淺析圓維曲線的焦點(diǎn)三角形問題

徐粉芹

橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)在圓錐曲線上，故稱之為焦點(diǎn)三角形。圓錐曲線焦點(diǎn)三角形問題，涉及幾何、向量、三角、函數(shù)等多領(lǐng)域的知識(shí)與方法，綜合性強(qiáng)、思維強(qiáng)度高，是圓錐曲線知識(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，這類問題全方位反映焦點(diǎn)三角形問題的幾何特征，一般考查周長、離心率、面積、最值等問題。在解決和焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，要注意橢圓、雙曲線定義的運(yùn)用，另外注意三角形中正弦定理、余弦定理及三角形面積公式等知識(shí)的運(yùn)用。

一、橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形的幾個(gè)常見結(jié)論

1.橢圓中PF1|IPF2|的表達(dá)式

|F1F2I2=|PF1I2+|PF2I2-2|PF1|·PF2cos0=（PF+PF2-2PFPF2-2PFPF2cos0=（PF+|PF2）2-2|PF1|IPF2（1+cos0）。

故4c2=4a2-2|PF1||PF2（1+cos0）。

2.橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式

3.雙曲線中PF1PF2的表達(dá)式

4.雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積公式

二、幾個(gè)重要問題

1.周長問題

例1

[2021年永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中（理數(shù)）]已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓3+y=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是（）。

A.23

B.43

C.4

D.6

設(shè)另一焦點(diǎn)為F1，由題意可得△ABC的周長為|AC+CF1+F1B+AB=2a+2a=4a=4/3。故選B。

點(diǎn)評(píng)：周長問題是圓錐曲線的焦，點(diǎn)三角形問題中的基礎(chǔ)題型，解決此類問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用圓錐曲線的定義。

練習(xí)1：已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a=8，那么△ABF2的周長是（）。

A.26

B.21

C.16

D.5

解析：易知|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，即|AF2|+|BF2|（AF1+|BF1I）=16，|AF2|+|BF2|=16+5=21。故△ABF2的周長為AF2+|BF2|+AB|=21+5=26。選A。

2.離心率問題

離心率是圓維曲線的重要性質(zhì)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，考查同學(xué)們對(duì)圓維曲線知識(shí)的掌握程度和綜合應(yīng)用能力。解題的思路是：根據(jù)已知條件探尋α，b，c三者之間的關(guān)系，要求大家運(yùn)用圓錐曲線第一定義、正余弦定理、不等式等知識(shí)分析和探尋解題方向，通過細(xì)心的運(yùn)算，步步為營，最終得到結(jié)果。

解析：如圖1所示，設(shè)|AF1=3t，則AB=4t，|BF1|=5t。所以|AF1|2+AB|2=|BF1|2，∠F1AF2=90°。

由橢圓定義可得，

AF+ABBF=12t=4a，=3。

所以|AF1|=3t=a，|AF2|=2a-|AF1|=a，△AF1F2為等腰直角三角形?？傻脇AF1I2+|AF2|=|F1F2|2，即2a2=4c2。

點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形三邊上設(shè)置“情境”，與三角形離心率的有機(jī)結(jié)合，綜合考查同學(xué)們對(duì)“新情境”問題的處理能力。

3.面積問題

面積問題一般出現(xiàn)在試卷的選擇題或填空題中，如果同學(xué)們采用常規(guī)思路來解答問題，就會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間，會(huì)造成小題大做，對(duì)于考場(chǎng)上的寶貴時(shí)間而言非常不可取。有鑒于此，在解決問題時(shí)，大家可采取特殊解法，這樣-來可以節(jié)省時(shí)間，二來能夠提高做題的準(zhǔn)確率。這里的特殊解法是指求解圓維曲線中的面積問題時(shí)要應(yīng)用余弦定理來求解，這種做法方便、高效。

點(diǎn)評(píng)：此類三角形的面積問題，常規(guī)解法是利用余弦定理求出PF1PF2，再利用三角形的面積公式求解，也可直接利用此類三角形的面積公式求解。

練習(xí)3：（2021年安徽安慶市高三模擬）

4.最值問題

最值問題是圓錐曲線焦點(diǎn)三角形中的-類重要問題，解答這類問題主要用到圓錐曲線第一定義，再輔之以正弦定理、余弦定理及均值定理等其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來解。

點(diǎn)評(píng)：此類問題的常規(guī)解法是求出向量的數(shù)量積，根據(jù)角的范圍進(jìn)行求解。

當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F，PF2取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2=120°，則∠F1PF2的最大值大于或等于120°，即點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF？大于或等于120°。

（責(zé)任編輯 徐利杰）