近幾年高考雙曲線熱點(diǎn)聚焦及本質(zhì)回歸

肖斌

雙曲線是圓錐曲線的重要組成部分，是每-年高考的必考內(nèi)容。由于它難度極大，許多知識點(diǎn)又與橢圓類似，因此，多年來各地高考試卷中的雙曲線題目趨向于常規(guī)、中低檔，且多以-道分值5分的小題出現(xiàn)，幾乎不見大題蹤影。其相關(guān)小題的熱門考點(diǎn)也主要聚焦于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等主干知識，尤其以漸近線、離心率等幾何性質(zhì)的“出鏡率”最高。

值得注意的是，2021年全國新高考適應(yīng)性考試（即八省聯(lián)考）和全國新高考I卷一改多年來橢圓、拋物線解答題“獨(dú)霸高考”的格局，相繼罕見地以雙曲線為載體命制成次壓軸題，其情境新穎、創(chuàng)新程度高，在高考解析幾何本已平靜多年的“湖面”掀起陣陣“漣漪”。細(xì)細(xì)揣摩，我們不難感受這兩道題目在考查同學(xué)們解析幾何的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的良好評價(jià)功能，不難領(lǐng)會高考命題專家銳意改革的大膽步伐與良苦用心。事實(shí)上，雙曲線問題的處理方法與橢圓“如出-轍”，同學(xué)們即使對雙曲線大題缺少拔高訓(xùn)練，也完全可以憑借自己對橢圓問題的基本收獲及對新知的感悟能力，靈活地將解題方法“遷移”到相對“陌生”、卻-脈相承的雙曲線綜合大題之中，此舉有利于引導(dǎo)大家改變以大量刷題、盲目押題拿高分的固有“套路”與“沉疴”。鑒于此，我們有必要在基于核心素養(yǎng)的全新視域下，變被動為主動，強(qiáng)化雙曲線模塊的系統(tǒng)化、規(guī)律化學(xué)習(xí)，力求彌補(bǔ)長期以來對其學(xué)而不清、觸而不精的“短板”，在全、透、新、活上強(qiáng)勢應(yīng)對?，F(xiàn)就近年來高考雙曲線熱門考點(diǎn)及本質(zhì)回歸進(jìn)行逐一梳理與深刻解讀，旨在為同學(xué)們釋疑解惑、指點(diǎn)迷津。

熱點(diǎn)聚焦-雙曲線的定義問題

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|FF2|）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線，這兩個定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距。雙曲線的定義既可順用，當(dāng)作判定定理;也可逆用，當(dāng)作性質(zhì)定理。應(yīng)特別注意正確使用定義，即若|IMF1|-IMF2||=2a，|F1F2|=2c，其中a，c為常數(shù)且a》0，c》0，當(dāng)2a《|F，F(xiàn)2時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線;當(dāng)2a》F，F(xiàn)2時(shí)，M點(diǎn)不存在。

命題方向1利用定義求焦半徑

例1（2021年四川省巴中中學(xué)高二

命題方向2利用定義解決焦點(diǎn)三角形問題

例2（2020年全國I卷文數(shù)第11

本質(zhì)回歸：在焦，點(diǎn)三角形中，常利用雙曲線的定義、正弦定理、余弦定理及平方法建立焦半徑|PF，|與|PF，|的乘積關(guān)系。雙曲線與橢圓的一些規(guī)律極其類以，務(wù)必用類比的方法學(xué)好。已知F1（-c，0）、F2（c，0）分別為

命題方向3

利用定義求解折線段的最

值或范圍問題

例3

（2015年全國I卷文數(shù)第16題）

本質(zhì)回歸：圓錐曲線中折線段的最值問

題，一般是先通過圓錐曲線的定義和圓錐曲線的對稱性將折線中的和或差變?yōu)橹本€段，然后利用“兩點(diǎn)間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊”等平面幾何知識找到取得最值的臨界條件，并求出最值。

命題方向4以雙曲線的第二定義、第三定義為背景的問題

將人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1中P59

例5、P62B組第3題引申拓展就得到雙曲線的第二定義，即在平面內(nèi)，點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)義，可以得到雙曲線的焦半徑公式，但此公式太復(fù)雜，現(xiàn)行教材與高考不要求記憶，只需了解背景即可，不宜盲目拔高。

相比之下，雙曲線的第三定義在教材中多處滲透，在高考題中時(shí)時(shí)考查，同學(xué)們務(wù)必熟練掌握。

例4（2020屆高三全國卷第一次在

關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線上異于點(diǎn)A，B的動點(diǎn)，直線MA，MB的斜率均存在且分別為k1，k2，若k1∈[1，2]，則k2的取值范圍為（）。

解析：（解法一，代入法）根據(jù)對稱性，可設(shè)A（x1y1），B（-x1，-y1），再設(shè)M（xoy0）。

本質(zhì)回歸：將人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1中P55探究題、P80A組第10題引申拓展即得雙曲線第三定義：一般地，與兩個定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）連線的斜率之積等于定常把它們都稱之為“雙曲線第三定義”，前者可當(dāng)作雙曲線的判定定理使用，后者可當(dāng)作雙曲線的性質(zhì)使用。更一般地，“雙曲線第三定義”當(dāng)作性質(zhì)使用時(shí)，還可以拓展為：已知e，點(diǎn)A，B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，

點(diǎn)M是雙曲線上異于，點(diǎn)A，B的動，點(diǎn)，若直

熱點(diǎn)聚焦二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或軌跡方程

命題方向1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中焦點(diǎn)位置的識別

例5（2020年新高考全國I卷第9題，多選題）已知曲線C：mx2+ny2=1，則（）。

A.若m》n》0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n》0，則C是圓，其半徑為n

C.若mn《0，則C是雙曲線，其漸近線

D.若m=0，n》0，則C是兩條直線

平行于x軸的兩條直線，故D正確。

綜上，選ACD。

本質(zhì)回歸：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的分母的大小，若x2項(xiàng)的分母大，則焦，點(diǎn)在x軸上;若y項(xiàng)的分母大，則焦，點(diǎn)在y軸上。在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦，點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上?？删幊身樋诹锉阌诜直媾c巧記：橢圓分母看大小，焦點(diǎn)跟著大的跑;雙曲線分母看正負(fù)，焦，點(diǎn)跟著正的去。本題的原

型是人教A版選修2-1中P80第4題，當(dāng)α從0°到180°變化時(shí)，方程x2+y'cosa=1表示的曲線的形狀怎樣變化？

命題方向2待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程例6若雙曲線的漸近線方程為y=

解得入=32或入=0（舍去）。

本質(zhì)回歸：①用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦，點(diǎn)在x軸上還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定α2，b2的值，即“先定位，再定量”。焦，點(diǎn)位置不能確定

命題方向3定義法求軌跡方程

例8（2020年高考浙江卷第8題）已知點(diǎn)O（0，0），A（-2，0），B（2，0），設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2，且P為函數(shù)y=3/4-x2圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（）。

解析：由雙曲線的定義可知，點(diǎn)P（x，y）

在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上。

因?yàn)?a=2，c=2，所以a=1，b2=c2-a2=3。

命題方向4韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法求軌跡方程

例9（2010年全國卷理數(shù)第12題）

已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是雙曲線E的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線L與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為N（-12，-15），則雙曲線E的方程為（）。

本質(zhì)回歸：處理有關(guān)中點(diǎn)弦（或弦中，點(diǎn)）問題時(shí)，用“點(diǎn)差法”比用韋達(dá)定理法更快捷，解法步驟可概括為：設(shè)，點(diǎn)，代入，作差，變形。

=1（α》0，b》0）的任意一條不過原，點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的弦，O為雙曲線的中心，e為雙曲線的離心率，N為弦AB的中，點(diǎn)，則AB·

斜率性質(zhì)”，它與“雙曲線第三定義”規(guī)律相通，一脈相承。巧用該性質(zhì)，可秒殺本題：因

熱點(diǎn)聚焦三雙曲線的幾何性質(zhì)

命題方向1漸近線問題

在圓維曲線中，漸近線方程是雙曲線獨(dú)有的幾何性質(zhì)，因此，考查漸近線-直是雙曲線高考命題的“重頭戲”。

（1）求漸近線方程。例10

（2021年全國新高考Ⅱ卷第13

心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為

本質(zhì)回歸：雙曲線的漸近線的斜率與

（2）以漸近線為載體考查其他幾何性質(zhì)。

例11（2020年安徽省黃山市模擬

近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域（不含邊界），若點(diǎn)（2，1）在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是

命題方向2求雙曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)（距）、實(shí)（虛）軸長等基本量

例12

（2021年全國乙卷理數(shù)第13

例13

（2020年全國Ⅱ卷文數(shù)第9題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=α與雙曲線

解析：不妨設(shè)D在上，E在下。易得曲線C的漸近線方程是y=-x。

（a》0，b》0）的頂點(diǎn)（±a，0）作垂直于實(shí)軸的直線L交雙曲線的兩條漸近線分別于A、B兩，點(diǎn)，則線段AB的長等于虛軸之長，即AB=2b。

命題方向3求雙曲線離心率的值或取值范圍

（1）利用定義或變通式求離心率。

例14（2019年全國I卷文數(shù)第10

本質(zhì)回歸：求雙曲線離心率的方法靈活多樣：（l）已知a，c，直接用定義e=C求解;

求解;（4）若已知a，b，c的齊次方程（或不等式），常借助于b2=c2-α2消去b，轉(zhuǎn)化為僅含a，c的方程（或不等式）求解。

（2）利用平面幾何知識求離心率。

例15（2019年全國I卷理數(shù)第16

在Rt△F1BF2中，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的-半”知OB=OF1。

在等腰△F，OB中，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)知∠AOB=∠AOF1。

又OA與OB都是漸近線，得∠BOF2-∠AOF1。

由∠BOF2+∠AOB+∠AOF1=180°，得∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60°。

本質(zhì)回歸：本題用到三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的-半、等腰三角形“三線合-”等眾多平面幾何性質(zhì)及雙曲線的離心率與漸近線斜率的重要關(guān)系，其解法簡潔美妙，耐人尋味。

（3）利用解析幾何知識求離心率。

例16（2019年全國Ⅱ卷理數(shù)第11

（4）利用三角知識求離心率。

例17（2021年全國甲卷理數(shù)第5題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且∠F，PF2=60°，|PF1=3|PF2|，則雙曲線C的離心率為

本質(zhì)回歸：在焦點(diǎn)三角形中，常利用圓錐曲線的定義及正弦定理、余弦定理及求離心率。常用到下面二級結(jié)論：已知F1（-C，0），

（5）求離心率的最值或取值范圍。

例18（2021年全國甲卷理數(shù)第5題

由“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，故總有|PF1+|PF2≥F，F(xiàn)2。

設(shè)雙曲線的半焦距為c，則4α≥2c，所以

（6）已知離心率求參數(shù)。

例19（2020年貴州思南中學(xué)月考

命題方向4雙曲線的幾何性質(zhì)與其他圓錐曲線知識的結(jié)合問題

例20（2021年高考天津卷第8題）

解析：設(shè)雙曲線的半焦距為c，則其右焦點(diǎn)為（c，0）。先統(tǒng)-用a，b，c表示出|CD|和|AB|，然后轉(zhuǎn)化成α，c間的關(guān)系求出雙曲線的離心率e。

由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=（α》0，b》0）的焦，點(diǎn)（±c，0）作垂直于實(shí)軸的直線1，若1交雙曲線分別于A、B兩點(diǎn)，則AB1=2

（此時(shí)焦，點(diǎn)弦AB稱作通徑，通徑是同支中最短的焦，點(diǎn)弦;此外，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a）。若L交雙曲線的

熱點(diǎn)聚焦四

雙曲線綜合性解答題

例21（2021年新高考I卷第21題）

故直線AB與直線PQ的斜率之和為0。

本質(zhì)回歸：人教A版選修4-4中P38

例4對橢圓的相交弦定理作了介紹，即經(jīng)過騎圓+，=1（a》b》0）內(nèi)的點(diǎn)M引兩弦AB、CD，若這兩條相交弦的斜率均不為零且互為相反數(shù)，則各弦被，點(diǎn)M所分成的兩線段的乘積相等，即|MA|·|MB|=|MC·MD，且兩條弦的四個端，點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。雙曲線、拋物線也有類以性質(zhì)。近年來，高考和模擬卷中的解析幾何試題涉及的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容主要有：圓錐曲線的第二定義、第三定義，圓冪定理在圓錐曲線中的類比遷移以及蝴蝶定理，阿波羅尼斯圓，蒙日圓，卡西尼卵形線等，同學(xué)們需拓展視野，加深了解。

（責(zé)任編輯 徐利杰）