郭旭飛
(1 呂梁學(xué)院物理系,山西 呂梁 033001;2 中北大學(xué)信息探測與處理山西省重點實驗室,太原 030051)
當前針對固體火箭發(fā)動機多層結(jié)構(gòu)殼體的脫粘問題,主要研究都集中于技術(shù)測試與應(yīng)用,理論上的分析與建模并不多見。段方勇等[1]采用傳輸矩陣法建立了多層結(jié)構(gòu)超聲回波幅度譜模型,分析了由不同材料構(gòu)成的多層結(jié)構(gòu)的幅頻特性。張建生[2]提出了鋼-橡膠多層結(jié)構(gòu)的超聲卷積模型,并采用同態(tài)濾波解卷積等信號處理方法分析界面脫粘的特征。簡曉明[3]根據(jù)聲壓和質(zhì)點速度在界面處的連續(xù)性推導(dǎo)了超聲脈沖回波的解析表達式,并對二界面粘接情況進行了評價。H?gglund等[4-5]提出了參數(shù)模型,并推導(dǎo)出了模型參數(shù)的最大似然估計,然后用于廣義似然比檢驗(GLRT)來檢測多層結(jié)構(gòu)中的缺陷。閆鑫[6]利用輸入阻抗來描述多層結(jié)構(gòu)的反射譜,并分析了界面粘接缺陷的反射譜特征。
在文獻[2,5]的基礎(chǔ)上,文中將多層結(jié)構(gòu)的超聲模型進行簡化,并對部分公式進行修正,得到任意多層結(jié)構(gòu)的超聲信號傳輸?shù)臄?shù)學(xué)模型,為后續(xù)對多層結(jié)構(gòu)進行信號分析與處理奠定理論基礎(chǔ)。
在系統(tǒng)識別中,被研究的材料或結(jié)構(gòu)可以被視為線性系統(tǒng),而傳遞函數(shù)可以描述線性系統(tǒng)的特征,即描述了輸出信號y(t)和輸入信號u(t)之間的關(guān)系,如圖1所示。與時域分析相比,離散的頻域分析有許多優(yōu)點[7]。
圖1 在時域和頻域中的線性系統(tǒng)
輸出和輸入在頻域的關(guān)系為:
Y(jω)=Htf(jω)U(jω)
(1)
式中:Y(jω),U(jω)分別為輸出信號和輸入信號的傅里葉變換;ω為角頻率。
單層結(jié)構(gòu)的超聲傳輸模型如圖2所示,為了描述方便,信號垂直輸入,均在圖中表示斜入射,且未考慮材料的衰減。
圖2 單層結(jié)構(gòu)反射信號傳輸示意圖
當超聲信號垂直入射到單層結(jié)構(gòu),在介質(zhì)中會形成多層反射。
第一次反射為:
Y1(jω)=T01R12T10e-jωτ1U(jω)=T01T10R12e-jωτ1U(jω)
(2)
第二次反射為:
(3)
第三次反射為:
(4)
?
第n次反射為:
(5)
則第n次反射與第(n-1)次反射滿足關(guān)系:
Yn(jω)=R10R12e-jωτ1Yn-1(jω),n≥2
(6)
式(2)~式(5)中:T為界面透射系數(shù);R為界面反射系數(shù);τ1為界面反射兩次的時間,可表示為2d1/c1,d1為單層介質(zhì)的厚度,c1為超聲傳播速度。單層結(jié)構(gòu)總輸出超聲信號為:
(7)
進一步整理得到:
(8)
則單層結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)為:
(9)
式中,τ0為超聲的時間延遲。由于一般耦合介質(zhì)很薄,τ0影響可忽略,則
(10)
對于多層結(jié)構(gòu),由于不同層之間非連續(xù)性聲阻抗特性,所以超聲信號存在多次反射和折射。從圖3可以看到增加了層數(shù)使得信號傳播路徑復(fù)雜化。但其中每一層超聲傳播和單層介質(zhì)類似,傳遞函數(shù)容易求出。只要求出任意層的傳遞函數(shù),那么多層結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)是各層傳遞函數(shù)的級聯(lián)。
圖3 多層結(jié)構(gòu)超聲信號傳播示意圖
假設(shè)第q層為多層結(jié)構(gòu)中的任意一層(q>1),則超聲在其內(nèi)部傳輸和接收分為3種情況:
1)信號從第(q-1)層下行入射到第q層,經(jīng)多次反射,從第q層上行透射到第(q-1)層。
圖4 信號從第(q-1)層下行到第q層,再上行到第(q-1)層傳播示意圖
這種情況與單層結(jié)構(gòu)的超聲傳播類似,對應(yīng)的傳遞函數(shù)為:
(11)
式中:τq為信號在上下界面依次反射一次的傳播時間,可表示為2dq/cq,dq和cq分別為第q層的厚度和波速。
2)信號從第(q-1)層下行入射到第q層,經(jīng)多次反射,從第q層下行透射到第(q+1)層。
圖5 信號從第(q-1)層下行到第q層,再下行到第(q+1)層傳播示意圖
信號從第(q-1)層入射到第q層,再透射到第(q+1)層的總信號為:
(12)
對應(yīng)的傳遞函數(shù)為:
(13)
3)信號從第(q+1)層上行入射到第q層,經(jīng)多次反射,從第q層上行透射到第(q-1)層。
圖6 信號從第(q+1)層上行到第q層,再上行到第(q-1)層傳播示意圖
信號從第(q+1)層入射到第q層,再透射到第(q-1)層的總信號為:
(14)
對應(yīng)的傳遞函數(shù)為:
(15)
固體火箭發(fā)動機多層結(jié)構(gòu)模型如圖7所示,圖中虛線表示橡膠層不同的厚度,各層材料參數(shù)見表1[3],各層材料不考慮聲衰減。主要利用傳遞函數(shù)模型來研究多層結(jié)構(gòu)1界面脫粘和2界面脫粘的幅頻特性和相頻特性,其中2界面脫粘的深度逐漸增大,如圖7中的虛線變化。其中,d1=3 mm。
圖7 多層結(jié)構(gòu)示意圖
表1 多層結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)
當1界面脫粘時,假設(shè)耦合介質(zhì)很薄,則其傳遞函數(shù)為:
(16)
當2界面脫粘時,其傳遞函數(shù)為:
(17)
式(16)~式(17)中,不同的透射系數(shù)T和反射系數(shù)R可由材料聲阻抗求解[4]。
圖8為多層結(jié)構(gòu)界面脫粘幅頻特性圖,可以觀察到1界面脫粘幅頻明顯不同2界面脫粘的幅頻特性。對于2界面脫粘,文中其深度d2從0.95 mm開始以Δd為0.5 mm的厚度增加到5.95 mm。從圖8中可以看出,隨著2界面脫粘深度的增大,其對應(yīng)的幅頻特性曲線也發(fā)生細微變化。
圖8 1界面脫粘和2界面脫粘深度變化時的幅頻特性
圖9為多層結(jié)構(gòu)界面脫粘相頻特性圖,可以觀察到1界面脫粘相頻特性明顯不同2界面脫粘的相頻特性。隨著2界面脫粘深度的增大,其對應(yīng)的相頻特性曲線也發(fā)生一定程度的變化。
圖9 1界面脫粘和2界面脫粘深度變化時的相頻特性
從信號傳輸?shù)慕嵌?,建立了固體火箭發(fā)動機多層結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型,研究了多層結(jié)構(gòu)脫粘時其幅頻特性和相頻特性的變化特點,主要結(jié)論如下:
1)多層結(jié)構(gòu)1界面的脫粘,可通過其傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性來表征。
2)多層結(jié)構(gòu)2界面脫粘深度的增大,其傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性也會發(fā)生相應(yīng)的變化。
該研究為后續(xù)多層結(jié)構(gòu)超聲信號的分析與處理提供了理論基礎(chǔ),后續(xù)研究應(yīng)該考慮材料對超聲傳播的衰減因素。