聚焦圓錐曲線的最值（范圍）問題

王佩其

基本策略一、利用定義和幾何關(guān)系

例1已知點(diǎn)P在離心率為2的雙曲

解析：設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由題意可得：

|PF|-|PF1|=2a，lPF|=2a+|PF1|。

△PAF的周長=|AP|+|PF|+|AF

=AP+PF，+AF+2a≥AF1+|AF|+2a。

當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以AF1+AF+2a=20。

點(diǎn)評：遇見橢圓和雙曲線中的最值問題，常把到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到右焦，點(diǎn)的距離，反之也可以;遇見拋物線中的最值問題，常把到焦，點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，反之亦可。

基本策略二、利用基本不等式

0）有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C1與雙曲線C2的一個(gè)公共點(diǎn)，e1，e2分別是橢圓C1和雙曲線C2的離心率，若PF1⊥PF2，則4e+e？的最小值為（）。

解析：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a1，雙曲線實(shí)軸長為2a2。

不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a2。①

由橢圓定義知|PF1+|PF2=2a1。②

又因PF1⊥PF2，故PF1|2+|PF2|2=2

點(diǎn)評：當(dāng)欲求的表達(dá)式中出現(xiàn)兩個(gè)變量且求最值時(shí)，利用基本不等式解題是首選。

基本策略三、利用函數(shù)思想例3已知過拋物線y2=2px（p》0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AF=3FB，拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于C，AA1⊥1于點(diǎn)A1，且四邊形AA1CF的面積為63。過K（-1，0）的直線1'交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且KM=λKN（入∈（1，2]），點(diǎn)G為線段MN的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x。的取值范圍為（）。

解析：過B作BB1⊥1于B1。設(shè)直線AB與準(zhǔn)線1的交點(diǎn)為D，由拋物線的性質(zhì)可

知AA1=AF，BB1=BF，CF=衛(wèi)。

點(diǎn)評：函數(shù)思想就是把圓錐曲線的最值或取值范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題，采用這種策略的關(guān)鍵是合理引入?yún)?shù)建立函數(shù)關(guān)系式，并確定參數(shù)的取值范圍。

基本策略四、利用不等式

b》0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)H（3，0）的直線交橢圓C于點(diǎn)A，B。假設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足OA+OB=tO戶，當(dāng)！PA-PB《3時(shí)，求實(shí)數(shù)t2的取值范圍。

解析：設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的直線方程為y=k（x-3）。

點(diǎn)評：最值或取值范圍問題，本質(zhì)上體現(xiàn)了一種不等關(guān)系，因此利用題中的代數(shù)和幾何關(guān)系（如角度、向量、斜率等）或判別式，建立不等式也是求解圓錐曲線最值或取值范圍問題的-種基本方法。

（責(zé)任編輯 徐利杰）