社會生活的聯系。

3.引導學生深度參與數學活動，思維參與學習全過程，經歷數學“再發(fā)現”的過程。

2022 版課標指出，學生要經歷獨立的數學思維過程，經歷數學“再發(fā)現”的過程。學生真正學習的過程一定是思維參與的過程，是由低層次思維向高層次思維的發(fā)展過程，是在學習活動中的感悟與體驗。學生思維的經驗和方式是學生建構知識結構體系的基礎。在學生的學習過程中，問題是學生卷入深度學習的數學活動的重要載體。因此設計具有探究、思考價值的問題至關重要，教師在教學中要引導學生在發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的過程中建構學科知識體系、體驗數學思維的不斷發(fā)展、提升。引導學生應用數學思維解決問題，教師就要在數學知識發(fā)生、發(fā)展的關鍵點上設置問題，并形成問題鏈或問題串，不斷引導學生自主生成新的問題，形成數學思維模式。

2022 版課標強調義務教育階段的數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力。在數與代數領域強調了代數推理，幫助學生體驗代數運算的特性并且提升學生的推理能力；在圖形與幾何領域強調了幾何直觀，突出幾何說理，空間推理；在統(tǒng)計與概率領域強調數據分析的意義，引導學生用理解隨機現象和用數據講道理，體現了統(tǒng)計推理。數學思維的主要形態(tài)是推理，推理集中反映了數學思維的獨特的育人價值。

以數學運算能力的培養(yǎng)為例，2022 版課標指出，運算能力主要是指能夠根據法則和運算律進行正確運算的能力。運算能力的培養(yǎng)首先要幫助學生充分理解數與運算的意義，理解算法與算理之間的關系。加強口算基本功的訓練、加強算理算法相融的教學，循理入法，以理馭法，凸顯一般算法的實質。在數的運算教學中，首先要注重整體設計，幫助學生感悟數與運算的一致性。關注運算應用，鼓勵學生選擇合理的策略解決問題。將算理的剖析和抽象知識融于情境中，聯系數的意義借助現實情境理解算理，實現感性到理性的飛躍。二是關注算理與算法的溝通與聯系，借助直觀演示和動手操作加深算理的理解，運用知識遷移，使學生在理解的基礎上準確運用法則簡化運算過程。三是將估算能力培養(yǎng)貫穿計算教學始終，加強變式練習，加強合理選擇算法的教學，筆算和估算都要選擇算法，改造傳統(tǒng)簡便運算，關注解決問題途徑，關注計算方式選擇。四是要通過運算促進數學思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習慣，培養(yǎng)計算思維，養(yǎng)成良好的計算習慣，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

再從小學推理意識來看，2022 版課標指出，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。因此，在教學中一是要明確推理是重要的思想方法，是數學的基本思維方式，低年級的找規(guī)律、總結計算法則，高年級面積、體積公式的推導，都用到推理。二是注重合情推理和演繹推理。合情推理多用于根據特殊的事實去發(fā)現和總結一般性的結論，演繹推理往往用于根據已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。三是推理能力的發(fā)展要與知識學習有機結合。在教學過程中要設計有挑戰(zhàn)性的項目化任務或活動，引導學生去觀察、實驗、歸納、類比等進行“猜想——驗證”的全過程，并發(fā)現結論。四是把握好推理思想培養(yǎng)的層次性和差異性。要考慮學生的認知水平和接受能力，給學生空間和機會經歷推理的過程，循序漸進，長期滲透，積累推理的活動經驗，鼓勵學生有條理地表達，說理有據。

4.引導學生經歷知識的形成發(fā)展過程，展示學生思維過程，發(fā)展學生重證據、講道理、有條理的數學思維品質。

2022 版課標指出，通過數學思維發(fā)展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理、合乎邏輯的思維品質，逐步形成理性精神。

一是教學中要為數學思維而教。教師要引導學生在自主學習和探究問題中，理解知識本質，初步學會自我評判和調控，對知識進行系統(tǒng)整理；學會質疑和多角度分析，進行發(fā)散性思考，提出自己的見解；初步掌握獲取信息的方法，經歷數學抽象與概括；懂得從特殊到一般，從一般到特殊以及轉化的思維策略。如在小數的初步認識教學中，要重視在具體情境下的表達，不急于歸納含義，要充分利用學生生活經驗和已有認知，在現實的具體情境中，從具體的“量”的角度，即“元、角、分”“米、分米、厘米”等借助直觀和半直觀模型，引導學生在多層次的表述中感悟小數的含義，促進學生學習的正遷移。在教學中暴露學生的思維過程，使思維再現、思維還原、思維溯源，呈現學生的思維路徑和學習軌跡。

二是要注重思維方式的培養(yǎng)。當學生探索并解決了一個具體問題后，設置一般化程度不同的多個問題構成問題鏈，使學生體會一般化思維在數學研究中的作用。如，分析與綜合、抽象與概括、比較與分類、歸納推理、演繹推理、類比推理、順序排列、空間認知、發(fā)散思維、守恒等。以問題為線索，引導學生在深入探究中思辨，由表及里，探尋知識的本質；以點帶面，滲透數學思想和方法。

三是發(fā)展學生的數學思維能力和思維品質。學生深刻性品質培養(yǎng)要善于深入地思考問題，抓住事物的本質和規(guī)律，預見事物的發(fā)展過程；學生要加強概念理解，掌握學科的基本結構；加強抽象和概括能力培養(yǎng)，掌握基本的思維方法；加強批判性思維培養(yǎng)，挖掘隱蔽條件，排除多余因素的干擾；加強學生分析問題的全面性和推理的嚴密性；加強思維靈活性品質的培養(yǎng)，要做到思維的起點靈活、思維的過程靈活、概括遷移能力強；要抓住知識、方法間的關聯與遷移，引導學生發(fā)散思維、立體多維思考，辯證思維，培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通、靈活解決問題的能力；思維批判性品質的培養(yǎng)，要鼓勵獨立思考、質疑問難、重證據、講道理；同時要發(fā)展學生的自我監(jiān)控能力，注重反思，引導學生在反思中多角度、全方位地思考和聯想，打開更多的思維通道；敏捷性品質的培養(yǎng)，引導學生掌握數學的基本結構，形成合理的系列化的“知識組塊”；進行提高思維速度的方法和技巧訓練；通過做開放性、創(chuàng)造性作業(yè)、思維進階測驗等方式，有效追問，促進思維的深度、廣度和關聯度。發(fā)展學生的敏捷性思維，發(fā)展靈活思維、思維的獨創(chuàng)性是指創(chuàng)造性思維，這也是創(chuàng)造力的核心。關注學生直覺思維的培養(yǎng)，運用知識組塊和形象直感對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現解決問題的方向和途徑的思維形式。關注直覺和靈感，直覺思維以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察事物的實質，并迅速做出猜測、設想或突然領悟的思維，對于學生的發(fā)現和創(chuàng)造很重要，因此要保護學生的直覺感悟及意識。

四是關注發(fā)展高階思維。這有助于幫助學生在簡單的問題中發(fā)展個人思維，對問題進行深入的思考。就拿認知目標來說，在布魯姆的認知目標分類中，由低到高分為識記、理解、應用、分析、評價、創(chuàng)造等六個維度，后三個維度對應著高階思維能力。另外，自主自覺的行動、錯綜復雜的溝通交流等，也都是高層次水準心智復雜性的展現。因此，在教學中要關注學生高階思維的培養(yǎng)，要將問題作為思維的主線，以問題為驅動，用有價值的問題發(fā)展學生的高階思維。

數學思維的形成是長期的、循序漸進的過程，數學教育要促進學生思維的發(fā)展，不斷改進學生的思維方式，引導學生學會數學地思維，培養(yǎng)學生的思維能力，形成數學的理性精神。教師要將學生科學思維方式的培養(yǎng)提升到奠基學生能力基礎、關乎學生人生長遠發(fā)展的高度來認識，培養(yǎng)學生學會用事實、實證、邏輯、推理和論證進行思維的能力。