關(guān)于《植樹問題》數(shù)學(xué)模型的思考

楊理

摘要：《植樹問題》是人教版教材五年級(jí)上冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容。教材將“植樹問題”分為兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽、環(huán)形情況以及方陣問題等幾個(gè)層次，這節(jié)課主要是教學(xué)兩端都栽的植樹問題，通過教學(xué)向?qū)W生滲透復(fù)雜問題從簡單入手的思想。

關(guān)鍵詞：植樹問題;思維為主;數(shù)學(xué)教學(xué)

教材以學(xué)生比較熟悉的植樹活動(dòng)為線索，讓學(xué)生選用自己喜歡的方法來探究栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歷猜想、試驗(yàn)、推理等數(shù)學(xué)探索的過程，并啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，再利用規(guī)律回歸生活，解決生活實(shí)際問題。

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，五年級(jí)學(xué)生仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發(fā)展，具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這部分內(nèi)容放在這個(gè)學(xué)段，說明這個(gè)內(nèi)容本身具有很高的數(shù)學(xué)思維和很強(qiáng)的探究空間，既需要教師的有效引領(lǐng)，也需要學(xué)生的自主探究。

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，“數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生熟悉的生活情境和感興趣的事物出發(fā)，為他們提供觀察和操作的機(jī)會(huì)，使他們有更多的機(jī)會(huì)從周圍的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力”。因此在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，我主要運(yùn)用這樣的教學(xué)理念：以問題情境為載體，以認(rèn)知沖突為誘因，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為形式，使學(xué)生經(jīng)歷生活數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)生活化的全過程，從中學(xué)到解決問題的思想方法。以此為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這個(gè)內(nèi)容應(yīng)該以數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)理念來進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。

首先，我們要回答的是什么是數(shù)學(xué)模型。所謂數(shù)學(xué)模型，對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對象，為了達(dá)到特定目的，依據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，做出必要的簡化假設(shè)，再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具將現(xiàn)實(shí)對象轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型用于解決現(xiàn)實(shí)問題的全過程，包括表達(dá)、求解、解釋、檢驗(yàn)等基本過程。通俗的說，數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事;數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言講述生活故事的過程。

數(shù)學(xué)建模可以概括為四個(gè)部分：①現(xiàn)實(shí)問題，即要解決的問題，里面隱藏著某種數(shù)學(xué)信息;②數(shù)學(xué)模型，對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化抽象和簡化，得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通常是函數(shù)表達(dá)式或方程式;③數(shù)學(xué)模型的解答，利用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法求出方程式的解或者函數(shù)的某些信息，比如最值、極值等;④現(xiàn)實(shí)對象的解答，將模型的解答與現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行對照檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對解答進(jìn)行修訂，得到滿足現(xiàn)實(shí)問題的優(yōu)化解答。

植樹問題是平均分問題，這才是植樹問題的實(shí)質(zhì)、模型，而不是什么時(shí)候加1、減1……至于“加1”、“減1”是對實(shí)際問題分類。植樹問題的實(shí)質(zhì)是“點(diǎn)與段”的對應(yīng)。以往的平均分問題，關(guān)注的是“段”，而不是“點(diǎn)”，植樹問題關(guān)注的是點(diǎn)。所以，點(diǎn)與段的對應(yīng)就成為本課的個(gè)難點(diǎn)，人們想了很多辦法來幫助兒童理解它，更是找了不少能代表點(diǎn)與段關(guān)系的生活原型來說明它。如線段圖、伸開五指的手。我覺得用“直尺”更恰當(dāng)，從兒童上學(xué)第一天開始，直尺就伴隨左右，兒童對直尺的印象特別深，可以說直尺的表象已經(jīng)印在兒童的腦子里。教材上的用到“線段圖”，在直尺上同樣也有線段圖，而且還省略了“畫”的過程，更方便使用。直尺是最常用的學(xué)習(xí)工具，對直尺很熟悉，但也有忽略的地方，那就是“點(diǎn)”與“段”的對應(yīng)關(guān)系。在測量時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這方面的錯(cuò)誤，如3厘米的線段量成4厘米。錯(cuò)誤的原因，就是對“0”的忽略。解決植樹問題時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。直尺上有點(diǎn)、有段，植樹時(shí)要把樹種在哪兒呢？把樹種在點(diǎn)上。但由于對平均分問題的認(rèn)知慣性，兒童關(guān)注的是“段”，以為樹種在段上。這就要引起兒童對“點(diǎn)”的關(guān)注，點(diǎn)與段在直尺上是對應(yīng)的，一段對應(yīng)一點(diǎn)。但“0”點(diǎn)卻沒有“段”與之對應(yīng)。這在直尺上很形象，“0”點(diǎn)之所以是0，就是因?yàn)闆]有“段”和它對應(yīng)。在直尺上植樹時(shí)，如果“0”上植樹，就是兩端都植樹，如果“0上不植樹”，就是一端植樹……用直尺植樹，比較有利于解決“點(diǎn)”與“段”的關(guān)系問題。

教材上的安排是，先用簡單例子得出規(guī)律，再利用規(guī)律解決復(fù)雜問題。這樣為規(guī)律而規(guī)律有些牽強(qiáng)，對于規(guī)律還要特別記憶。我是想通過“化抽象為直觀”的方式體現(xiàn)“化繁為簡”，在直尺上植樹，兩端都植樹時(shí)，第一棵樹栽在“0”上（如圖所示）。

……

植樹問題的本質(zhì)并非是“一端植樹、兩端植樹”，而是“除法問題”，“植樹問題是除法問題”這才是植樹問題的本質(zhì)。無論是一端植樹還是兩端植樹，都有“除法”存在，“除法”是植樹問題的共同特征，所以“除法”是植樹問題的本質(zhì)。教學(xué)植樹問題重點(diǎn)是“除法問題”，難點(diǎn)是“幾種植樹情況的數(shù)學(xué)表征”。

參考文獻(xiàn)：

[1]聶應(yīng)波. 借助畫圖策略，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型——"植樹問題"教學(xué)實(shí)踐與思考[J]. 課堂內(nèi)外：教師版（初等教育）， 2020.

[2]應(yīng)方園. 對《植樹問題》基本數(shù)學(xué)模型的研究[J]. 軟件（教育現(xiàn)代化）（電子版）， 2019.