賞析雙曲線中五種常見題型

汪亞洲

雙曲線的第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡叫作雙曲線。這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作焦距。

常用結(jié)論：

1.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b;

2.同支的焦點弦中最短的弦為通徑（過0）右支上的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標為定值α。

以下是五種常見的題型。

一、雙曲線的定義及其應用

例1已知圓C1：（x+3）2+y2=1和

解析：（1）如圖1所示，

設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|。

因為|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2《6。由雙曲線的定義知，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C2的距離大，到C1的距離小），且α=1，c=3，則b2=8。

設點M的坐標為（x，y），則其軌跡方程

解析：設|F2A|=|F2B|=m。由雙曲線定義得，|F1A|=m-2a，|F1B|=m+2a。所以|AB|=|F1B-F1A=4a。

在Rt△F2HA中，由勾股定理得：

在Rt△F2HF1中，由勾股定理得：

二、求雙曲線的離心率

B》0）的左焦點為F，直線4x-3y+20=0過點F且與雙曲線在第二象限的交點為P，O為原點，OP=OF，則雙曲線的離心率

解析：直線4x-3y+20=0與x軸的交點為F（-5，0），可知半焦距c=5。設雙曲線C的右焦點為F1，連接PF1，根據(jù)OF1=OF且OP=OF可得，△PFF1為直角三角形。如圖2，過點O作OA垂直于直線4x-3y+20=0，垂足為A，易知OA為△PFF1的中位線。又原點O到直線4x-3y+20=0的距離d=4，所以|PF1|=（a》0，b》0）在第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)為其右焦點，點A關于原點O的對稱點為B，且FA⊥

FB，2|FA|≤|FB|≤4|FA|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）。

解析：設雙曲線的左焦點為F1，∠AF1F

則雙曲線的離心率滿足：

三、中點與中點弦

（1）求雙曲線C的標準方程;

（2）以P（1，2）為中點作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程。

解析：由已知可得雙曲線C的焦點為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）。

所求雙曲線的標準方程為

故弦AB所在的直線方程為

變式訓練3：已知雙曲線

（1）求雙曲線C的方程;

（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2+y2=5上，求m的值。

四、求弦長和面積

例4若雙曲線

（1）求雙曲線C的方程;

（2）已知雙曲線C的左、右焦點分別為

故雙曲線C的方程為

（2）由（1）知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），即直線AB的方程為y=-（x-2）。

設A（x1，y1），B（x2，y2）。聯(lián)立由弦長公式得

變式訓練4：已知雙曲線

（α》0，b》0）的離心率為5，虛軸長為4。

（1）求雙曲線的標準方程;

（2）直線l：y=mx+1與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，△OAB的面積是2/2，求直線L的方程。

故雙曲線的標準方程為

O點到直線1的距離

故所求直線方程為

五、求定值和定點

例5已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點分別為A1、A2，動直線1：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左右兩支的交點分別為P，（x1，y1），P2（x2，y2）。記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為2，那么，k1·k2是定值嗎？請證明你的結(jié)論。

解析：由直線1與圓x2+y2=1相切，可

變式訓練5：已知雙曲線

（1）求雙曲線C的方程。

（2）設斜率分別為k1，k2的兩條直線11，12均經(jīng)過點Q（2，1），且直線1，l2與雙曲線C分別交于A，B兩點（A，B異于點Q），若k1+k2-1，試判斷直線AB是否經(jīng)過定點。若存在定點，求出該定點坐標;若不存在，說明理由。

解析：（1）離心率為

所以雙曲線C的方程為

（2）當直線AB的斜率不存在時，點A，B關于x軸對稱，設A（x0，yo），B（xo，意，所以直線AB的斜率存在。不妨設直線AB的方程為

整理得t2+（2k-2）t-1+2k=0，即（t-1）（t+2k-1）=0，則t=1或t=1-2k。

當t=1時，直線AB的方程為y=kx+1，經(jīng)過定點（0，1）;

當t=1-2k時，直線AB的方程為y=k（x-2）+1，經(jīng)過定點Q（2，1），不符合題意。

綜上，直線AB過定點（0，1）。

（責任編輯 徐利杰）