玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)間的光學(xué)介導(dǎo)糾纏

高帥 PREST Matthew ILO-OKEKE Ebubechukwu O. KONDAPPAN ARISTIZABAL-ZULUAGA Juan E. IVANNIKOV Valentin BYRNES Tim

摘要： 著重研究了一種在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)（Bose-Einstein Condensate， BEC）之間產(chǎn)生光學(xué)介導(dǎo)糾纏的方案. 該方案使用量子非破壞性哈密頓量 ， 并將 BEC 置于馬赫-曾德（Mach-Zehnder）構(gòu)型中. 結(jié)果表明 ， 通過對(duì)光進(jìn)行測(cè)量 ， 可以誘導(dǎo)產(chǎn)生糾纏態(tài). 還特別分析了糾纏態(tài)在退相干作用下的效應(yīng). 研究表明 ， 該糾纏態(tài)的行為表現(xiàn)對(duì)于原子與光的作用時(shí)間較為敏感：當(dāng)相互作用時(shí)間?時(shí) ， 該糾纏態(tài)相對(duì)穩(wěn)定;當(dāng)相互作用時(shí)間>時(shí) ， 該糾纏態(tài)則相對(duì)脆弱.

關(guān)鍵詞：玻色-愛因斯坦凝聚態(tài);? 量子非破壞性測(cè)量;? 雙自旋糾纏態(tài);? 退相干

中圖分類號(hào)： O431.2??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.011

Optically mediated entanglement between Bose-Einstein condensates

GAO Shuai1 ，? PREST Matthew1，2 ，? ILO-OKEKE Ebubechukwu O.2，3 ，? KONDAPPAN

Manikandan4???? ARISTIZABAL-ZULUAGA Juan E.1，2 ，? IVANNIKOV Valentin1，5，6，7 ，

BYRNES Tim1，5，6，7

（1. State Key Laboratory of Precision Spectroscopy， East China Normal University， Shanghai? 200241，China;2. Department of Physics， New York University Shanghai， Shanghai? 200122， China;3. Departmentof Physics， School of Science， Federal University of Technology， Imo State? 460001， Nigeria;4. Departmentof Precision Science and Natural Sciences， Institute of Physics， Universidad de Antioquia UdeA， Medellín05001000， Colombia;5. NYU-ECNU Institute of Physics at NYU Shanghai， Shanghai? 200062， China;6. National Institute of Informatics， Tokyo? 101-8430， Japan;7. Department of Physics， New YorkUniversity， New York， NY? 10003， USA）

Abstract： This paper explores a method for generating optically mediated entanglement between Bose- Einstein condensates （BECs）. Using a quantum nondemolition Hamiltonian with BECs placed in a Mach- Zehnder configuration， it is shown that entangled states can be induced by performing measurement on light. In particular， the effects of the entangled state in the presence of decoherence were analyzed. The behavior of the entangled state was found to be sensitive to the atom-light interaction time. The entangledstate is relatively stable when the dimensionless interaction time? ??? and relatively fragile when the time is greater.

Keywords： Bose-Einstein condensate;?? quantum nondemolition measurement;?? two-spin entangled state; decoherence

0? 引言

量子糾纏[1-2]作為一種重要的物理資源 ， 被廣泛地應(yīng)用于量子信息[3-5]和量子計(jì)算[6-7]等任務(wù)中.糾纏是量子力學(xué)的核心內(nèi)容之一 ， 因此如何產(chǎn)生多粒子糾纏態(tài)是一項(xiàng)重要的任務(wù). 而這其中的關(guān)鍵是多粒子糾纏態(tài)必須能被視作純單粒子能級(jí) ， 玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)（BEC）則恰好滿足這樣的條件. 最近人們?cè)桨l(fā)對(duì)研究宏觀系統(tǒng)中的量子機(jī)理感興趣. BEC 是一種典型的介觀系綜 ， 它內(nèi)部包含103個(gè)或更多原子 ， 并且具有高度的相干性. 鑒于以上優(yōu)點(diǎn) ， BEC 提供了一種在宏觀尺度上觀測(cè)糾纏的可能性. 最近有3 個(gè)研究小組[8-10]演示了 BEC 中的糾纏 ， 并證明了單個(gè) BEC 的2 個(gè)空間區(qū)域之間存在糾纏. 但是 ， 目前還沒有 2個(gè)獨(dú)立的 BEC 之間糾纏的演示. 而本文所使用的光學(xué)介導(dǎo)方案則可以在 2個(gè) BEC 之間產(chǎn)生糾纏 ， 因此本文方案具有重要的意義.

量子計(jì)量是原子系綜的主要應(yīng)用之一.使用自旋壓縮態(tài)可以提高測(cè)量靈敏度， 甚至可以超過標(biāo)準(zhǔn)量子極限.事實(shí)上 ， 單原子系綜中的量子相干態(tài)可以轉(zhuǎn)換成自旋壓縮態(tài)[11-12]. 根據(jù)海森堡不確定原理[13-15] ， 自旋壓縮態(tài)可以減小特定測(cè)量方向的不確定度， 反過來又可以增加另一個(gè)反方向的不確定度.實(shí)驗(yàn)中， 已經(jīng)成功地將這種方法用在光學(xué)系統(tǒng)中[15-17]. 類似的 ， 這種方法也可以用在本文考慮的原子系統(tǒng)中.在測(cè)量?jī)?nèi)部自旋能級(jí)時(shí) ， 有許多不同的相互作用可以降低噪聲[12，18-20]. 在 BEC 中， 實(shí)驗(yàn)中得到論證的有效壓縮作用有單軸和雙軸反扭轉(zhuǎn)哈密頓量[21-23] ， 這樣的相互作用廣泛應(yīng)用于量子計(jì)算 [24]、計(jì)量 [25]、密碼學(xué)[26] ， 以及引力波探測(cè)[27].

一般地 ， 真實(shí)的量子系統(tǒng)不可避免地與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用 ， 此時(shí)量子系統(tǒng)會(huì)變得非常脆弱 ， 而且非常容易失去相干性 ， 這就是常說的退相干[28]. 這是實(shí)現(xiàn)量子信息處理和量子計(jì)算的重大障礙. 因此研究量子系統(tǒng)的退相干機(jī)制 ， 以及如何在最大程度上抑制退相干是量子信息學(xué)中難以忽視的問題 .基于上述原因 ， 本文研究了糾纏態(tài)在退相干機(jī)制下的魯棒性 ， 這將給相關(guān)量子邏輯門的設(shè)計(jì)提供可靠的量子比特來源 ， 并促進(jìn)相應(yīng)技術(shù)的發(fā)展.

1? 物理模型

1.1? 理論模型

簡(jiǎn)化的2 個(gè) BEC 之間產(chǎn)生糾纏的物理實(shí)現(xiàn)裝置見圖 1. 圖1中 ， Coherent light 代表的是相干光源 ， Beam splitter 代表分束器 ， 光子數(shù)探測(cè)器則用 Photodetector 進(jìn)行表示.該方案包含2個(gè)放置在馬赫-曾德干涉儀（置于相干光路中） 的不同臂的、空間分離的 BEC.光與 BEC 通過量子非破壞性 （Quantum Nondemolition， QND）哈密頓量相互作用. 隨后 ， 使用光電探測(cè)器對(duì)相應(yīng)的光子數(shù)進(jìn)行探測(cè) ， 最終得到一個(gè)結(jié)構(gòu)豐富的糾纏態(tài). 這里考慮的 BEC 位于2個(gè)分離良好的阱中.此處的阱可能是原子芯片上分離的2 個(gè)磁阱 ， 也可能是光學(xué)偶極阱[29-31]. 每個(gè) BEC 都有2 個(gè)可以布居原子的內(nèi)部能級(jí) ， 相應(yīng)的玻色湮滅算子為 gj ， ej ， 其中 j ∈{1， 2}. 常見的內(nèi)部能級(jí)態(tài)是超精細(xì)基態(tài) ， 例如87Rb 的 F =1， mF = 1和 F =2， mF = 2時(shí)鐘態(tài)[8，32-33].

為了推導(dǎo)的方便 ， 采用施溫格（Schwinger）玻色算符定義有效自旋 ， 即

其中 ， j ∈{1， 2}用來標(biāo)記 BEC.自旋算符遵循對(duì)易關(guān)系[Sl ， Sm]= 2i?lmnSn ， 這里 l， m， n ∈{x， y， z} ， x， y， z 表示3 個(gè)坐標(biāo)軸方向 ， ?lmn 是完全反對(duì)稱 Levi-Civita 張量.這里我們考慮每個(gè) BEC 中的原子數(shù)是常量的情況 ， 因此有

（2）

這里原子數(shù)算符是?？耍‵ock）態(tài)的本征值 ， 可以記作

其中， Fock 態(tài)可以表示為

（4）

公式（4）中， |vac?是沒有原子和光子的真空態(tài). 通常用自旋相干態(tài)來描述 BEC， 其形式為

（5）

其中， 0? θ? π， ?π? φ? π是布洛赫（Bloch）球上的2 個(gè)任意球坐標(biāo)角. 具體推導(dǎo)過程如下.

2種不同光學(xué)模式的光束和各自的 BEC 相互作用.模式 b 是激光最初照射光束的玻色湮滅算符.該模式進(jìn)入分束器 ， 進(jìn)而轉(zhuǎn)換成

通過2 個(gè) BEC 的光束的玻色湮滅算符是 a1 ， a2. 光學(xué)模式的斯托克斯（Stokes）算符可以表示成

（7）

其中 np 是光子數(shù)算符.在光和 BEC 干涉后 ， 第二個(gè)分束器進(jìn)一步對(duì)光學(xué)模式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 ， 最后得到的相應(yīng)光學(xué)模式的玻色湮滅算符 ， 用 c， d 進(jìn)行表示. 該轉(zhuǎn)換關(guān)系為

（8）

光子數(shù)算符的本征態(tài) ， 可以表示為

（9）

其中 b 是相應(yīng)光束的光學(xué)模式的湮滅算符.

光的初始態(tài)可以用光學(xué)相干態(tài)表征 ， 為

（10）

原子和光通過量子非破壞性（QND）哈密頓量相互作用 ， 該哈密頓量形式為

其中 ， Jz是描述光源的斯托克斯算符 ， S 和 S 是描述原子系統(tǒng)的施溫格玻色算符.注意到[H，Jz]= 0 ， 這說明Jz沒有時(shí)間依賴 ， 該哈密頓量確實(shí)是非破壞性的. 最后對(duì)光子數(shù)進(jìn)行測(cè)量.

1.2? QND 糾纏方程

對(duì)于 QND 誘導(dǎo)糾纏的分析 ， 通常采用 Holstein-Primakoff （HP）近似

本文采用精確推導(dǎo)的方法 ， 這將允許用更長(zhǎng)的時(shí)間尺度研究其行為模式. 這里考慮 BEC 的通用初始態(tài)

一種合適的初始態(tài)是2個(gè)偏振在Sx 方向的 BEC， 將其分別用自旋相干態(tài)表示 ， 易得

（14）

將其在 Fock 基中進(jìn)行展開 ， 可以得到

（15）

激光將光學(xué)模式 b 映射成光學(xué)相干態(tài) ， 因此光學(xué)初始態(tài)可表示為|α?b .在經(jīng)過第一個(gè)分束器后， 初始波函數(shù)變?yōu)?/p>

其中 ， a1，a2是光學(xué)模式 b 經(jīng)過分束器后所產(chǎn)生的新光學(xué)模式.隨后光和 BEC 產(chǎn)生相互作用 ， 假設(shè)該相互作用時(shí)間為 t， 則相互作用后的初始態(tài)演化為

|?（τ）?= e ?? |?（0）?= exp [?? （S ? S ）Jz]|?（0）?.???? （17）

這里定義無量綱時(shí)間τ≡ ?t .將式（13）帶入式（16）， 得到

（18）

下一步應(yīng)用公式（8）的分束算符， 初始態(tài)演變?yōu)?/p>

最后， 分別探測(cè)在光學(xué)模式c， d 下的光子數(shù) ， 這等價(jià)于將式（19）用測(cè)量算符進(jìn)行投影 ， 有

（20）

忽略不相關(guān)的全局相位 ， 未歸一化態(tài)為

（21）

其中， Fock 基下的系數(shù)Cnc nd （χ）具有

該式可由

（23）

進(jìn)行歸一化.

公式（21）給出的形式表明 ， 該光介導(dǎo)方案的效應(yīng)是非常簡(jiǎn)單的 ， 最初的波函數(shù)被一個(gè)額外因子 Cnc nd? [（ k1 ? k2）τ] 所調(diào)制. 在測(cè)量光子數(shù)后 ， 歸一化糾纏態(tài)的波函數(shù)為

（24）

這里歸一化因子等價(jià)于光子探測(cè)概率

（25）

公式（24）是我們最終求得的2 個(gè) BEC 之間的波函數(shù). 顯然 ， 公式（19）的形式表明 ， 初始光學(xué)態(tài)的取值可以是任意的. 精確波函數(shù)表達(dá)式（21）適用于任意時(shí)間 ， 從而大大擴(kuò)展了模型的適用范圍.

1.3? 近似分析

在獲得了波函數(shù)精確表達(dá)式后 ， 為了直觀研究該糾纏態(tài)的性質(zhì) ， 我們對(duì)其進(jìn)行了近似分析. 這里研究較短的相互作用時(shí)間τ?? ， 因?yàn)樵搮^(qū)域是產(chǎn)生 BEC 間糾纏的最相關(guān)區(qū)域 ， 且適合近似分析.

首先， 當(dāng) N ?1時(shí) ， 可以將二項(xiàng)式系數(shù)近似為

（26）

可以看出 ， 只有在 ?? ? k1， k2 ?? +范圍內(nèi)的 Fock 項(xiàng) ， 其系數(shù)才有明顯的權(quán)重 ， 這也導(dǎo)致了波函數(shù)（21）系數(shù)產(chǎn)生了不均勻疊加.

如果總光子數(shù) Np ? 1 ， 可以進(jìn)一步對(duì)式（21）做斯特林（Stirling）近似[34] ， 可以得到高斯（Gauss）型函數(shù)

（27）

其中nc 是探測(cè)到的 c 光學(xué)模式下的光子數(shù). 在較短時(shí)間內(nèi) ， 事實(shí)上 ， 光子數(shù)大多集中在模式 c 上 ， 所以我們選取參數(shù)nc = Np， nd = 0. 從公式（27）可以明顯得到 ， 最大值發(fā)生在

（28）

由于余弦函數(shù)的振蕩性質(zhì) ， 它通常具有k1 ， k2的多個(gè)解.

事實(shí)上 ， 還可以直接對(duì)余弦函數(shù)進(jìn)行指數(shù)近似.此時(shí)不需要限定 Np ? 1 ， 只需保證時(shí)間較小即可 ， 便得到這樣的近似

（29）

綜合公式（26）和式（29）， 最終公式（21）的波函數(shù)近似為

（30）

該近似對(duì)于 N ?1， |τ| ?? ， |α|? 1有效.這里 ， N 是歸一化系數(shù) ， 為

此近似的概率分布為

其中， k1， k2是 2個(gè) BEC 在 Fock 態(tài)下的表示模式.從公式（32）可以看到， 糾纏脈沖在k1， k2兩個(gè)模式間產(chǎn)生了關(guān)聯(lián). 公式（32）的第一項(xiàng)是個(gè)對(duì)稱的非關(guān)聯(lián)高斯分布 ， 平均值?k1， k2?=? ， 標(biāo)準(zhǔn)差為; 第二項(xiàng)則產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)并導(dǎo)致了最后的糾纏. 也可以看到 ， k1 = k2的情況概率分布最明顯 ， 且關(guān)聯(lián)的強(qiáng)度和無量綱的時(shí)間τ以及光子數(shù)nc 有關(guān). 為了產(chǎn)生強(qiáng)關(guān)聯(lián) ， 式（30）表明， 相互作用時(shí)間τ應(yīng)該滿足

（33）

聯(lián)想到時(shí)間τ?? ， 可以得到關(guān)系式

所以， 這說明使用明亮的相干光 ， 可以幫助產(chǎn)生 BEC 之間的更強(qiáng)關(guān)聯(lián).

2? 結(jié)果與分析

在得到雙自旋糾纏態(tài)的波函數(shù)表達(dá)式（21）后 ， 對(duì)其概率密度分布進(jìn)行研究 ， 可以對(duì)其性質(zhì)有更好的認(rèn)識(shí). 另一方面 ， 通過施加馬爾可夫退相干作用 ， 研究該糾纏態(tài)在不同時(shí)間尺度下的行為特征及魯棒性， 這將有助于其在量子信息以及未來的量子計(jì)算方面的應(yīng)用.

2.1? 概率密度分布

圖 2給出了不同時(shí)間下的雙自旋糾纏態(tài)（公式（21））的概率密度分布.橫坐標(biāo)k1是第一個(gè) BEC 在 Fock 態(tài)下的表示模式 ， 縱坐標(biāo)k2是第二個(gè) BEC 在 Fock 態(tài)下的表示模式.通過概率分布 ， 可以直觀地分析2 個(gè) BEC 之間的關(guān)聯(lián)狀態(tài). 所采用的參數(shù)：原子數(shù) N =20; 光子數(shù)nc = 20; 光子數(shù)nd = 0; α= ?? ?=? .

從圖 2（a）可以看到 ， 在τ= 0時(shí) ， 概率分布呈現(xiàn)高斯分布 ， 且中心處于k1 = k2 =? .這是非常容易理解的：考慮到當(dāng)τ= 0時(shí) ， 沒有施加相互作用 ， 此時(shí)就是兩個(gè)自旋相干態(tài)（式（14））.該糾纏態(tài)繼續(xù)演化 ， 直到時(shí)間在圖 2（b）的τ=? 尺度時(shí) ， 明顯地觀察到壓縮現(xiàn)象 ， 方向沿著k1 = k2 ， 這完全符合公式（32）所表達(dá)的內(nèi)容.事實(shí)上 ， 圖 2（b）的概率分布和雙模壓縮態(tài)的概率分布是一致的 ， 這說明初始態(tài)經(jīng)過τ=? 的演變后 ， 已演變成雙模壓縮態(tài). 繼續(xù)增加時(shí)間τ ， 當(dāng)τ= 時(shí) （圖 2（c））， 此時(shí)觀察到更大程度的壓縮和更強(qiáng)的關(guān)聯(lián) ， 并在主關(guān)聯(lián)峰旁邊出現(xiàn)了兩個(gè)副關(guān)聯(lián)峰. 當(dāng)時(shí)間來到圖 2（d）的τ= 時(shí) ， 出現(xiàn)了更多的多關(guān)聯(lián)峰 ， 這意味著波函數(shù)出現(xiàn)了非高斯行為模式 ， 同時(shí)也意味著 Holstein-Primakoff （HP）近似的瓦解. 這足以體現(xiàn)本文采用的精確推導(dǎo)的方法的優(yōu)越性. 因?yàn)槲覀兛梢栽诟L(zhǎng)的時(shí)間下研究態(tài)的演化. 全面對(duì)比圖 2的4 幅圖 ， 不難看出 ， 單關(guān)聯(lián)峰和多關(guān)聯(lián)峰分布的分界線是在τ=? ， 即τ～級(jí)別上.

事實(shí)上 ， 之所以會(huì)出現(xiàn)多關(guān)聯(lián)峰 ， 這是由于公式（28）中三角函數(shù)的周期性引起的：由于 n 取值的多樣性（n =0， ±1， ±2， ±3， ·· ·）， 因此可以有多組 k1 ? k2滿足條件. 而對(duì)于時(shí)間分界線的出現(xiàn) ， 這可以從公式（26）得到解釋：由于只有在 ?? ? k1， k2 ?? +范圍內(nèi)的 Fock 項(xiàng) ， 其系數(shù)才有明顯的權(quán)重.所以此時(shí)便有k1 ? k2 ～? .從公式（28）容易看出， 只有當(dāng)時(shí)間τ～? ， 才會(huì)出現(xiàn)2τ（k1 ? k2）～nπ ， 此時(shí)多關(guān)聯(lián)峰效應(yīng)才開始顯著. 而在此之前 ， 則由于時(shí)間尺度太小 ， 超出了有效 Fock 態(tài)范圍 ， 因此呈現(xiàn)單關(guān)聯(lián)峰分布.

2.2? 馬爾可夫退相干

近似態(tài)（式（30））直觀展示出了2 個(gè) BEC 之間的糾纏 ， 然而這是沒有考慮任何耗散的理想情況. 接下來 ， 將要探究馬爾可夫退相干下糾纏態(tài)的演化 ， 該效應(yīng)會(huì)顯著影響原子系綜里糾纏的大小.抑制退相干影響的能力 ， 是衡量糾纏方案價(jià)值的有力標(biāo)準(zhǔn).在本文所述系統(tǒng)中 ， 退相干的物理來源是交流斯塔克（AC-Stark）效應(yīng)和文獻(xiàn)[35]所述的原子阱電流擾動(dòng). 退相干存在于任何系統(tǒng)中 ， 初始態(tài)密度矩陣可以寫成

（35）

作為一個(gè)通用的退相干模型 ， 對(duì)每個(gè)自旋態(tài)施加馬爾可夫退相干

（36）

這里考慮 j = z， x 的效應(yīng). Sz 退相干和 Sx 退相干是2種不同的退相干機(jī)制. 事實(shí)上 ， 由于林德布拉德（Lindblad）算符Sz 和 QND 哈密頓量對(duì)易 ， 我們可以在相互作用產(chǎn)生糾纏態(tài)后 ， 直接施加退相干效應(yīng) ， 這將仍然得到精確表達(dá)式.因此 ， 將馬爾可夫退相干直接應(yīng)用到波函數(shù)表達(dá)式（34）， 最終獲得Sz 退相干精確密度矩陣 ， 其表達(dá)式為

其中， N1 =? nc nd （τ） | nc nd （τ）?.

而對(duì)于Sx 退相干 ， 精準(zhǔn)的求解方式是解公式（36）.但是在較短的時(shí)間內(nèi) ， 可以做一種近似分析 ， 即在獲得波函數(shù)精確表達(dá)式（21）后 ， 在布洛赫（Bloch）球上對(duì)其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作 ， 然后施加Sz退相干作用.

事實(shí)上 ， 從一個(gè)（ S ? S ）哈密頓量開始計(jì)量糾纏 ， 最后施加Sx 退相干 ， 和從（ S ? S ）哈密頓量開始然后施加Sz退相干的方式是等價(jià)的.在Sy 基中 ， 對(duì)于公式（21）做一個(gè)角度的旋轉(zhuǎn) ， 最后乘上退相干表達(dá)式 e ?2Γτ [（k1?k ）2+（k2?k ）2]便可以得到 Sx退相干下的波函數(shù) ， 也即

（38）

其中， N2 =??k ，k? （τ） |?k ，k? （τ）?是歸一化因子. ?k|e ?iSy?? |k′?由

（39）

給出.

最后， 得到Sx退相干下的密度矩陣 ， 其表達(dá)式為

（40）

圖 3 給出了施加馬爾可夫退相干作用后， 不同退相干因子下， 歸一化糾纏值與時(shí)間的關(guān)系 ， 其中 Emax 由公式（42）給出. 所采用參數(shù)： 原子數(shù) N =20; 光子數(shù) nc = 20; 光子數(shù) nd = 0; α=? =? .

一般來說 ， 退相干會(huì)急速地破壞現(xiàn)有的糾纏. 對(duì)于純態(tài)來說 ， 馮·諾依曼熵（von Neumann entropy）可以很好地量化糾纏. 由于退相干的存在 ， 原有的糾纏態(tài)演變成混合態(tài) ， 更好的量化方式是對(duì)數(shù)負(fù)性[36-37]. 糾纏值的計(jì)算表達(dá)公式為

其中， ρT2是第二個(gè) BEC 的部分轉(zhuǎn)置. 可將糾纏值用最大糾纏值進(jìn)行歸一化 ， 即

（42）

在圖3中 ， 在Γ =0 時(shí) ， 糾纏展示出了一種魔鬼裂縫（devil’s crevasse）， 這和采用馮·諾依曼熵量化的糾纏所表現(xiàn)的行為相似.在文獻(xiàn)[38]中 ， 糾纏展示出了分形擾動(dòng) ， 且糾纏結(jié)構(gòu)圖的周期為 .考慮到哈密頓量的相似性 ， 這可以非常容易理解.注意到一個(gè)典型的時(shí)間τ=? ， 在該時(shí)間點(diǎn)之前 ， 糾纏線性增加 ， 在該時(shí)間點(diǎn)后 ， 糾纏展現(xiàn)出復(fù)雜的谷狀結(jié)構(gòu). 另一個(gè)特點(diǎn)是糾纏天花板 ， 這是由于二項(xiàng)式項(xiàng)不均勻疊加產(chǎn)生的 ， 它只包括中心在 k1， k2 =? 附近～ O（） 范圍的 Fock 項(xiàng). 因此限制了糾纏值并產(chǎn)生了糾纏天花板. 此外， 由于退相干效應(yīng) ， 歸一化糾纏值隨著退相干因子增加而變小.

為了研究糾纏的特性 ， 這里選擇了3 個(gè)典型的時(shí)間τ=? ，? ，?? . 圖4給出了Sz 和Sx 退相干方式下 ， 不同時(shí)間尺度糾纏值 E （公式 （41））與原子數(shù)的關(guān)系 .所采用參數(shù)：最大原子數(shù) Nmax =20;光子數(shù)nc = 20; 光子數(shù)nd = 0; α=? =? ;Γz，x = 0.1. 圖 5則給出了Sz 和Sx 退相干方式下 ， 不同時(shí)間尺度糾纏比 R （公式（43））與原子數(shù)的關(guān)系圖. 所采用參數(shù)：最大原子數(shù)Nmax =20; 光子數(shù) nc = 20; 光子數(shù)nd = 0; α=? =? .結(jié)合圖 4和圖 5， 很明顯地可以觀察到 ， 3種時(shí)間下糾纏行為差異十分顯著.

在圖4中 ， 圖4（a）代表Sz 退相干方式 ， 而圖4（b）代表Sx 退相干方式. 對(duì)于τ=? ， 糾纏值 E 與Γj = 0的情況對(duì)于原子數(shù) N具有相似的依賴. 并且在 N →∞ 時(shí) ， 糾纏比

（43）

趨向于1個(gè)常數(shù)（圖5（b））.隨著 N 增大， 由于相互作用門減小時(shí)間∝? .因此， 退相干能夠作用的時(shí)間也隨之減小 ， 兩者得以抵消.

在τ=? 時(shí) ， 圖 4中的糾纏逐漸增加.在圖5中 ， 對(duì)于Sz 退相干（ 圖5（a））， 糾纏比基本上是恒定的， 而對(duì)于Sx 退相干（ 圖5（b））， 在 N →∞ 時(shí) ， 糾纏比緩慢衰減到 R =0 .

關(guān)于時(shí)間τ= 的Sx 退相干 ， 糾纏迅速以～ e ?N2依賴衰減（ 圖4 （b））.對(duì)于Sx 退相干 ， 糾纏比也以指數(shù)形式衰減（圖5（b））.這種高斯依賴是薛定諤貓態(tài)在退相干下的典型特征. 事實(shí)上 ， 在τ= 時(shí) ， 波函數(shù)可以寫成

（44）

值得注意的是 ， 對(duì)于時(shí)間τ= 的Sz 退相干 ， 隨著原子數(shù) N 的增加 ， 糾纏比 R 先保持常量后增加.考慮到主方程（36）的退相干自由子空間 ， 可以很容易理解[39]. 這里退相只改變量子位的局部相位 ， 隨機(jī)相位并不會(huì)影響糾纏 ， 因?yàn)榱孔游恢g的糾纏早已建立.

總結(jié)上面的分析：對(duì)于所有的3 個(gè)相互作用時(shí)間 ， 在施加Sz退相干效應(yīng)時(shí) ， R 和 N 有這樣的關(guān)系其中， 0? q <1 ;而對(duì)于Sx 退相干， 3種時(shí)間尺度表現(xiàn)出不同的行為模式

其中 ， 0< q <1 ， a =0.95569， b =0.790911， c =2.18937， d =0.293331， h =4.26138. 這表明如果退相干和哈密頓量在對(duì)易基上相互作用（Sz 退相干）， 2個(gè) BEC 之間的糾纏可以足夠穩(wěn)定 ， 即使 N 非常大 ， 依舊如此. 綜合兩種退相干方式 ， 對(duì)于較短的時(shí)間尺度τ～? ， 糾纏對(duì)于退相干表現(xiàn)得足夠穩(wěn)定. 對(duì)于更長(zhǎng)的時(shí)間尺度τ～ O （1） ， 由于薛定諤貓態(tài)的出現(xiàn) ， 糾纏態(tài)會(huì)變的非常脆弱.這兩種截然不同行為的分界時(shí)間線是τ～? .這說明 ， 當(dāng)τ?時(shí) ， 糾纏態(tài)足夠穩(wěn)定并且適合實(shí)驗(yàn)觀測(cè).

可以看到 ， 對(duì)于Sz 退相干和Sx 退相干 ， 其行為表現(xiàn)存在著顯著差異. 這的確是2 種不同的退相干方式.上述已經(jīng)介紹了2 種退相干方式密度矩陣來源的不同.這里有必要其物理來源做出進(jìn)一步的解釋 .事實(shí)上 ， 這是源于不同的自旋算符對(duì)于 Fock 態(tài)具有不同的作用形式 ， 即

（47）

此處 Fock 態(tài)是 Sz算符的本征態(tài). 容易看到 ， Sz算符不會(huì)對(duì) Fock 態(tài)有移位作用 ， 而Sx退相干則會(huì)對(duì) Fock 態(tài)產(chǎn)生移位作用（|k +1? ， |k ?1?）， 因此必然會(huì)造成退相干密度矩陣的不同. 這也最終導(dǎo)致了 Sx 退相干和Sz 退相干下， 該雙自旋糾纏態(tài)的不同行為表現(xiàn).

3? 結(jié)論

本文主要研究了玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)間的光學(xué)介導(dǎo)糾纏 ， 在馬赫曾德干涉儀光路下， 利用光和原子的干涉 ， 通過精確推導(dǎo) ， 得到了具體的波函數(shù). 并進(jìn)一步研究了其在不同時(shí)間下的概率分布.發(fā)現(xiàn)在較短的時(shí)間范圍內(nèi) ， 該糾纏態(tài)呈現(xiàn)明顯的壓縮效應(yīng) ， 而當(dāng)時(shí)間τ= 時(shí) ， 出現(xiàn)了很多的關(guān)聯(lián)峰 ， 這表明非高斯行為的出現(xiàn). 這種現(xiàn)象出現(xiàn)的原因 ， 是由于公式（28）中三角函數(shù)的周期性導(dǎo)致的.且出現(xiàn)單關(guān)聯(lián)峰和多關(guān)聯(lián)峰分布的分界線是在 τ= 即 τ～級(jí)別上 .這是由于二項(xiàng)式系數(shù)限制了有效Fock 態(tài)范圍 ? ?k1 ， k2 ?? + ， 同時(shí)在公式（28）的多關(guān)聯(lián)峰公式的雙重作用下 ， 導(dǎo)致了只有τ ～1/才開始觀察到多關(guān)聯(lián)峰. 本文還研究了在馬爾可夫退相干作用下 ， 糾纏態(tài)在不同時(shí)間下的魯棒性. 發(fā)現(xiàn)對(duì)于較短的時(shí)間尺度τ～ 1/N ， 退相干對(duì)于糾纏態(tài)的影響較弱. 對(duì)于更長(zhǎng)的時(shí)間尺度τ ～ O （1） ， 由于薛定諤貓態(tài)的出現(xiàn) ， 糾纏態(tài)會(huì)變得非常脆弱. 這兩種截然不同行為的分界時(shí)間線是τ ～? .對(duì)于Sz 退相干和Sx 退相干 ， 其行為模式差異顯著 ， 這是由不同的自旋算符對(duì) Fock 態(tài)具有不同的作用形式而導(dǎo)致的.本文工作可為量子測(cè)量和量子計(jì)算提供一種可靠的糾纏來源 ， 并通過對(duì)退相干的探究， 促進(jìn)相應(yīng)量子技術(shù)的發(fā)展.

[參考文獻(xiàn)]

[1] NIELSEN M A， CHUANG I L. Quantum Computation and Quantum Information [M]. 10th Anniversary ed. [S.l.]： CambridgeUniversity Press， 2011.

[2] HORODECKI R， HORODECKI P， HORODECKI M， et al. Quantum entanglement [J]. Reviews of Modern Physics， 2009， 81（2）：865.

[3] BENNETT C H， BRASSARD G， CRéPEAU C， et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels [J]. Physical Review Letters， 1993， 70（13）：1895-1899.

[4] EKERT A K. Quantum cryptography based on Bell’s theorem [J]. Physical Review Letters， 1991， 67（6）：661.

[5] BYRNES T， ROSSEAU D， KHOSLA M， et al. Macroscopic quantum information processing using spin coherent states [J]. OpticsCommunications， 2015， 337：102-109.

[6] BYRNES T， WEN K， YAMAMOTO Y. Macroscopic quantum computation using Bose-Einstein condensates [J]. Physical Review A，2012， 85（4）：4233-4237.

[7] GROVER L K. Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack [J]. Physical Review Letters， 1997， 79（2）：325.

[8] FADEL M， ZIBOLD T， DéCAMPS B， et al. Spatial entanglement patterns and Einstein-Podolsky-Rosen steering in Bose-Einsteincondensates [J]. Science， 2018， 360（6387）：409-413.

[9] KUNKEL P， PRüFER M， STROBEL H， et al. Spatially distributed multipartite entanglement enables EPR steering of atomic clouds[J]. Science， 2018， 360（6387）：413-416.

[10] LANGE K， PEISE J， LüCKE B， et al. Entanglement between two spatially separated atomic modes [J]. Science， 2018， 360（6387）：416-418.

[11] BYRNES T， ILO-OKEKE E O. Quantum Atom Optics： Theory and Applications to Quantum Technology [M]. [S.l.]： CambridgeUniversity Press， 2021.

[12] GROSS C. Spin squeezing， entanglement and quantum metrology with Bose-Einstein condensates [J]. Journal of Physics B， 2012，45（10）：103001.

[13] S?RENSEN A， DUAN L M， CIRAC J I， et al. Many-particle entanglement with Bose–Einstein condensates [J]. Nature， 2001， 409（6816）：63-66.

[14] MACHIDA S， YAMAMOTO Y， ITAYA Y. Observation of amplitude squeezing in a constant-current –driven semiconductor laser [J].Physical Review Letters， 1987， 58（10）：1000-1003.

[15] WU L A， KIMBLE H J， HALL J L， et al. Generation of squeezed states by parametric down conversion [J]. Physical Review Letters，1986， 57（20）：2520-2523.

[16] SLUSHER R E， HOLLBERG L W， YURKE B， et al. Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an opticalcavity [J]. Physical Review Letters， 1985， 55（22）：2409-2412.

[17] BREITENBACH G， SCHILLER S， MLYNEK J. Measurement of the quantum states of squeezed light [J]. Nature， 1997， 387（6632）：471-475.

[18] MACOMBER J D， LYNCH R. Squeezed spin states [J]. The Journal of Chemical Physics， 1985， 83（12）：6514-6519.

[19] WALLS D F， ZOLLER P. Reduced quantum fluctuations in resonance fluorescence [J]. Physical Review Letters， 1981， 47（10）：709-711.

[20] WODKIEWICZ K， EBERLY J H. Coherent states， squeezed fluctuations， and the? SU（2） am? SU（1，1） groups in quantum-opticsapplications [J]. Journal of the Optical Society of America B， 1985， 2（3）：458-466.

[21] KITAGAwA M， UEDA M. Squeezed spin states [J]. Physical Review A， 1993， 47（6）：5138-5143.

[22] MUESSEL W， STROBEL H， LINNEMANN D， et al. Scalable spin squeezing for quantum-enhanced magnetometry with Bose-Einsteincondensates [J]. Physical Review Letters， 2014， 113（10）：103004.

[23] HALD J， S?RENSEN J L， SCHORI C， et al. Spin squeezed atoms： A macroscopic entangled ensemble created by light [J]. PhysicalReview Letters， 1999， 83（7）：1319-1322.

[24] NAVARRETE-BENLLOCH C . Quantum information with continuous variables [M]// An Introduction to the Formalism of QuantumInformation with Continuous Variables.[S.l]：[s.n.]， 2015.

[25] MOXLEY F， DOWLING J， DAI W， et al. Sagnac interferometry with coherent vortex superposition states in exciton-polaritoncondensates [J]. Physical Review A， 2016， 93：053603.

[26] HILLERY M. Quantum cryptography with squeezed states [J]. Physical Review A， 2000， 61（2）：022309.

[27] BONDURANT R S， SHAPIRO J H. Squeezed states in phase-sensing interferometers [J]. Physical Review D Particles & Fields， 1984，30（12）：2548-2556.

[28] BREUER H P， PETRUCCIONE F. The Theory of Open Quantum Systems [M].[S.l.]： Oxford University Press， 2002.

[29] REICHEL J， VULETIC V. Atom Chips [M].[S.l.]： John Wiley & Sons， 2011.

[30] WHITLOCK S， GERRITSMA R， FERNHOLZ T， et al. Two-dimensional array of microtraps with atomic shift register on a chip [J].New Journal of Physics， 2009， 11（2）：023021.

[31] ABDELRAHMAN A， MUKAI T， H?FFNER H， et al. Coherent all-optical control of ultracold atoms arrays in permanent magnetictraps [J]. Optics Express， 2014， 22（3）：3501-3513.

[32] B?HI P， RIEDEL M F， HOFFROGGE J， et al. Coherent manipulation of Bose –Einstein condensates with state-dependent microwavepotentials on an atom chip [J]. Nature Physics， 2009， 5（8）：592-597.

[33] RIEDEL M F， B?HI P， LI Y， et al. Atom-chip-based generation of entanglement for quantum metrology [J]. Nature， 2010， 464（7292）：1170-1173.

[34] ILO-OKEKE E O， BYRNES T. Information and backaction due to phase-contrast-imaging measurements of cold atomic gases： BeyondGaussian states [J]. Physical Review A， 2016， 94（1）：013617.

[35] LONE M Q， BYRNES T. Suppression of the ac-Stark-shift scattering rate due to non-Markovian behavior [J]. Physical Review A，2015， 92（1）：011401.

[36] VIDAL G， WERNER R F. Computable measure of entanglement [J]. Physical Review A， 2002， 65（3）：032314.

[37] PLENIO M B. Logarithmic negativity： A full entanglement monotone that is not convex [J]. Physical Review Letters， 2005， 95（9）：090503.

[38] BYRNES T. Fractality and macroscopic entanglement in two-component Bose-Einstein condensates [J]. Physical Review A， 2013，88（2）：023609.

[39] LIDAR D A， WHALEY K B. Decoherence-free subspaces and subsystems [M]// Irreversible Quantum Dynamics， Lecture Notes inPhysics， vol 622. Berlin： Springer， Berlin， 2003：83-120.

（責(zé)任編輯：李藝）