一道斜率為定值模考題的探究與變式

高繼浩

(四川省名山中學 625100)

1 試題呈現

(1)求橢圓C的方程；

(2)設過點P(2,1)的直線l與橢圓C交于不同的兩點M,N,過點N作x軸的垂線,與直線BM交于點D,E為線段DN的中點.證明：直線BE的斜率為定值.

2 問題提出

改變試題第(2)問點P的坐標后,直線BE的斜率還為定值嗎？注意到試題中B，P兩點的橫坐標相同,利用軟件GeoGebra作圖發(fā)現,若保持點P的橫坐標不變,改變點P的縱坐標且點P不與點B重合,則當直線l繞著點P轉動時,直線BE的斜率仍為定值.這是否具有一般性呢？

3 推廣探究

證明顯然直線MN的斜率存在,設其方程為y-t=k(x-a),與橢圓方程聯(lián)立,消去y整理，得

(b2+a2k2)x2+2a2k(t-ak)x+a2(a2k2-2atk+t2-b2)=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2),則Δ>0,且

直線BM的方程為

令x=x2,得

其中分子

y1(x2-a)+y2(x1-a)

=(kx1-ak+t)(x2-a)+(kx2-ak+t)(x1-a)

=2kx1x2+(t-2ak)(x1+x2)+2a(ak-t)

=[2a2k(a2k2-2atk+t2-b2)+(t-2ak)·2a2k·(ak-t)+2a(ak-t)(b2+a2k2)]/(b2+a2k2)

分母

2(x1-a)(x2-a)

=2[x1x2-a(x1+x2)+a2]

=2·[a2(a2k2-2atk+t2-b2)-a·2a2k·(ak-t)+a2(b2+a2k2)]/(b2+a2k2)

考慮左頂點得到:

參照命題1可證得.

考慮下頂點得到：

4 類比探究

在雙曲線和拋物線中有：

命題5(命題6)的證明過程與命題1類似,略.

證明顯然直線MN的斜率存在且不為零,設其方程為y=kx+t,與拋物線方程聯(lián)立,消去y，得k2x2+2(tk-p)x+t2=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2),則Δ>0,且