雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的空間幾何誤差補(bǔ)償方法

凌四營(yíng)，孔玉梅，趙昌明，凌 明，王立鼎1，

（1.大連理工大學(xué) 精密特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116024；2.大連理工大學(xué) 微納米技術(shù)及系統(tǒng)遼寧省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116024）

1 引 言

齒輪是量大面廣的關(guān)鍵基礎(chǔ)零部件，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)齒輪精度的要求也越來(lái)越高。齒輪樣板是一類用于齒輪量值傳遞基準(zhǔn)與精度溯源的標(biāo)準(zhǔn)器件，包括齒輪漸開(kāi)線樣板、齒輪螺旋線樣板和齒距樣板等，其制造水平是一個(gè)國(guó)家齒輪技術(shù)實(shí)力的重要標(biāo)志之一。其中，齒輪漸開(kāi)線樣板是校準(zhǔn)各種漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x器的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量器具，主要用于傳遞齒輪漸開(kāi)線參數(shù)量值、修正儀器示值和確定儀器示值誤差［1］。

我國(guó)有獨(dú)立的齒輪漸開(kāi)線樣板國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 6467-2010［2］，并定義了兩個(gè)等級(jí)的齒輪漸開(kāi)線樣板，其中規(guī)定基圓半徑rb≤100 mm的1級(jí)齒輪漸開(kāi)線樣板的齒廓形狀公差不大于1μm。與同等基圓參數(shù)的1級(jí)精度標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪相比，1級(jí)精度齒輪漸開(kāi)線樣板的展開(kāi)長(zhǎng)度擴(kuò)大了約80%，而齒廓形狀公差縮小了約40%。因此，1級(jí)精度齒輪漸開(kāi)線樣板的測(cè)量難度更高。目前商品漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x器的測(cè)量不確定度都達(dá)不到1級(jí)漸開(kāi)線的測(cè)量要求。因此，開(kāi)展1級(jí)齒輪漸開(kāi)線樣板測(cè)量技術(shù)的研究具有重要意義。

齒廓偏差是齒輪精度評(píng)估的重要指標(biāo)之一［2-3］，在諸多測(cè)量漸開(kāi)線齒廓偏差的測(cè)量?jī)x器中，以齒輪測(cè)量中心（Gear Measuring Center，GMC）和三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（Coordinate Measuring Machine，CMM）應(yīng)用最為廣泛［4］。對(duì)儀器的誤差進(jìn)行補(bǔ)償是提升齒輪測(cè)量?jī)x器的測(cè)量精度的常用技術(shù)手段。齒輪測(cè)量?jī)x器的誤差來(lái)源可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，其中系統(tǒng)誤差主要包括空間幾何誤差、測(cè)頭系統(tǒng)誤差和測(cè)量方法誤差等［5-7］。GMC和CMM的集成化程度高、功能強(qiáng)大、測(cè)量精度較高，但測(cè)量尺寸鏈長(zhǎng)，精度提升空間有限，不滿足1級(jí)齒輪漸開(kāi)線樣板的測(cè)量要求；國(guó)內(nèi)外對(duì)兩種儀器的精度提升研究已持續(xù)了幾十年，主要從幾何誤差、數(shù)據(jù)處理軟件優(yōu)化、傳感器精度、伺服路徑規(guī)劃和角度分度等方面提升精度［8-14］。

對(duì)比上述齒輪測(cè)量?jī)x器，基于機(jī)械展成原理的雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，尺寸鏈短，精度容易得到保證。滾輪-導(dǎo)軌式展成機(jī)構(gòu)也是國(guó)內(nèi)外普遍認(rèn)可的具有最高展成精度的機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)一般用于漸開(kāi)線的精密測(cè)量領(lǐng)域［15］。對(duì)于該儀器，空間幾何誤差是其主要誤差來(lái)源，包括驅(qū)動(dòng)軸的位置誤差、基圓盤及導(dǎo)軌的制造誤差和各零件之間的安裝誤差等。一方面，關(guān)鍵零部件存在制造誤差，且到某一公差后減小空間有限；另一方面操作人員會(huì)帶來(lái)安裝誤差（如偏心、偏擺誤差）。因此，探索出一種能夠精確表征空間幾何誤差與齒廓偏差映射關(guān)系的測(cè)量方法，即利用零件的制造誤差與安裝誤差互相抵消的補(bǔ)償方法，對(duì)于漸開(kāi)線測(cè)量精度的提升顯得尤為重要。

針對(duì)雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x，文獻(xiàn)［16］分析了由基圓盤半徑偏差引起的測(cè)量誤差；文獻(xiàn)［17］對(duì)基圓盤滾動(dòng)精度展開(kāi)了研究，并分析對(duì)比了不同的驅(qū)動(dòng)方式對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響；文獻(xiàn)［18］分析了測(cè)量點(diǎn)偏差引起的測(cè)量誤差；文獻(xiàn)［19］分析了齒輪安裝偏心對(duì)漸開(kāi)線齒廓傾斜偏差的影響。以上文獻(xiàn)都是針對(duì)儀器中的某一項(xiàng)誤差源展開(kāi)分析，對(duì)于其他誤差源不具有普適性。文獻(xiàn)［15］對(duì)儀器測(cè)量過(guò)程中的大多數(shù)誤差源展開(kāi)分析，補(bǔ)償?shù)舨糠终`差后儀器的測(cè)量不確定度可達(dá)0.31μm，但被測(cè)齒輪的展開(kāi)長(zhǎng)度較短，按照齒廓形狀偏差的測(cè)量不確定度應(yīng)不大于齒廓形狀偏差最大允許公差的1/3的要求［20］，該儀器仍然不滿足1級(jí)精度齒輪漸開(kāi)線樣板的測(cè)量要求。

為了提升雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的精度，本文提出了一種空間幾何誤差補(bǔ)償新方法，并基于該方法分析了基圓盤、齒輪漸開(kāi)線樣板與芯軸的綜合安裝誤差和基圓盤的圓度誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，探索出裝配誤差和關(guān)鍵零部件的制造誤差相互抵消的補(bǔ)償方法，最后設(shè)計(jì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了空間幾何誤差補(bǔ)償方法的有效性。

2 漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x工作原理與齒廓偏差補(bǔ)償模型

2.1 雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x工作原理

雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的工作原理如圖1所示，圖中的滾輪由兩個(gè)基圓盤組成，基圓盤與齒輪漸開(kāi)線樣板的基圓半徑相同且同軸連接，當(dāng)基圓盤在導(dǎo)軌上做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，理論上漸開(kāi)線與導(dǎo)軌平面的交點(diǎn)（即測(cè)量點(diǎn)）保持不動(dòng)且該點(diǎn)在漸開(kāi)線上的法線與基圓相切。實(shí)際的漸開(kāi)線并不是一條理想的漸開(kāi)線，故在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量點(diǎn)在水平方向上會(huì)產(chǎn)生偏移，該偏移量即表征被測(cè)漸開(kāi)線的齒廓偏差。

圖1 雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的工作原理Fig.1 Working principle of double roller-rail involute measuring instrument

雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的測(cè)量過(guò)程如下：將純滾動(dòng)組件（如圖2所示，由兩個(gè)基圓盤、齒輪漸開(kāi)線樣板和芯軸等組成）放置到導(dǎo)軌上，并緊貼于基圓盤定位擋板以校正滾動(dòng)方向；調(diào)整測(cè)頭測(cè)量方向與導(dǎo)軌平行并使測(cè)量點(diǎn)位于導(dǎo)軌平面內(nèi)；驅(qū)動(dòng)裝置帶動(dòng)純滾動(dòng)組件沿著水平方向滾動(dòng)的同時(shí)，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)開(kāi)始實(shí)時(shí)采集被測(cè)漸開(kāi)線的齒形信息，最后根據(jù)采集的數(shù)據(jù)計(jì)算出被測(cè)漸開(kāi)線的齒廓偏差。

圖2 純滾動(dòng)組件Fig.2 Pure rolling component

該測(cè)量方法的精度很大程度上依賴于展成機(jī)構(gòu)的展成精度，其中基圓盤是展成機(jī)構(gòu)中的最關(guān)鍵零件，它的制造誤差和裝配誤差是影響測(cè)量精度的主要誤差源。此外，測(cè)點(diǎn)的位置誤差、導(dǎo)軌的平面度誤差、兩條導(dǎo)軌之間的平行度誤差、齒輪漸開(kāi)線樣板與芯軸的裝配誤差等也會(huì)影響測(cè)量結(jié)果。

2.2 齒廓偏差補(bǔ)償模型的建立

齒廓偏差補(bǔ)償模型旨在建立原始誤差、機(jī)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)與齒廓偏差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，是空間幾何誤差分析的理論基礎(chǔ)和關(guān)鍵，通過(guò)模型建立的數(shù)學(xué)關(guān)系，修正儀器的示值誤差，提高漸開(kāi)線齒廓偏差的測(cè)量精度。

為此，先建立兩個(gè)空間坐標(biāo)系：儀器坐標(biāo)系OwXwYwZw和工件坐標(biāo)系ObXbYbZb。OwXwYwZw坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)Ow為理想狀態(tài)下測(cè)量點(diǎn)初始所在位置，Xw軸指向?qū)к壍难由旆较?，Yw軸指向平行于芯軸軸線方向，Zw軸指向豎直方向。ObXbYbZb坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)Ob為被測(cè)樣板的中心，Xb軸指向被測(cè)樣板中漸開(kāi)線起始點(diǎn)與樣板中心的連線方向，Yb軸指向芯軸軸線方向，Zb軸指向同時(shí)垂直于Xb軸和Yb軸的方向，如圖3所示。

圖3 儀器坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系示意圖Fig.3 Diagram of the machine coordinate system and the workpiece coordinate system

儀器坐標(biāo)系的位置是固定的，而工件坐標(biāo)系的位置隨著基圓盤的滾動(dòng)不斷發(fā)生變化，工件坐標(biāo)系相對(duì)于儀器坐標(biāo)系有6個(gè)自由度，故存在6個(gè)空間幾何誤差，如圖4所示，分別為3個(gè)線性誤差ex、ey、ez和3個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差r x（ObXbYbZb坐標(biāo)系繞Xw軸的旋轉(zhuǎn)角）、r y（ObXbYbZb坐標(biāo)系繞Yw軸的旋轉(zhuǎn)角）、rz（ObXbYbZb坐標(biāo)系繞Zw軸的旋轉(zhuǎn)角）。其測(cè)量原理是計(jì)算出實(shí)際測(cè)量過(guò)程中測(cè)球與漸開(kāi)線接觸點(diǎn)與理論接觸點(diǎn)在儀器坐標(biāo)系OwXwYwZw中的Xw軸坐標(biāo)之差Δ。

圖4 空間幾何誤差引起測(cè)量誤差的原理Fig.4 Principle of measurement error caused by spatial geometric errors

2個(gè)線性誤差ex、ez和3個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差r x、ry、r z都會(huì)導(dǎo)致測(cè)量點(diǎn)產(chǎn)生偏移。ey單獨(dú)出現(xiàn)時(shí)對(duì)測(cè)量不產(chǎn)生影響，當(dāng)ey與r x或r z同時(shí)出現(xiàn)時(shí)便會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響。若被測(cè)樣板存在線性誤差ey和旋轉(zhuǎn)誤差r x，如圖4（a）所示，測(cè)球與漸開(kāi)線齒廓的接觸點(diǎn)將向上偏離于理論所在漸開(kāi)線齒廓面的位置，此時(shí)可等效為齒輪漸開(kāi)線存在線性誤差ezr，這兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

其中，r為齒輪漸開(kāi)線樣板的基圓半徑。

若被測(cè)樣板存在線性誤差ey和旋轉(zhuǎn)誤差rz，如圖4（b）所示，測(cè)量點(diǎn)將產(chǎn)生Xw軸方向的偏移，偏移量exr為：

其中，S為基圓盤滾動(dòng)距離，其值等于基圓半徑r與滾動(dòng)角度φ的乘積，即S=rφ。

若被測(cè)樣板存在旋轉(zhuǎn)誤差ry和線性誤差ex、ez，如圖4（c）所示，通過(guò)幾何方法計(jì)算測(cè)量點(diǎn)的偏移量過(guò)程復(fù)雜，且一般求得的是近似解，精度稍顯不足。因此這里采用坐標(biāo)系變換的方法：先求得實(shí)際測(cè)量點(diǎn)P'在工件坐標(biāo)系ObXbYbZb中的坐標(biāo)（xb，yb，zb），再通過(guò)坐標(biāo)系變換求得該點(diǎn)在儀器坐標(biāo)系OwXwYwZw中的坐標(biāo)（xw，yw，zw），最后與理論測(cè)量點(diǎn)P在儀器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，從而得到測(cè)量誤差。由式（1）、（2）計(jì)算得到的ezr和exr都可以算入此種情況中的ez和ex。

圖4（c）中，r為理論基圓半徑，f1（ζ）為漸開(kāi)線齒廓，f2（t）為測(cè)頭裝置中測(cè)桿所在直線，P'為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)，P為理論測(cè)量點(diǎn)，ζ為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)處的漸開(kāi)線展開(kāi)角，φ為理論測(cè)量點(diǎn)處的漸開(kāi)線展開(kāi)角。在XbObZb平面中，漸開(kāi)線f1（ζ）的參數(shù)方程為：

直線f2（t）在XbObZb平面中的參數(shù)方程為：

漸開(kāi)線f1（ζ）與直線f2（t）在XbObZb平面內(nèi)的交點(diǎn)聯(lián)合式（3）（4）可求得：

式（5）的解析解計(jì)算過(guò)程繁雜，但是數(shù)值解利用MATLAB軟件編程求解相對(duì)簡(jiǎn)單得多，計(jì)算得到參數(shù)t、ζ，選其中一個(gè)代入相應(yīng)的參數(shù)方程中，即可求得點(diǎn)P'在工件坐標(biāo)系ObXbYbZb中的坐標(biāo)（xb，yb，zb）。然后根據(jù)兩個(gè)坐標(biāo)系的位姿關(guān)系，將ObXbYbZb坐標(biāo)系繞Yw軸旋轉(zhuǎn)η=（φ+ryπ/2）角度，再沿Xw軸平移（ex+rφ）個(gè)單位，最后沿Zw軸平移（r+ez）個(gè)單位，求出實(shí)際測(cè)量點(diǎn)P'在儀器坐標(biāo)系OwXwYwZw中的坐標(biāo)（xw，yw，zw）：

其中：R Y，η為旋轉(zhuǎn)矩陣，Pbw為平移向量，可由下式計(jì)算：

由于理論測(cè)量點(diǎn)P位于儀器坐標(biāo)系的原點(diǎn)，故式（6）中實(shí)際測(cè)量點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)xw即為測(cè)量誤差Δ。

在展開(kāi)長(zhǎng)度ρs范圍內(nèi)取多個(gè)測(cè)量點(diǎn)，所有點(diǎn)帶入式（8）獲得一條測(cè)量誤差曲線，從測(cè)量誤差曲線中能分離出齒廓總偏差Fα、齒廓傾斜偏差fHα和齒廓形狀偏差ffα。如圖5所示為測(cè)量誤差曲線的齒廓偏差示意圖。

圖5 測(cè)量誤差曲線的齒廓偏差示意圖Fig.5 Diagram of the profile deviation of the measuring error curve

3 主要的空間幾何誤差源分析

上節(jié)分析的齒廓偏差補(bǔ)償模型能將6個(gè)空間幾何誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響計(jì)算出來(lái)。只要知道6個(gè)空間幾何誤差量，帶入模型便能計(jì)算出其帶來(lái)的齒廓偏差。本節(jié)針對(duì)雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的主要兩項(xiàng)空間幾何誤差源展開(kāi)具體分析。

3.1 基圓盤的圓度誤差

采用展成法測(cè)量漸開(kāi)線的精確度在一定程度上依賴于基圓盤的各項(xiàng)精度指標(biāo)?；鶊A盤的圓度誤差以橢圓形狀居多，本文針對(duì)此種情況帶來(lái)的測(cè)量誤差進(jìn)行分析?；鶊A盤的圓度誤差會(huì)導(dǎo)致實(shí)際展開(kāi)長(zhǎng)度與理論展開(kāi)長(zhǎng)度不相等，從而產(chǎn)生線性誤差ex1；此外，兩個(gè)基圓盤的滾動(dòng)距離也可能不等，進(jìn)而導(dǎo)致芯軸產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)誤差r z1；由于圓度誤差，基圓盤圓心到外圓的距離（即基圓盤的極徑）不等于理論基圓半徑r，從而導(dǎo)致被測(cè)樣板中心與理論位置存在線性誤差ez1及旋轉(zhuǎn)誤差r x1。圖6為基圓盤的圓度誤差帶來(lái)的空間幾何誤差示意圖。

圖6 基圓盤的圓度誤差帶來(lái)的空間幾何誤差Fig.6 Spatial geometric errors caused by the roundness error of the base discs

設(shè)基圓盤1的長(zhǎng)短軸半徑分別為a1、b1，基圓盤2的長(zhǎng)短軸半徑分別為a2、b2，則圓度誤差κ=a-b。當(dāng)基圓盤轉(zhuǎn)過(guò)φ角，被測(cè)樣板中心偏離于其理論所在位置的距離為：

其中：ρ1、ρ2分別為φ角時(shí)基圓盤1、基圓盤2的極徑。ρ1、ρ2可由下式計(jì)算：

其中：δ1、δ2分別為基圓盤1、基圓盤2的初始極角，即基圓盤與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)處的極徑和橢圓長(zhǎng)軸之間的夾角。

齒輪漸開(kāi)線樣板相對(duì)于儀器坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)誤差r x1為：

其中，L為芯軸的長(zhǎng)度。

線性誤差ex1可由下式計(jì)算：

齒輪漸開(kāi)線樣板相對(duì)于儀器坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)誤差rz1為：

基圓半徑r為100 mm的齒輪漸開(kāi)線樣板，展開(kāi)角θ在0°～40°，展開(kāi)長(zhǎng)度ρs在0～70 mm。將基圓盤的圓度誤差引起的空間幾何誤差ex1、ez1、rx1、r z1帶入2.2節(jié)所述齒廓偏差補(bǔ)償模型，根據(jù)式（8）計(jì)算出測(cè)量誤差Δ1并分析得出以下結(jié)論：（1）當(dāng)基圓盤的圓度誤差κ一定時(shí)，其引起的齒廓偏差隨著兩個(gè)基圓盤的初始極角δ1、δ2的變化而變化，且主要帶來(lái)的是齒廓傾斜偏差fHα；（2）當(dāng)滾動(dòng)區(qū)域?qū)ΨQ分布在兩個(gè)橢圓長(zhǎng)軸（初始極角δ1=δ2=-θ/2=-20°）或 短 軸（δ1=δ2=（π-θ）/2=70°）時(shí)，帶來(lái)的齒廓總偏差Fα最大且相等，其中齒廓傾斜偏差fHα互為相反數(shù)。

圖7為基圓盤的圓度誤差引起的齒廓偏差與初始極角的關(guān)系曲線，δ1與δ2的取值范圍為［-90°，90°］，展開(kāi)長(zhǎng)度ρs在0～70 mm，為方便與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析，兩個(gè)基圓盤的圓度誤差分別取值為0.4 mm和0.6 mm。

圖7 齒廓偏差與初始極角關(guān)系Fig.7 Relationship between the profile deviation and initial pole angle

3.2 純滾動(dòng)組件的綜合安裝誤差

基圓盤的制造誤差除了外圓柱面的圓度誤差，還包括內(nèi)孔的制造偏心等，此外，操作人員的技術(shù)水平也會(huì)帶來(lái)基圓盤和樣板的安裝偏心、偏擺問(wèn)題。純滾動(dòng)組件的綜合安裝誤差包括基圓盤和樣板相對(duì)于芯軸的綜合安裝偏心誤差和綜合安裝偏擺誤差?；鶊A盤若存在安裝偏擺，則滾動(dòng)圓周為橢圓形狀，故基圓盤的安裝偏擺誤差對(duì)齒廓偏差的影響可等效于基圓盤的圓度誤差帶來(lái)的影響；齒輪漸開(kāi)線樣板的安裝偏擺誤差等效于芯軸在兩個(gè)基圓盤內(nèi)孔中安裝偏心方向相反的情況。因此這里對(duì)基圓盤和齒輪漸開(kāi)線樣板的安裝偏擺誤差不做詳細(xì)分析，僅討論綜合安裝偏心的情況。

圖8為純滾動(dòng)組件的綜合安裝偏心示意圖。圖中O1、O2、O3分別為基圓盤1、基圓盤2和樣板的圓心；e1、e2分別為芯軸在基圓盤1、基圓盤2的偏心量，e3為樣板在芯軸上的偏心量；λ1、λ2分別為芯軸相對(duì)于兩個(gè)基圓盤的偏心相位角（芯軸和基圓盤內(nèi)孔圓心的連線與水平軸之間的夾角），λ3為樣板相對(duì)于芯軸的偏心相位角。λ1、λ2不相等會(huì)導(dǎo)致被測(cè)樣板產(chǎn)生偏擺，即存在旋轉(zhuǎn)誤差rx2和r z2。

圖8 純滾動(dòng)組件的綜合安裝偏心示意圖Fig.8 Comprehensive installation eccentricity diagram of a pure rolling component

綜合安裝偏心導(dǎo)致樣板相對(duì)于儀器坐標(biāo)系產(chǎn)生4個(gè)空間幾何誤差：ex2、ez2、r x2和r z2，當(dāng)基圓盤轉(zhuǎn)過(guò)角度φ時(shí)，水平方向產(chǎn)生的線性誤差ex2為：

旋轉(zhuǎn)誤差rx2可由下式計(jì)算：

將上式帶入式（1）進(jìn)而求得ez2：

旋轉(zhuǎn)誤差rz2可通過(guò)下式求得：

將ex2、ez2和r z2代入式（8）即可求得測(cè)量誤差Δ2。利用MATLAB對(duì)式（3）～（8）、（14）～（17）進(jìn)行編程，畫出當(dāng)三個(gè)偏心量e相等時(shí)，在展開(kāi)長(zhǎng)度ρs為0～70 mm范圍內(nèi)齒廓偏差與三個(gè)偏心相位角的關(guān)系曲線，如圖9所示。為方便與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，偏心量的值取為3.46μm，分析得出以下三點(diǎn)結(jié)論（適用于三個(gè)偏心量相等的所有情況）：

圖9 齒廓偏差與偏心相位角關(guān)系Fig.9 Relationship between the profile deviation and the eccemtric phase angle

（1）當(dāng)偏心相位角λ1=λ2且與偏心相位角λ3相差180°時(shí)，綜合安裝偏心對(duì)測(cè)量結(jié)果沒(méi)有影響；

（2）當(dāng)偏心相位角λ1=λ2=λ3=70°或250°時(shí)，綜合安裝偏心帶來(lái)的齒廓傾斜偏差fHα最大；

3）當(dāng)偏心相位角λ1=λ2=λ3=160°或340°時(shí)，綜合安裝偏心帶來(lái)的齒廓形狀偏差ffα最大，不帶來(lái)齒廓傾斜偏差。

圖10為極限齒廓偏差f［max］與偏心量e的關(guān)系。由圖可知，極限齒廓偏差與偏心量成正比關(guān)系，其 中 極 限 齒 廓 傾 斜 偏 差fHα［max］為 偏 心 量 的136%；極 限 齒 廓 形 狀 偏 差ffα［max］為 偏 心 量 的12%。

圖10 極限齒廓偏差f［max］與偏心量e的關(guān)系曲線Fig.10 Relationship curve between the extreme profile deviation f［max］and the eccentricity e

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證齒廓偏差補(bǔ)償模型的有效性，針對(duì)上節(jié)分析的兩項(xiàng)空間幾何誤差源設(shè)計(jì)相應(yīng)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)在室溫為20±0.5℃的大連理工大學(xué)高精度測(cè)量間進(jìn)行，所有數(shù)據(jù)均重復(fù)5次測(cè)量，取平均值作為最終測(cè)量結(jié)果。

4.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)前需要測(cè)量?jī)蓚€(gè)基圓盤的圓度誤差大小和滾動(dòng)組件裝配過(guò)程中的實(shí)際綜合安裝偏心大小?；鶊A盤的圓度誤差測(cè)量如圖11所示，選用分辨力為0.1μm的便攜式電感測(cè)微儀，電感測(cè)頭打在兩個(gè)基圓盤外圓和樣板兩側(cè)端面上（樣板的徑跳取兩側(cè)端面徑跳值的平均值），轉(zhuǎn)動(dòng)芯軸至下一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，直至芯軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周。由于此測(cè)量方法以頂尖為基準(zhǔn)，因此需要將芯軸頂尖孔相對(duì)于各安裝軸段的偏心考慮進(jìn)去，根據(jù)徑向跳動(dòng)測(cè)量值擬合計(jì)算出基圓盤的圓度誤差，如圖12所示，基圓盤1的圓度誤差κ1=0.4μm，基圓盤2圓度誤差κ2=0.6μm。

圖11 兩個(gè)基圓盤的圓度誤差測(cè)量Fig.11 Roundness error measurement of the two base discs

圖12 兩個(gè)基圓盤的圓度誤差Fig.12 Roundness error of the two base discs

純滾動(dòng)組件的綜合偏心通過(guò)加裝G5級(jí)球制作的、具有微量過(guò)盈量的偏心密珠軸套實(shí)現(xiàn)［21］，圖13為特制偏心密珠軸套示意圖，移除密珠軸套均布六球室中Y方向的對(duì)稱兩球室里的球，在鎖緊螺母和平墊圈的作用下，被測(cè)工件偏心方向基本與Y方向一致，可通過(guò)更換不同直徑的密珠滿足不同偏心量的需求。

圖13 偏心密珠軸套Fig.13 Eccentric multi-ball bearing

用偏心密珠軸套依次裝配出如圖14中三種位姿的純滾動(dòng)組件。裝配時(shí)控制不同位姿下的漸開(kāi)線展開(kāi)長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的基圓盤區(qū)域相同，芯軸與基圓盤的對(duì)應(yīng)相位也相同，確保測(cè)量過(guò)程中只有綜合安裝偏心這一個(gè)變量影響測(cè)量結(jié)果。

圖14 三種綜合偏心裝配位姿Fig.14 Three comprehensive installation eccentric positions

綜合偏心的測(cè)量方法和基圓盤的圓度誤差測(cè)量方法相似，補(bǔ)償?shù)粜据S頂尖孔相對(duì)于各安裝軸段的偏心后，計(jì)算出滾動(dòng)組件的真實(shí)綜合安裝偏心值。偏心相位角λ1=λ2=λ3=70°情況下滾動(dòng)組件的綜合安裝偏心值如圖15所示，從圖中可以看出偏心量為3.46μm，偏心相位的誤差為±2°。

圖15 λ1=λ2=λ3=70°時(shí)純滾動(dòng)組件的綜合安裝偏心Fig.15 Comprehensive installation eccentricity of the pure rolling element whenλ1=λ2=λ3=70°

4.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果

實(shí)驗(yàn)所用齒輪漸開(kāi)線樣板的基圓半徑r為100 mm，展開(kāi)長(zhǎng)度ρs在0～70 mm，評(píng)測(cè)計(jì)值區(qū)間Lα為5～70 mm。

為了驗(yàn)證基圓盤的圓度誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響規(guī)律，將齒輪漸開(kāi)線樣板的展開(kāi)長(zhǎng)度ρs對(duì)應(yīng)的基圓盤圓弧段（即滾動(dòng)區(qū)域）選取為三個(gè)不同區(qū)段，分別為對(duì)稱分布在橢圓長(zhǎng)軸（初始極角δ1=δ2=-20°）、對(duì)稱分布在橢圓短軸（δ1=δ2=70°）和分布在長(zhǎng)短軸之間（δ1=δ2=25°）。根據(jù)3.1小節(jié)的分析，δ1=δ2=-20°和δ1=δ2=70°帶來(lái)的齒廓傾斜偏差互為相反數(shù)，δ1=δ2=25°帶來(lái)的齒廓傾斜偏差為零，具有明顯的對(duì)比特征。

按上述初始極角值依次裝配好后將純滾動(dòng)組件放置到實(shí)驗(yàn)室自行研制的齒輪漸開(kāi)線樣板激光干涉測(cè)量裝置上，測(cè)量齒輪漸開(kāi)線樣板的齒廓偏差，如圖16所示。該測(cè)量裝置整合了雙滾輪-導(dǎo)軌式展成機(jī)構(gòu)和任意表面形位誤差的激光測(cè)量測(cè)頭裝置，導(dǎo)軌的直線度誤差為20 nm/120 mm，激光干涉儀的測(cè)量精度約為15 nm，測(cè)量裝置補(bǔ)償部分誤差后對(duì)于漸開(kāi)線齒廓偏差的測(cè)量不確定度可達(dá)0.4μm，精度符合實(shí)驗(yàn)需求。

圖16 基圓盤的圓度誤差引起的齒廓偏差測(cè)量實(shí)景Fig.16 Real scene of tooth profile deviation measurement caused by roundness error of base disc

基圓盤的圓度誤差引起的測(cè)量誤差的實(shí)測(cè)曲線Δ1'如圖17所示，圖18為根據(jù)齒廓偏差補(bǔ)償模型畫出的滾動(dòng)區(qū)域不同時(shí)的理論偏差曲線Δ1。

從圖17可以看出，在計(jì)值范圍Lα內(nèi)，初始極角δ1=δ2=25°時(shí)的實(shí)測(cè)曲線相對(duì)于δ1=δ2=-20°時(shí)的實(shí)測(cè)曲線，齒廓傾斜偏差fHα減小了0.11 μm，齒廓形狀偏差ffα增大了0.04μm；δ1=δ2=70°時(shí)的實(shí)測(cè)曲線相對(duì)于δ1=δ2=-20°時(shí)的實(shí)測(cè)曲線，齒廓傾斜偏差fHα減小了0.31μm，齒廓形狀偏差ffα基本不變；與圖18中三條理論曲線的齒廓偏差變化規(guī)律基本一致。

圖17 滾動(dòng)區(qū)域不同時(shí)的實(shí)際測(cè)量曲線Fig.17 Actual measurement curve for different rolling areas

圖18 滾動(dòng)區(qū)域不同時(shí)的理論偏差曲線Fig.18 Theoretical deviation curve for different rolling areas

表1為滾動(dòng)區(qū)域不同時(shí)的測(cè)量結(jié)果，表中齒廓偏差理論值可通過(guò)圖7查找。從表1可以看出，將δ1=δ2=25°和δ1=δ2=70°的測(cè)量曲線減去δ1=δ2=-20°的測(cè)量曲線后（即#i-#1），在計(jì)值范圍Lα內(nèi)實(shí)際齒廓偏差與理論齒廓偏差的差值不大于0.04μm。

表1 滾動(dòng)區(qū)域不同時(shí)的測(cè)量結(jié)果Tab.1 Measurement results of different rolling area

為了驗(yàn)證齒廓偏差補(bǔ)償模型的正確性，還針對(duì)基于齒廓偏差補(bǔ)償模型分析的綜合安裝誤差設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。依次測(cè)量偏心量為3.46μm的三種綜合偏心裝配位姿下被測(cè)樣板的齒廓偏差，所測(cè)得的實(shí)際誤差曲線Δ2'如圖19所示，理論偏差曲線Δ2如圖20所示。

從圖19可以看出，偏心相位角λ1=λ2=λ3=160°的實(shí)測(cè)曲線相對(duì)于λ1=λ2=-20°、λ3=160°的實(shí)測(cè)曲線，齒廓形狀偏差ffα增大了0.43μm，約為偏心量的12%，齒廓傾斜偏差fHα不變；λ1=λ2=λ3=70°的實(shí)測(cè)曲線相對(duì)于λ1=λ2=-20°、λ3=160°的實(shí)測(cè)曲線，齒廓傾斜偏差fHα減小了4.62μm，約為偏心量的134%，齒廓形狀偏差ffα基本不變；與圖20中三條曲線的齒廓偏差變化規(guī)律基本吻合。

圖19 不同綜合安裝偏心下的實(shí)際測(cè)量曲線Fig.19 Actual measurement curve of different comprehensive installation eccentricity

圖20 不同綜合安裝偏心下的理論偏差曲線Fig.20 Theoretical deviation curve of different comprehensive installation eccentricity

表2為不同裝配位姿下的測(cè)量結(jié)果，表中齒廓偏差理論值可通過(guò)圖9查找。從表2中可知，（#2-#1）的實(shí)際齒廓傾斜偏差與理論值的差值為-0.16μm，相對(duì)誤差約為4%；（#3-#1）的實(shí)際齒廓形狀偏差與理論值的差值為0.01μm，相對(duì)誤差約為2%。

表2 不同綜合安裝偏心下的測(cè)量結(jié)果T ab.2 Measurement results in different comprehensive installation eccentricity

考慮到測(cè)量裝置的系統(tǒng)誤差、測(cè)量重復(fù)性誤差和偏心相位誤差，測(cè)量結(jié)果與理論結(jié)果存在偏差在所難免。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明齒廓偏差補(bǔ)償模型能夠有效表征空間幾何誤差與漸開(kāi)線齒廓偏差之間的計(jì)算關(guān)系，可通過(guò)安裝誤差之間的相互抵消或直接補(bǔ)償提高雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x的測(cè)量精度。

除此之外，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)將兩個(gè)基圓盤和被測(cè)樣板調(diào)整成無(wú)偏心十分困難。相比之下，相位則容易得到控制，因此可以采用圖14（c）方式補(bǔ)償修正滾動(dòng)組件綜合安裝偏心帶來(lái)測(cè)量誤差。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)雙滾輪-導(dǎo)軌式漸開(kāi)線測(cè)量?jī)x器中存在的空間幾何誤差提出了一種補(bǔ)償新方法，該方法避免了超越方程求解一般公式的復(fù)雜性，只需確定幾何誤差量便能通過(guò)齒廓偏差補(bǔ)償模型直接計(jì)算出其帶來(lái)的齒廓傾斜偏差和齒廓形狀偏差；然后基于該補(bǔ)償模型對(duì)幾項(xiàng)常見(jiàn)的空間幾何誤差源（如漸開(kāi)線樣板、基圓盤與芯軸的綜合安裝誤差，基圓盤的圓度誤差等）進(jìn)行具體分析，得出初始誤差與齒廓偏差之間的映射關(guān)系，并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

（1）將漸開(kāi)線的展開(kāi)長(zhǎng)度區(qū)域選在基圓盤的不同使用圓弧段，實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)滾動(dòng)區(qū)域?qū)ΨQ分布在橢圓的長(zhǎng)軸或短軸時(shí)，帶來(lái)的齒廓傾斜偏差最大，且方向相反，實(shí)測(cè)值與理論值的絕對(duì)誤差不大于0.04μm。

（2）齒輪漸開(kāi)線樣板、基圓盤與芯軸的安裝偏心對(duì)齒廓偏差影響很大，其值的大小與偏心相位角相關(guān)。當(dāng)偏心相位角λ1=λ2=λ3=70°時(shí)，帶來(lái)的齒廓傾斜偏差最大，與理論值的相對(duì)誤差約為4%；當(dāng)偏心相位角λ1=λ2=λ3=160°時(shí)，帶來(lái)的齒廓形狀偏差最大，與理論值的相對(duì)誤差約為2%。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了空間幾何誤差補(bǔ)償方法的有效性，該補(bǔ)償方法為實(shí)現(xiàn)基準(zhǔn)級(jí)齒輪漸開(kāi)線樣板的制造提供了測(cè)量手段。