湘教版與人教A版高中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容比較研究

吳文斌 王潔 張炳意

【摘要】文章采用內(nèi)容分析法和比較法，分析比較了湘教版和人教A版高中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的異同，發(fā)現(xiàn)湘教版注重函數(shù)模型的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模專題注重建?；顒拥闹鸫伍_展，人教A版注重函數(shù)模型的直接應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模專題注重建模活動的整體開展；湘教版?zhèn)戎剡x擇與學(xué)生聯(lián)系密切的生活問題情境，人教A版?zhèn)戎剡x擇與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切的科學(xué)問題情境；湘教版注重陳述句與開放式相結(jié)合的問題表述形式，人教A版注重疑問句與封閉式相結(jié)合的形式；湘教版重視自主發(fā)現(xiàn)問題和選擇數(shù)學(xué)模型解決問題，人教A版注重分析問題和應(yīng)用已給模型解決問題?；诖?，對湘教版建模內(nèi)容提出整體把握數(shù)學(xué)建?；顒拥牟煌瑐?cè)重點，統(tǒng)整資源，選擇適合數(shù)學(xué)建模活動的情境與問題，整體設(shè)計突出數(shù)學(xué)建模活動的層次性，注重數(shù)學(xué)建模過程的完整性與活動性的使用建議。

【關(guān)鍵詞】湘教版；人教A版；數(shù)學(xué)建模；框架；分析建議

【中圖分類號】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）05—0066—06

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出，數(shù)學(xué)建模能力是六大核心素養(yǎng)之一，并提倡教師要將數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動確定為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一條主線。依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）編寫的高中數(shù)學(xué)教科書已經(jīng)投入使用，數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的體例結(jié)構(gòu)、編寫特色等是數(shù)學(xué)教師關(guān)注的問題，因此，有必要深入比較研究數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，為一線教師解讀建模內(nèi)容、整合建模資源、開展建模教學(xué)提供參考。

選取2019年湖南教育出版社出版的普通高中數(shù)學(xué)必修教科書（簡稱湘教版）和人民教育出版社出版的普通高中數(shù)學(xué)必修教科書（簡稱人教 A版）為研究文本，以兩版教科書中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容為研究對象。

課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)定義為“對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”，數(shù)學(xué)建模過程主要包括“在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型?！崩斫鈹?shù)學(xué)建模要把握三大要義，一是解決現(xiàn)實問題；二是將現(xiàn)實問題通過數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；三是要經(jīng)歷完整的建模過程?；谝延醒芯康姆治隹蚣埽罁?jù)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的概念框架，將數(shù)學(xué)建模內(nèi)容分析框架確定為：內(nèi)容分布、情境類型、問題表述、建模過程。

（一）內(nèi)容分布

為了便于研究，只選取顯性形式呈現(xiàn)的建模內(nèi)容進(jìn)行分析，也就是教科書中帶有明顯的“模型”或“建模”文字表述的章節(jié)，從數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的呈現(xiàn)位置、建模問題數(shù)量、建議課時和頁數(shù)四個指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計，其中建模問題是指教科書中符合數(shù)學(xué)建模要求的現(xiàn)實問題，這些問題通常以案例、例題、練習(xí)、習(xí)題、閱讀的形式呈現(xiàn)。內(nèi)容分布情況如表1所示。

由表1可知，兩版教科書都在必修第一冊函數(shù)主題部分設(shè)置了“函數(shù)模型應(yīng)用”，但在內(nèi)容呈現(xiàn)位置、課時方面均有差異。湘教版“函數(shù)模型應(yīng)用”分布在第4、5章，有9頁內(nèi)容，共包含18個建模問題，計劃3課時。其中“4.5.2形形色色的函數(shù)模型”先給出了數(shù)學(xué)建模的定義和數(shù)學(xué)建模的四個步驟，然后通過實例，讓學(xué)生學(xué)會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律；“4.5.5節(jié)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”，選用簡諧振動（單擺）和勻速圓周運動兩個實例說明三角函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用。人教A版“函數(shù)模型應(yīng)用”分布在第3、4、5章，有19頁內(nèi)容，共包含48個建模問題，計劃6課時。其中“3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）”通過一些實例學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)模型解決實際問題的過程和方法；“4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用”結(jié)合四個實例，學(xué)習(xí)運用模型思想選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫不同的變化規(guī)律；5.6節(jié)學(xué)習(xí)利用三角函數(shù)知識刻畫“勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型”，“5.7節(jié)三角函數(shù)的應(yīng)用”選用簡諧振動（彈簧振子）和交變電流兩個具體實例，說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。

兩版教科書都設(shè)置了“數(shù)學(xué)建模專題”，但在內(nèi)容呈現(xiàn)位置、建模問題數(shù)量方面均有差異。湘教版“數(shù)學(xué)建模專題”安排在必修第二冊中，獨立成章，包括5小節(jié)內(nèi)容，有23頁共19個建模問題，計劃6課時。5節(jié)內(nèi)容主要包括數(shù)學(xué)模型及其作用、數(shù)學(xué)建?；顒拥幕具^程、建立數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題的全過程等。人教A版“數(shù)學(xué)建模專題”安排在必修第一冊中，沒有獨立設(shè)章，有5頁內(nèi)容含5個建模問題，計劃3課時。內(nèi)容以函數(shù)建模實例展現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程，給出了數(shù)學(xué)建?；顒又笇?dǎo)。

由以上梳理可知，湘教版與人教A版均在函數(shù)主題中設(shè)置了“函數(shù)模型應(yīng)用”滲透建模思想，單獨設(shè)置了“數(shù)學(xué)建模專題”開展數(shù)學(xué)建?；顒?。兩版教科書在內(nèi)容編排上各有特點，在“函數(shù)模型應(yīng)用”上，湘教版注重滲透數(shù)學(xué)建模過程，強(qiáng)調(diào)函數(shù)模型的綜合應(yīng)用；人教A版注重滲透數(shù)學(xué)建模思想，強(qiáng)調(diào)函數(shù)模型的直接應(yīng)用。在“數(shù)學(xué)建模專題”上，湘教版注重數(shù)學(xué)建?；顒拥闹鸫伍_展，內(nèi)容編排系統(tǒng)完整、案例豐富；人教A版注重數(shù)學(xué)建?；顒拥恼w開展，內(nèi)容編排緊湊、選題豐富。

（二）情境類型

“情境類型”是指教科書在組織和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模問題時所使用的現(xiàn)實情境類型，依其來源可分為個人情境、社會情境、職業(yè)情境和科學(xué)情境。統(tǒng)計兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境類型，如表2所示。

由表2可知，兩版教科書建模問題選用科學(xué)情境的比例最大，而且人教A版高于湘教版。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，兩版教科書在科學(xué)情境選材上有差異：湘教版科學(xué)情境選材主要集中在物理情境上，重視數(shù)學(xué)與物理學(xué)的聯(lián)系，如單擺運動、勻速圓周運動、交變電流、萬有引力定律、自由落體運動等，讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)解決物理問題的實質(zhì)；人教A版科學(xué)情境選材涉及學(xué)科較多，包括物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文學(xué)、心理學(xué)、環(huán)境科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)情境，這表明人教A版建模問題情境類型多樣，注重數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的聯(lián)系，能較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。另外，湘教版設(shè)計的個人情境、社會情境、職業(yè)情境建模問題比例均高于人教A版，表明湘教版教科書注重選擇與學(xué)生實際生活密切相關(guān)的情境，如最佳射門、蜂房結(jié)構(gòu)、估計產(chǎn)量等案例。

以上分析表明，雖然兩版教科書建模問題情境以科學(xué)情境為主，但在情境選擇上各有側(cè)重，湘教版?zhèn)戎剡x擇與學(xué)生聯(lián)系密切的生活問題情境，而人教A版?zhèn)戎剡x擇與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切的科學(xué)問題情境。

（三）問題表述

現(xiàn)實問題的不同表述形式影響數(shù)學(xué)建模活動的開放程度。問題表述包括提出問題時所用的句式和所提問題的類型。其中，問題句式包括陳述句和疑問句，陳述句是直接陳述一個數(shù)學(xué)事實、任務(wù)或活動要求，句末一般用句號表示；疑問句用詢問或者反問等方式表述數(shù)學(xué)任務(wù)或活動要求，句末一般用問號表示。問題類型分為封閉式和開放式，封閉式的答案和解答方法唯一，開放式?jīng)]有預(yù)設(shè)的結(jié)論，所得結(jié)論是多元的，或者沒有規(guī)定學(xué)生使用某種方法或策略解決問題，其過程是多元的[1]。統(tǒng)計兩版教科書建模問題的表述形式，如表3所示。

由表3可知，從單一維度看，兩版教科書建模問題以陳述句為主，但湘教版建模問題的陳述句表述比例高于人教A版；湘教版開放式建模問題比例遠(yuǎn)高于人教A版，人教A版封閉式建模問題比例遠(yuǎn)高于湘教版。從雙重維度看，湘教版建模問題以“陳述句+開放式”形式表述的比例明顯高于人教A版，人教A版建模問題以“疑問句+封閉式”形式表述的比例明顯高于湘教版。

以上分析表明，湘教版建模問題表述形式注重“陳述句”與“開放式”的結(jié)合，這種表述形式使建模問題的條件和結(jié)論比較隱蔽，更符合數(shù)學(xué)建模的特征。人教A版建模問題表述形式注重“疑問句”與“封閉式”的結(jié)合，這種表述使數(shù)學(xué)問題更加明確，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的特征。

（四）建模過程

建模過程是把現(xiàn)實世界中的實際問題提煉、抽象為數(shù)學(xué)模型，求出數(shù)學(xué)模型的解，驗證數(shù)學(xué)模型的合理性，并用數(shù)學(xué)模型提供的結(jié)論揭示實際問題的一種數(shù)學(xué)應(yīng)用過程[2]。過程性是數(shù)學(xué)建模活動的核心要義，完整的數(shù)學(xué)建模過程包括五步：實際情境—提出問題與分析問題—建立模型與求解模型—檢驗結(jié)果—模型修正。本研究將這五步作為建模過程要素分析的步驟。第一步從情境的現(xiàn)實性進(jìn)行分析；第二步從提出問題的方式和是否有詳細(xì)分析過程進(jìn)行分析；第三步從數(shù)學(xué)模型是否已知進(jìn)行分析；第四步從是否有模型檢驗過程進(jìn)行分析；第五步從是否有模型修正過程進(jìn)行分析。

本研究只選取“建立模型與求解模型”過程的建模問題為研究對象，比較分析兩版教科書篩選出23個建模問題，其中湘教版有10個，人教A版有13個。數(shù)學(xué)建模過程要素分析如表4所示。

由表4可知，湘教版建模問題的現(xiàn)實情境與虛擬情境數(shù)量比例均為50%，人教A版建模問題虛擬情境比例略高于現(xiàn)實情境；湘教版采用發(fā)現(xiàn)問題方式的比例高于人教A版，人教A版采用直接給出問題方式的比例明顯高于湘教版；湘教版有詳細(xì)分析過程的建模問題比例略高于人教A版，有分析過程但不詳細(xì)的建模問題比例人教A版高于湘教版；兩版教科書半數(shù)以上的建模問題需要選擇合適的數(shù)學(xué)模型，湘教版與人教A版的比例分別為80%、53.8%，但人教A版有46.2%的建模問題是用已給的數(shù)學(xué)模型解決問題，湘教版這一比例僅為20%；湘教版有50%的建模問題有模型檢驗過程，且有70%的建模問題將結(jié)論帶入現(xiàn)實情境以檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，人教A版84.6%的建模問題無模型檢驗過程，且53.8%的建模問題無現(xiàn)實情境的分析；兩版教科書中只有湘教版有一個建模問題有模型修正，其余建模問題均無模型修正過程。

此外，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模活動以課題研究的形式開展，但兩版教科書只在數(shù)學(xué)建模專題部分提到了課題研究，其他建模問題幾乎沒有提及課題研究。進(jìn)一步對比發(fā)現(xiàn)，人教A版課題研究過程包括選題、開題、做題、結(jié)題，與課程標(biāo)準(zhǔn)要求一致，湘教版課題研究出現(xiàn)在練習(xí)題中，但無選題、開題的過程。

從以上分析可以看出，兩版教科書建模問題過程要素基本齊全，但在具體過程中處理方式有差異。湘教版比較重視以發(fā)現(xiàn)的方式提出問題，絕大多數(shù)建模問題需要學(xué)生自主選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題，半數(shù)以上的建模問題有模型檢驗的過程且關(guān)注到模型修正過程；人教A版直接給出問題提出的主要方式，絕大多數(shù)建模問題有分析過程，40%以上建模問題是用已給的數(shù)學(xué)模型解決問題，半數(shù)以上的建模問題無模型檢驗過程，模型修正過程關(guān)注不夠，課題研究過程相對完整。

（一）結(jié)論

1.內(nèi)容分布。湘教版“函數(shù)模型應(yīng)用”注重滲透數(shù)學(xué)建模過程，強(qiáng)調(diào)函數(shù)模型的綜合應(yīng)用，“數(shù)學(xué)建模專題”注重數(shù)學(xué)建?；顒拥闹鸫伍_展，內(nèi)容編排系統(tǒng)完整、案例豐富；人教A版“函數(shù)模型應(yīng)用”注重滲透數(shù)學(xué)建模思想，強(qiáng)調(diào)函數(shù)模型的直接應(yīng)用，“數(shù)學(xué)建模專題”注重數(shù)學(xué)建模活動的整體開展，內(nèi)容編排緊湊、選題豐富。

2.情境類型。湘教版?zhèn)戎剡x擇與學(xué)生聯(lián)系密切的生活問題情境；人教A版?zhèn)戎剡x擇與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切的科學(xué)問題情境。

3.問題表述。湘教版注重“陳述句”與“開放式”相結(jié)合的表述形式，符合數(shù)學(xué)建模特征，注重發(fā)展學(xué)生的“四能”；人教A版注重“疑問句”與“封閉式”相結(jié)合的表述形式，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用特征，強(qiáng)化學(xué)生的“雙能”。

4.建模過程。湘教版比較重視以發(fā)現(xiàn)的方式提出問題，注重學(xué)生自主選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題，關(guān)注模型檢驗與修正過程；人教A版主要采用直接給出問題的方式，注重建模問題的分析過程，主要用已給的數(shù)學(xué)模型解決問題，對模型檢驗修正過程關(guān)注不夠。

（二）建議

基于上述分析與結(jié)論，對湘教版教科書使用提出以下建議。

1.整體把握不同類型數(shù)學(xué)建?；顒拥哪繕?biāo)要求。函數(shù)模型應(yīng)用側(cè)重于局部的數(shù)學(xué)建模活動，重在數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的滲透，數(shù)學(xué)建模專題要突出運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的過程，側(cè)重建模過程的體驗。教學(xué)中應(yīng)整體把握不同類建?；顒拥哪繕?biāo)要求，力爭重要的概念有背景，重要的結(jié)果有應(yīng)用，讓學(xué)生從模仿應(yīng)用到自主參與數(shù)學(xué)建模活動全過程。

2.選擇適合數(shù)學(xué)建?；顒拥那榫撑c問題。建模問題不同于應(yīng)用題，建模問題情境選擇應(yīng)盡量保留其“現(xiàn)實性”和“多樣性”，不易做過多的簡化與假設(shè)，否則學(xué)生缺乏對問題的分析和假設(shè)過程的經(jīng)歷，數(shù)學(xué)建模水平很難得到提高。建模問題的選擇要貼近學(xué)生生活和實際，條件和結(jié)論應(yīng)該隱蔽在背景中，可用信息和最終結(jié)論讓學(xué)生自己去挖掘。因此，教師需要統(tǒng)整不同版本教科書內(nèi)容，為學(xué)生選擇適合的數(shù)學(xué)建模情境與問題。

3.整體設(shè)計數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的養(yǎng)成需要一個漸進(jìn)的過程，湘教版在各章內(nèi)容中均滲透數(shù)學(xué)建?；顒?。教學(xué)中要依據(jù)單元教學(xué)理論，以數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的三級水平為依據(jù)，整體地、有層次地、逐步地深入開展數(shù)學(xué)建?；顒?。要將教學(xué)重點放在數(shù)學(xué)建模專題上，為學(xué)生創(chuàng)造有利的時空條件，真正開展完整的數(shù)學(xué)建?；顒?。

4.注重數(shù)學(xué)建模過程的完整性與活動性。數(shù)學(xué)建模專題活動的開展，應(yīng)選擇建模過程相對完整的問題情境，重視學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，自主選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題的過程以及模型檢驗與模型修正的過程。數(shù)學(xué)建?；顒討?yīng)以課題研究的形式開展，讓學(xué)生經(jīng)歷從選題、開題、做題到結(jié)題的完整過程，注重培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)及團(tuán)隊合作能力。

[1]徐斌艷.高中數(shù)學(xué)教科書探究內(nèi)容的分析指標(biāo)體系及比較研究[J].課程·教材·教法，2012（10）：36.

[2]邵光華，蔣周渠.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價模型與案例分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2020（08）：4.

編輯：徐春霞