關(guān)于分?jǐn)?shù)階q-差分方程正解的存在性

田春平 顧海波 孫會(huì)賢

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，830017，烏魯木齊)

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分相對(duì)來(lái)說(shuō),能更加精確地描述實(shí)際問(wèn)題,提供更豐富的信息.近年來(lái),國(guó)內(nèi)外分?jǐn)?shù)階差分邊值問(wèn)題的研究也非常的活躍[1-8].2015年, Li等人[9]通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了基于不含時(shí)的、定態(tài)的分?jǐn)?shù)階q-差分薛定諤方程邊值問(wèn)題：

(1)

并得到了方程解的存在性結(jié)果.對(duì)于分?jǐn)?shù)階q-差分方程邊值問(wèn)題的正解[10-15]也有許多學(xué)者作了探究.2019年，Mao等人使用迭代法研究了如下方程解的唯一性,其中非線性項(xiàng)含有兩個(gè)空間變量,且對(duì)第二個(gè)空間變量可以是奇異的：

(2)

之后Liu等人[16]研究了一類帶有擾動(dòng)項(xiàng)的問(wèn)題:

并利用混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理證明了該問(wèn)題解的存在唯一性,構(gòu)造出了兩個(gè)迭代序列的逼近解.

基于以上討論,本文主要研究如下方程在參數(shù)λ的影響下邊值問(wèn)題的解的存在性結(jié)果：

(3)

文章內(nèi)容分為四個(gè)部分.在第二節(jié)中,給出了相關(guān)定義、性質(zhì)和引理.第三節(jié)是本文主要結(jié)論,首先借助格林函數(shù)討論了退化方程解的情況,以及在參數(shù)影響下解的存在性結(jié)果,然后給出具體實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明.

2 預(yù)備知識(shí)

為便于定理證明的需要,下面給出一些定義、符號(hào)和引理.

記?α」是小于或等于α的最大整數(shù),「α?是大于或等于α的最小整數(shù).

定義1[4]在復(fù)數(shù)域C中,q-差分階乘為

定義4[4]設(shè)f(t)是定義在q-幾何集Tq中的實(shí)值函數(shù),|q|<1，f(t)的q-微分定義為

定義6[1]令α>0,n=「α?,則f(t)的Caputo型的q-α型分?jǐn)?shù)階微分定義如下：

引理1[16]令p(t)∈C[0,1],方程

(4)

引理2[11,16]格林函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1)G(t,qs)≥0且G(t,qs)≤G(1,qs),?0≤t,s≤1；

2)G(t,qs)≥tα-1G(1,qs),?0≤t,s≤1；

4)0≤tα-1qα-β(1-qs)α-β-1≤Γq(α)G(t,qs)≤tα-1(1-qs)α-β-1；

證性質(zhì)1),2)見(jiàn)文獻(xiàn)[11], 性質(zhì)4),5)見(jiàn)文獻(xiàn)[16].下面證明性質(zhì)3)成立.

≥1,

(1-qs)(α-β-1)-(1-qs)(α-1)

=(1-qs)·(1-q2s)·…·(1-qα-β-1s)-(1-qs)·(1-q2s)·…·(1-qα-1s)

=(1-qs)·(1-q2s)·…·(1-qα-β-1s)(1-(1-qα-βs)·(1-qα-β+1s)·…·(1-qα-1s)

<1,

引理3Gamma函數(shù)的性質(zhì)：

1)Γq(α)>Γq(α-γ)>Γq(α-β)>1;

證性質(zhì)1)、2)、3)同引理2性質(zhì)3)證明類似, 在此不再驗(yàn)證.

1)對(duì)于x∈P∩?Ω1,‖Tx‖≤‖x‖,并且對(duì)于x∈P∩?Ω2,‖Tx‖≥‖x‖(即錐拉伸),

或

2)對(duì)于x∈P∩?Ω1,‖Tx‖≥‖x‖,并且對(duì)于x∈P∩?Ω2,‖Tx‖≤‖x‖(即錐壓縮),

在本文中,做如下假設(shè)：

當(dāng)固定t∈[0, 1]關(guān)于x是不減的,且存在常數(shù)σ∈(0,1),?r∈(0,1]有g(shù)(t,rx)≥rσg(t,x),其中x∈[0,+∞)；

(H2)g(t,0)在t∈[0,1]上不恒為0,且存在常數(shù)δ1>0,對(duì)任意t∈[0,1],使得f(t,x,y)≥δ1g(t,x),x,y∈[0,+∞);

(H3)m(x)關(guān)于x∈[0,∞)遞減,且存在δ2>0,使0

注1其中(H1)蘊(yùn)含著：?r>1,有g(shù)(t,rx)≤rσg(t,x).

3 主要結(jié)果

本節(jié)中將討論分?jǐn)?shù)階方程在參數(shù)影響下正解的存在性.

由引理1可知方程(3)等價(jià)于下面的積分形式：

(5)

其中G(t,qs)由(4)式給出.

當(dāng)λ=0時(shí),方程(3)退化為方程：

(6)

P1={x∈E0|?常數(shù)0

定理1假設(shè)條件(H1)成立,那么方程(6)至少有一個(gè)正解x*∈P1,并且存在一個(gè)常數(shù)0

證(Ⅰ)首先斷言T:P1→P1是不減的.

≥kTxtα-1,

≤(kTx)-1tα-1,

其中kTx是一個(gè)正常數(shù),且滿足:

和

因此,存在常數(shù)0

x0=δa(t) ,xn=T(xn-1)，n=1,2,3…，

y0=δ-1a(t) ,yn=T(xn-1)，n=1,2,3…，

則有x0≤x1≤…≤xn≤…≤yn≤yn-1≤…≤y1≤y0,且?x*∈P1,使xn(t)→x*(t)在[0,1]上一致成立.

事實(shí)上,0<δ<1,x0,y0∈P1且x0

x1=Tx0(t)

≥δσTa≥δσkTaa(t)≥δσ·δ1-σa(t)=x0,

所以有x0≤x1≤…≤xn≤…≤yn≤yn-1≤…≤y1≤y0.

令c0=δ2, 0

xn=T(xn-1)=Tn(x0)=Tn(δa(t))=Tn(c0δ-1a(t))≥c0σnTn(δ-1a(t))=c0σnTn(y0)=c0σnyn,

所以存在一個(gè)x*∈P1,使得xn(t)→x*(t)在[0,1]上一致成立,即(Ⅱ)成立.綜上所述,T為連續(xù)算子,xn=Txn-1,令n→∞,有x*=Tx*是方程(3)的正解,因?yàn)?x*∈P1,所以存在0

當(dāng)λ>0時(shí),在Banach空間E中,存在常數(shù)0<τ<1,定義

定義算子Tλ:P2→E,滿足下述條件：

定理2假設(shè)條件(H1)-(H4)成立,則映射Tλ是全連續(xù)的.

證(Ⅰ)首先易知Tλ:P2→E是連續(xù)算子.其次?x∈P2,由引理2得

=τα-1‖Tλx‖,

所以Tλ(P2)?P2.

(Ⅱ)任取P2中一個(gè)有界子集Ω,Ω?P2,那么對(duì)?x∈Ω,?M>0使‖x‖≤M.

因?yàn)?/p>

所以‖Tλx‖E<∞,Tλ(Ω)是一致有界的.

其中

故

|Tλx(t2)-Tλx(t1)|

當(dāng)t1→t2).

又

而

所以當(dāng)t1→t2時(shí), ‖Tλx(t2)-Tλx(t1)‖E→0,在空間E中Tλx是等度連續(xù)的.故由Ascoli-Arzela定理可得,Tλ:P→P是全連續(xù)算子.證畢.

記

則方程(3)至少存在一個(gè)正解x*,且min{u,v}≤‖x*‖≤max{u,v}.

證令Ωu={x∈E:‖x‖

所以

也就是說(shuō),當(dāng)x∈?Ωu,有‖Tλx‖≤‖x‖.令

Ωv={x∈E:‖x‖≤v}，?x∈?Ωv,τv<‖x‖

Tλx(t)

因此對(duì)x∈?Ωv,有‖Tλx‖≥‖x‖.

定理4假設(shè)(H1)-(H4)成立,且(H5),(H6)其中一個(gè)成立,且

則對(duì)?0<λ<λ*，方程(3)至少有一個(gè)正解.

q:(0,∞)→(0,∞)是連續(xù)的.那么對(duì)于0<λ<λ*,?0

易知

另外由假設(shè)(H5)與(H6)可知,?v1,v2,0

因此

推論1若假設(shè)(H1)-(H6)成立, 那么對(duì)?0<λ<λ*方程(3)至少存在兩個(gè)正解.

定理5假設(shè)(H1)-(H4)成立,(H7),(H8)其中一個(gè)成立，且

4 算 例

下面將給出兩個(gè)具體算例檢驗(yàn)本文的研究結(jié)果.

例1考慮下面邊值問(wèn)題：

(7)

顯然?r∈(0,1]，?σ=1/2，有g(shù)(t,rx)≥rσg(t,x)， ?δ2=1,使0≤m(y)≤1，

因此,假設(shè)(H1)-(H4),(H5)-(H6)成立,那么由推論1,邊值問(wèn)題(7)對(duì)任意λ∈(0，λ*)至少有兩個(gè)正解存在.

例2考慮邊值問(wèn)題：

(8)

顯然?r∈(0,1], ?σ=1/2, 有g(shù)(t,rx)≥rσg(t,x)， ?δ2=1,使0≤m(y)≤1，