求圓錐曲線最值（值域）常見函數(shù)“模型”的解法

杜海洋

有關(guān)圓錐曲線綜合問題求最值或范圍時，筆者發(fā)現(xiàn)當題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯時，可以先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或值域。目前常見的函數(shù)模型解決方法有：（1）配方法;（2）基本不等式法。下面舉例說明這兩種方法的運用，以饗讀者！

方法一二次函數(shù)配方法

例1已知圓O：x2+y2=4，F(xiàn)，（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點D為圓O上-動點，2F2D=F2E，點C在直線EF1上，且C幣·EF2=0，記點C的軌跡為曲線W。

（1）求曲線W的方程;

（2）已知N（4，0），過點N作直線l1與曲線W交于A，B不同兩點，線段AB的中垂線為l2，線段AB的中點為Q，記12與y軸的交點為M，求|MQ|的取值范圍。

分析：（1）由題易知點D是F2E的中點，可得|CE|=|CF2|，即|CF1|+|CF2|=4為定值，可得C的軌跡為以（-1，0），（1，0）為焦點的橢圓。

（2）由題意設(shè)直線11的方程，聯(lián)立橢圓，求得點N的坐標（注意考慮判別式），再得出直線12的方程，再求得點M的坐標，即可求得MQ的長度，求出其范圍即可。

解：（1）（過程略）易得曲線W的方程為（2）由題意可知直線，的斜率存在，設(shè)l1：y=k（x-4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）。

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0。

點評：本題考查了軌跡方程的求法，以及取值范圍的求法，熟悉直線與圓維曲線相交的解題步驟是解題的關(guān)鍵。以直線方程斜率k為參數(shù)是處理這類問題的常見思路，其中要注意以下幾，點：（1）設(shè)出，點和直線的方程（考慮斜率是否存在）;（2）聯(lián)立方程，化簡為一元二次方程（考慮判別式，其中涉及參數(shù)的范圍），利用韋達定理;（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求結(jié)果;（4）計算時要細心。面積的最大值為/3，拋物線E：y2=2px（衛(wèi)》0）與橢圓C有一個共同的焦點。

（1）求橢圓C和拋物線E的方程。

（2）設(shè)A，B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點，且OA·OB=5。

①求證直線AB必過定點，并求出定點M的坐標;

②過點M作AB的垂線與拋物線交于G，H兩點，求四邊形AGBH面積的最小值。

解析：（1）根據(jù)題意，已得橢圓C的方程則四邊形AGBH的面積

方法二基本不等式法

例2已知點F是拋物線C1：y=4x

（1）求橢圓C2的方程;

（2）直線L與拋物線C1相切于點P（x。，yo），與橢圓C2交于A，B，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，求S△AQ的最大值及相應(yīng)的x0。

分析：（1）根據(jù)題意可得c=1，左焦點F1（-1，0），右焦點F（1，0），然后根據(jù)（2a-|MFI）2-|MF|2=|MFI2-（2-|MF|）2，及|MF|=3（2-1），求得a，b。

（2）假設(shè)直線1的方程為x=n（y-yo）+xo，根據(jù)直線1與拋物線相切，可得n

點評：本題對同學(xué)們的計算能力要求較高。解答此類題目，利用橢圓的定義和α，b，C的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到面積的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求解。本題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯誤百出。本題能較好地考查同學(xué)們的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題與解決問題的能力。

變式訓(xùn)練2：（2017年成都期末卷）已知動點M到定點F（-3，0）的距離和它到直

（1）求曲線C的方程;

（2）若直線l1：y=kx+t1與曲線C相交于不同的兩點A、B，直線L2：y=kx+t2（t1≠t2）與曲線C相交于不同的兩點D、E，且AB=DE，求以A、B、D、E為頂點的凸四邊形的面積S的最大值。

解析：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得故曲線C的方程為

以A、B、D、E為頂點的凸四邊形為平行四邊形。

設(shè)兩平行線AB，DE間的距離為x，則r

因此，以A、B、D、E為頂點的凸四邊形的面積S的最大值為4。

點評：本題解答的式子存在雙參數(shù)，合理利用基本不等式進行消參求最值是這類問題的亮點和難點。

（責(zé)任編輯 徐利杰）