分?jǐn)?shù)階方程約束最優(yōu)控制問題數(shù)值算法研究進展

周兆杰 王方圓 王起明 劉 杰

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟南)

1 引 言

微分方程最優(yōu)控制問題通常包含需要優(yōu)化的目標(biāo)泛函、控制變量和狀態(tài)變量，其中控制變量和狀態(tài)變量通過微分方程的形式耦合，通常稱該微分方程為狀態(tài)方程.根據(jù)對控制變量或狀態(tài)變量施加的約束不同，微分方程最優(yōu)控制問題可分為無約束問題、控制約束問題和狀態(tài)約束問題.在過去的幾十年中，關(guān)于整數(shù)階微分方程最優(yōu)控制問題的研究取得了很大的發(fā)展，已有許多知名學(xué)者在控制理論及數(shù)值算法方面做了大量的研究工作[1-7].

近年來，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論及應(yīng)用的快速發(fā)展，關(guān)于分?jǐn)?shù)階方程約束最優(yōu)控制問題的研究引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.分?jǐn)?shù)階方程約束最優(yōu)控制問題在工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，例如，地下水的污染控制問題.該問題的目標(biāo)在于使得地下水中污染物濃度在給定的區(qū)域中保持在一個可容許范圍之內(nèi)，同時又使得所付出的代價最小，其數(shù)學(xué)模型可表示為狀態(tài)逐點約束的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，其中狀態(tài)變量代表污染物濃度，并并滿足分?jǐn)?shù)階對流擴散方程.

與整數(shù)階問題相比，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性導(dǎo)致狀態(tài)方程的解在時間區(qū)間端點或空間區(qū)域邊界處具有奇性，即使已知數(shù)據(jù)是光滑的，也會使得帶約束的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題解的光滑性要比整數(shù)階控制問題解的光滑性差.此外，帶約束的最優(yōu)控制問題在數(shù)值離散后所得的代數(shù)系統(tǒng)是一個由離散狀態(tài)方程、伴隨方程及離散最優(yōu)不等式耦合在一起的非線性系統(tǒng)，通常需要進行迭代求解.而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性通常會導(dǎo)致離散后狀態(tài)方程和伴隨方程的系數(shù)矩陣不稀疏，這就使得用數(shù)值迭代方法求解上述代數(shù)系統(tǒng)時的耗費比整數(shù)階最優(yōu)控制問題大得多.這些問題給分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解和數(shù)值分析帶來了很大困難.

隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論及數(shù)值計算方法的快速發(fā)展，關(guān)于分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題理論及數(shù)值算法的研究成為國內(nèi)外研究者廣泛關(guān)注的一個熱點問題.因此，本文將對近年來關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程約束最優(yōu)控制問題數(shù)值算法方面的研究工作進行梳理概述，并在此基礎(chǔ)上進行研究展望，以期為分?jǐn)?shù)階方程約束最優(yōu)控制問題的深入研究提供參考.

2 基礎(chǔ)知識

分?jǐn)?shù)階微積分具有悠久的發(fā)展歷史，眾多數(shù)學(xué)家對這一領(lǐng)域進行了研究，提出了多種分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的定義.近年來，分?jǐn)?shù)階微積分在物理、工程等領(lǐng)域中的應(yīng)用日益廣泛，這大大激發(fā)了學(xué)者們對分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究興趣.

2.1分?jǐn)?shù)階積分常用的分?jǐn)?shù)階積分定義主要有以下兩種：

和

其中，ν∈L1(a,b)，0<μ<1，x∈[a,b],這里Γ(·)為Gamma函數(shù).

2.2分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)常用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義有Rieman-Liouville型、Caputo型和分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子.

1)Rieman-Liouville型.Rieman-Liouville型左分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

2)Caputo型.為了更好的完成工程與物理的建模，20世紀(jì)60年代意大利物理學(xué)家Caputo提出弱奇異的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，有效地解決了Rieman-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)中的初值問題.Caputo型左分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

3)分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子.常見的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的定義方式主要包括譜定義和積分定義兩種.

① 譜定義的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子為

其中，1<α<2，λk和ek分別為(-Δ)在Dirichlet或Neumann邊界條件下的特征值和特征函數(shù).

② 積分型分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義為

其中，1<α<2，常數(shù)C(d,α)定義為

“P.V.”表示積分的主值，定義為

Bε(x)是一個以x為心半徑為ε的球.

2.3分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題

2.3.1 時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 控制受限的時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題可表示為

(1)

且滿足下述條件：

(2)

控制集的定義如下：

Uad={q∈L2(ΩT):a≤q(x,t)≤b,a,b∈R且a≤b}.

狀態(tài)方程(2)還可以寫為

故時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題還有如下形式：

且滿足下述條件：

上述模型中狀態(tài)方程的初值可以不為0.

2.3.2 空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題

1)一維問題.設(shè)Ω=(0，1)，Γ=?Ω，一維的空間雙邊分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題可表示為

且滿足下述條件：

其中，常數(shù)r∈[0,1]，α∈(1,2).

約束集Uad的定義方式有多種，常見的有如下幾種定義：

① 控制約束問題：Uad={q∈L2(Ω):a≤q(x)≤b,a,b∈R且a≤b}，κ=L2(Ω)；

② 逐點狀態(tài)約束問題：Uad=L2(Ω)，κ={v∈C0(Ω)|v≤b}；

④ 混合約束問題：Uad={q∈L2(Ω):a≤q(x)≤b,a,b∈R且a≤b}，

在上述控制問題中，狀態(tài)方程也可以帶有變擴散系數(shù)，如

其中，0

2)二維問題.二維分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，常見的是帶有分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，例如：

且滿足下述條件：

這里Ω是二維區(qū)域，s∈(0,1)，約束集的定義可參考一維情況，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的定義可以是積分型的，也可以是譜定義的.需要指出的是，積分型定義的狀態(tài)方程的邊界條件是非局部的Ωc=R2Ω，而譜定義型狀態(tài)方程的邊界條件為局部的?Ω.此外，兩種定義下，狀態(tài)方程解的正則性是不一樣.

2.3.3 時空分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 將時間分?jǐn)?shù)階與空間分?jǐn)?shù)階結(jié)合，可以得到時空分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，例如，設(shè)Ω是Rd(d≥1)的有界開區(qū)域，?Ω是邊界，目標(biāo)泛函為

且滿足時空分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程

其中，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子為譜定義型，約束集的定義可參考一維空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制情況.

2.3.4 其他類型分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 上述的最優(yōu)控制問題都是分布型控制問題，近年來也有學(xué)者開始研究一些其他類型的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題[8,9].

1)分?jǐn)?shù)階稀疏控制問題.該問題形式為

且滿足下述條件：

其中γ>0,α>0是正則化參數(shù)，s∈(0,1)，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子為譜定義型.與之前的控制問題相比，這里的目標(biāo)泛函不再光滑.

2)分?jǐn)?shù)階拋物Dirichlet外部控制問題.該問題形式為

且滿足下述條件:

其中，J(·)是滿足弱下半連續(xù)的泛函，Uad?L2((0,T)，L2(RNΩ))是閉凸集.

3 分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的數(shù)值算法

對分?jǐn)?shù)階微分方程約束最優(yōu)控制問題，在適定性理論方面已有一些研究工作，比如，文獻[10]研究了無約束的黎曼-劉維爾型時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，并分析了控制問題解的存在唯一性，推導(dǎo)了一階最優(yōu)性條件.文獻[11]研究了狀態(tài)約束的黎曼-劉維爾型時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，并分析了控制問題解的存在唯一性，推導(dǎo)了一階最優(yōu)性條件.文獻[12]研究了帶有逐點狀態(tài)約束的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，并建立了控制問題的適定性，推導(dǎo)了一階最優(yōu)性條件.在這些理論結(jié)果的基礎(chǔ)上，近年來，研究者們發(fā)展了一系列求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程約束最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法，主要包括有限元法、有限差分法、譜方法、快速算法等.

3.1有限元逼近眾所周知，有限元法是求解微分方程的重要工具之一，已有大量的文獻運用有限元法求解整數(shù)階最優(yōu)控制問題和分?jǐn)?shù)階微分方程.將有限元法應(yīng)用于求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的研究工作，近年來受到學(xué)者的廣泛關(guān)注.

3.1.1 時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 Antil H等人[13]對控制約束的時空分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題進行了分析和數(shù)值逼近，在時間方向上采用L1格式離散，在空間方向上利用Caffarelli-Silvestre延拓將空間分?jǐn)?shù)階方程轉(zhuǎn)化為半無限圓柱上維數(shù)增加一維的非一致橢圓問題，從而避免了直接對空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進行離散，并建立了時間整數(shù)階情況下的先驗誤差估計，對時間導(dǎo)數(shù)為分?jǐn)?shù)階的情況，證明了離散格式的收斂性.

Zhou Z J等人[14]研究了時間分?jǐn)?shù)階擴散方程最優(yōu)控制問題的Galerkin有限元逼近，對狀態(tài)和伴隨狀態(tài)變量采用分段線性多項式逼近，控制變量采用變分離散，建立了有限元半離散格式的先驗誤差估計；基于時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的L1離散格式，建立了控制問題的全離散格式，在“先離散后優(yōu)化”的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了全離散一階最優(yōu)條件.

Liu Q Y等人[15]提出了一種時間分?jǐn)?shù)階對流擴散最優(yōu)控制問題的數(shù)值逼近方法.該方法首先用有限元法對空間域進行離散化，然后用控制參數(shù)化方法逼近可容許控制，采用隱式有限差分法求解時間分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，最后得到一個最優(yōu)參數(shù)選擇問題.該問題用數(shù)值優(yōu)化算法求解，并用數(shù)值結(jié)果驗證了所提數(shù)值逼近方法的有效性和準(zhǔn)確性.

Zhou Z J等人[16]將分片常數(shù)時間步長間斷Galerkin方法與分片線性有限元方法相結(jié)合并用于求解控制受限的時間分?jǐn)?shù)階擴散方程最優(yōu)控制問題，在先離散后優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了離散一階最優(yōu)條件；并針對狀態(tài)變量和伴隨狀態(tài)變量在時間區(qū)間端點處存在弱奇異性的特點，提出了一種基于步長倍頻技術(shù)的時間自適應(yīng)算法，用于指導(dǎo)時間網(wǎng)格的細(xì)化.

Gunzburger M等人[17]針對時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程約束的最優(yōu)控制問題提出了一種基于卷積求解時間離散的全離散有限元方法來確定最優(yōu)系統(tǒng)的近似解，并證明了該方法的最優(yōu)收斂性，即最優(yōu)收斂性僅依賴于對數(shù)據(jù)的正則性假設(shè)，而不需要對最優(yōu)性系統(tǒng)解的正則性進行額外的假設(shè).

Zhang C Y等人[18]對時間分?jǐn)?shù)階擴散方程最優(yōu)控制問題的時間步長間斷Galerkin有限元逼近進行了先驗誤差分析，采用時步不連續(xù)Galerkin有限元法和變分離散法分別逼近狀態(tài)變量和控制變量并討論了最優(yōu)控制問題的正則性.由于時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部的，為了減少計算量，針對離散狀態(tài)方程和伴隨狀態(tài)方程的塊三角形Toeplitz結(jié)構(gòu)研究者設(shè)計了一種快速梯度投影算法，提高了求解效率.

Antil H等人[9]提出了一類新的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)問題：分?jǐn)?shù)階拋物外部控制問題.由于分?jǐn)?shù)階算子的非局部性使得控制可以施加在外部區(qū)域，研究者便分別對Dirichlet和Robin最優(yōu)控制問題進行了系統(tǒng)的分析，并通過數(shù)值算例進行了驗證.Jin B T等人[19]研究了控制受限的時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的正則性及全離散有限元格式的先驗誤差估計，對時間方向離散采用了卷積積分和L1格式.

最近Wang T等人[20]研究了控制受限的帶有非光滑初值的時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，對控制變量采用變分離散，建立了求解最優(yōu)控制問題的全離散有限元格式，并分析了相應(yīng)的誤差估計，借助分層網(wǎng)格技術(shù)，獲得了時間上的一階精度.

3.1.2 空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 由于空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義方式不同，空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的形式也有多種.對于一維的雙邊分?jǐn)?shù)階擴散方程約束的最優(yōu)控制問題，Zhou Z J等人[21]對帶控制約束的空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題進行了有限元逼近，在一階最優(yōu)性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，證明了控制問題的正則性估計，并給出了狀態(tài)、伴隨狀態(tài)和控制變量的先驗誤差估計，并基于離散狀態(tài)方程和伴隨狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的Toeplitz結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了快速 Primal-dual Active Set算法，提高了有限元法的求解效率.

對于二維的分?jǐn)?shù)階控制問題，數(shù)值算法方面的研究工作主要集中在帶有分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的控制問題上.分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的定義，常用的方式主要是積分形式定義和譜定義.對帶有譜定義分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，Antil H等人[8,22-24]進行了一系列的研究，包括分布控制問題、稀疏控制問題等.由于譜定義的分?jǐn)?shù)階算子可以看做非一致橢圓算子的Dirichlet到Neumann 映射，為了避免直接對空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進行離散，利用Caffarelli-Silvestre延拓將空間分?jǐn)?shù)階方程轉(zhuǎn)化為半無限圓柱上維數(shù)增加一維的非一致橢圓問題，從而將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為等價的非一致橢圓型最優(yōu)控制問題.非一致橢圓問題解的快速衰減使得截斷方法在進行數(shù)值逼近時是一個合適的選擇.基于此建立了有限元離散格式，并分析了相應(yīng)的先驗或后驗誤差估計理論.在文獻[25]中，研究者將上述技術(shù)應(yīng)用于一類空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)識別問題，建立了解的存在性及充分性條件，構(gòu)建了半離散和全離散格式，并給出了收斂性分析.此外，Dohr S等人[26]研究了譜定義下分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程最優(yōu)控制問題的有限元逼近問題.與 Antil H等人工作不同的是，Dohr S等人基于Balakrishnan公式計算狀態(tài)方程解的近似，其中空間離散采用有限元法，額外涉及的積分采用sinc求積近似，并給出了控制變量采用變分方法離散和完全離散兩種情況下的先驗誤差估計.

上述研究工作主要集中于控制變量受限問題，目前關(guān)于狀態(tài)約束問題的研究工作還很少見.最近，Antil等人[30]研究了狀態(tài)約束分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的有限元法逼近，借助Moreau-Yosida正則化技術(shù)，建立了狀態(tài)約束分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的有限元離散格式及其相應(yīng)的數(shù)值分析理論.Zhou Z J等人[31]研究了帶積分狀態(tài)約束的空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的有限元逼近問題并討論了控制問題的一階最優(yōu)條件和正則性，導(dǎo)出了控制、狀態(tài)、伴隨狀態(tài)和拉格朗日乘子的先驗誤差估計.由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性質(zhì)導(dǎo)致離散狀態(tài)方程和伴隨狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的稠密，為了減少計算量，他們提出了一種基于系數(shù)矩陣Toeplitz結(jié)構(gòu)的預(yù)處理快速投影梯度算法.

3.2譜方法分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有非局部性，而譜方法通常采用全局基函數(shù)，所以是處理分?jǐn)?shù)階問題的有效方法之一.近年來譜方法被廣泛地應(yīng)用于求解分?jǐn)?shù)階微分方程及其約束的最優(yōu)控制問題.

3.2.1 時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 Lotfi A等人[32]研究了Caputo型無約束分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的數(shù)值算法，該方法基于勒讓德正交多項式基函數(shù)，將控制問題轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)方程組進行數(shù)值求解.Ye X Y等人[33]在無約束最優(yōu)控制問題的框架下，運用譜方法求解了一類時間分?jǐn)?shù)階初值反問題，建立了目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的唯一性和一階必要最優(yōu)條件，并提出了一種時空譜方法來數(shù)值求解得到的最優(yōu)解問題，導(dǎo)出了譜逼近的先驗誤差估計.Ye X Y等人[34]進一步研究了狀態(tài)積分約束的Caputo型時間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的譜方法，建立了狀態(tài)變量、控制變量的先驗誤差估計.Zaky M A等人[35]研究了求解無約束的時間分布階最優(yōu)控制問題的譜配置法，并建立了收斂性分析.上述研究工作采用的是傳統(tǒng)的勒讓德正交多項式.Li S Y等人[36]基于空間離散化的勒讓德偽譜法和時間離散化的有限差分法，給出了時間分步擴散方程最優(yōu)控制問題的數(shù)值解法，并利用拉格朗日插值基多項式逼近狀態(tài)變量，得到了微分矩陣離散空間導(dǎo)數(shù)，討論了控制問題的全離散格式.

3.2.2 空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題 由于分?jǐn)?shù)階方程的解在邊界處具有奇異性，為了適應(yīng)奇異性，近年來研究者開始采用加權(quán)Jacobi多項式作為基函數(shù)去逼近分?jǐn)?shù)階方程的解[37,38]，該方法也被應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題.

文獻[39]研究了一類空間Riesz分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的譜Galerkin逼近，分析了控制問題的解在加權(quán)Sobolev空間中的正則性，并采用加權(quán)Jacobi多項式作為基函數(shù)逼近狀態(tài)變量，建立了加權(quán)范數(shù)意義下的先驗誤差估計.文獻[40]討論了帶有積分形式的分?jǐn)?shù)拉普拉斯式算子的分?jǐn)?shù)階對流擴散反應(yīng)方程最優(yōu)控制問題的譜Galerkin方法，分析了控制問題的解在加權(quán)Sobolev空間中的正則性，建立了加權(quán)范數(shù)意義下的最優(yōu)先驗誤差估計.在上述工作基礎(chǔ)上，文獻[41]進一步研究了范數(shù)約束下分?jǐn)?shù)階對流擴散反應(yīng)方程最優(yōu)控制問題的譜Galerkin逼近，建立了加權(quán)范數(shù)意義下的最優(yōu)先驗誤差估計.

最近，文獻[42]研究了求解變擴散系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的譜方法，該方法采用加權(quán)Jacobi多項式作為基函數(shù)，依據(jù)先最優(yōu)后離散的策略，構(gòu)造了一種非直接譜方法.由于對于變擴散系數(shù)分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題，傳統(tǒng)的Galerkin變分形式不強制，給數(shù)值模擬帶來困難.文獻[42]中的方法可以有效的克服變系數(shù)所帶來的困難.

3.3快速算法帶約束的最優(yōu)控制問題在數(shù)值離散后所得的代數(shù)系統(tǒng)是一個由離散狀態(tài)方程、伴隨方程及離散最優(yōu)不等式耦合在一起的非線性系統(tǒng)，通常需要進行迭代求解.而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性常導(dǎo)致離散后狀態(tài)方程和伴隨方程的系數(shù)矩陣不稀疏，這使得在數(shù)值迭代求解上述代數(shù)系統(tǒng)時的耗費比整數(shù)階最優(yōu)控制問題大很多，因此根據(jù)問題的特點設(shè)計快速計算方法是非常有必要的.

Du N等人[43]針對控制約束的分?jǐn)?shù)階擴散方程最優(yōu)控制問題給出了Meerschaert和CN-WSGD兩種有限差分格式, 并在傳統(tǒng)的梯度投影算法的基礎(chǔ)上利用Toepltiz矩陣的特殊結(jié)構(gòu)提出了一種快速梯度投影算法，提高了求解效率.針對上述控制問題, Wu S L等人[44]提出并分析了時間并行算法，實現(xiàn)了梯度投影方法的快速計算，節(jié)省了計算時間.

Du N等人[45]針對具有確定性約束控制的隨機空間分?jǐn)?shù)階擴散方程最優(yōu)控制問題, 將梯度算法與隨機Galerkin方法相結(jié)合，提出了一種快速隨機Galerkin方法，有效地求解了非線性耦合系統(tǒng).Wang F Y 等人[40]針對一類分?jǐn)?shù)階對流擴散反應(yīng)方程最優(yōu)控制問題，提出了快速的譜Galerkin近似.由于對流項和反應(yīng)項的存在，離散狀態(tài)方程和伴隨方程的離散矩陣不再稀疏.為了提高求解效率，他們采用快速多項式變換來計算矩陣和向量的乘積，構(gòu)造了快速投影梯度算法，提高了求解效率.

4 研究展望

近年來，針對分?jǐn)?shù)階方程約束最優(yōu)控制問題，已取得了一系列優(yōu)秀的研究成果，然而仍有許多問題尚未解決.

首先，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題解的適定性理論仍需完善，包括解的正則性等在內(nèi)的一些理論尚不清楚，而這些理論是數(shù)值分析的基礎(chǔ).

其次，關(guān)于狀態(tài)約束問題、邊界或者外部控制問題方面的工作還很少.對于帶有變擴散系數(shù)的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題[41],雖然已經(jīng)進行了初步嘗試，但仍有許多問題亟待解決.

最后，離散代數(shù)系統(tǒng)的快速優(yōu)化迭代算法仍需研究.對分?jǐn)?shù)階問題，特別是高維的問題，如何針對問題的特征設(shè)計快速的優(yōu)化迭代算法，提高計算效率，是一個非常有意義的研究領(lǐng)域.