雙色光絕熱冷卻原子數(shù)值優(yōu)化的研究

錢晨揚 董光炯

摘要： 雙色光絕熱冷卻原子方法是近年來發(fā)展出的一種不需要依靠自發(fā)輻射的激光冷卻方法 ， 然而效率不高.通過數(shù)值模擬方法優(yōu)化了雙色光絕熱冷卻的過程 ， 發(fā)現(xiàn)存在最佳的雙色光場脈沖時間從而獲得最佳冷卻效果;比較了使用高斯光脈沖和方脈沖這兩種脈沖的冷卻效果 ， 發(fā)現(xiàn)脈沖形式對冷卻效果無顯著影響. 由于該數(shù)值模擬方法依賴于光場-原子系統(tǒng)的絕熱演化 ， 數(shù)值研究表明 ， 降低原子束的速度能夠提高冷卻效果.最后研究了自發(fā)輻射對雙色光絕熱的影響 ， 發(fā)現(xiàn)在脈沖時間較長時自發(fā)輻射會降低冷卻效果.

關鍵詞：雙色光絕熱冷卻; ?冷原子;? 光力

中圖分類號： O439??? 文獻標志碼： A??? DOI：? 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.015

Numerical optimization of bichromatic adiabatic cooling

QIAN Chenyang，? DONG Guangjiong

（State Key Laboratory of Precision Spectroscopy， East China Normal University， Shanghai? 200214， China）

Abstract： In recent years， a new laser cooling method—named bichromatic adiabatic cooling—has been developed; however， the method offers low cooling efficiency. In this paper， numerical optimization of the bichromatic adiabatic cooling process has been performed. It is shown that there is an optimal pulse time for the optical fields to achieve the highest cooling efficiency. Moreover， a comparison of the cooling efficiency with the Gaussian light pulse and square pulse shows that the cooling efficiency is insensitive to the pulse shape. Because this cooling method relies on adiabatic evolution of the light field-atom system， it is shown that it is better to slow the speed of the atomic beam to maintain the adiabatic condition. Finally， the effect of spontaneous emission on bichromatic adiabatic cooling is studied. The results show that use of a long pulse significantly reduces cooling efficiency.

Keywords： bichromatic adiabatic cooling;? cold atom;? optical force

0? 引言

利用激光光場降低原子分子氣體溫度的激光冷卻技術能夠把堿金屬原子氣體等降低到微開甚至納開的量級[1-2] ， 這為實現(xiàn)玻色-愛因斯坦凝聚[3]與費米子簡并系統(tǒng)[3]開辟了道路 ， 并由此發(fā)展出了基于物質(zhì)波光學的精密測量技術[4]以及量子仿真平臺[4]. 然而 ， 除少數(shù)原子之外 ， 元素周期表上的大部分原子都無法被激光冷卻[5].為解決該問題 ， 文獻[6]提出了雙色光絕熱冷卻技術. 該技術利用原子氣體與雙色光場體系的絕熱能級交叉處的朗道塞納隧穿效應[7] ， 把原子氣體的動能轉(zhuǎn)移到雙色光場 ， 從而在脈沖光場關閉后顯現(xiàn)原子氣體的冷卻現(xiàn)象[7]. 該原理已被實驗證實[7] ， 這種冷卻技術不依賴閉合的能級循環(huán) ， 具有一定的普適性;然而它的冷卻效率比現(xiàn)有的其他冷卻方法[5]的效率低 ， 需要在理論上進一步探索其理論機制并優(yōu)化提高冷卻效果.為此， 本論文通過數(shù)值模擬的方式來優(yōu)化雙色光絕熱冷卻過程， 并探究光脈沖長度、原子氣體中心速度與自發(fā)輻射對于雙色光絕熱冷卻效率的影響.

本文后續(xù)結構：第1章介紹雙色光絕熱冷卻的理論模型和所使用的數(shù)值計算方法;第2章開展雙色光絕熱冷卻的優(yōu)化研究;第3章總結全文.

1? 雙色光絕熱冷卻的理論模型

本文雙色光絕熱冷卻的理論模型如圖? 1所示： 1個共振頻率為！a 的二能級原子受到頻率為！b 和！r 的2個光學駐波的作用 ， 駐波由1組相反傳播的光束相互干涉形成.把向右傳播的光場的波矢量記為 kb 與 kr ， 光的電場記為"b 與"r .這兩束光分別是藍失諧光和紅失諧光 ， 它們的頻率分別表示為， 其中為失諧量.

原子氣體中單個原子的哈密頓量由原子的自由哈密頓量H?0（r） （r 為以原子為中心的坐標）和雙色光場與原子相互作用的哈密頓量H?AL 構成 ， 即

其中

其中， Z 為實驗室地面坐標? r ;? b 是相位， d?（r）是電偶極子算符.

在以原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)構成的希爾伯特空間中 ， 哈密頓量的矩陣表示為

其中

且

其中， |e（r）?為能收原子的激發(fā)態(tài) ， |g（r）?為能收原子的基態(tài).

把原子的密度矩陣記為? ， 它滿足的海森堡運動方程為

其中， 衰減系數(shù)的矩陣將矩陣形式的哈密頓量式（3）代入運動方程（5）得到

其中

在模擬中， 根據(jù)文獻[ 7]的實驗 ， 本文使用高斯光脈沖進行模擬. 紅失諧與藍失諧光場的電場形式為

其中 ， t 為時間 ， th為光場強度達到最大值的時間 ，? 為高斯脈沖的 e–1 寬度 ， "0為高斯光脈沖峰值處的電場強度. 單個原子在光場中受到的外力為 F（Z）= ?Tr[??ZH?AL];利用公式（4）可得

進一步根據(jù)牛頓第二定律 ， 這個原子的速度v（t）滿足運動方程

利用公式（6）和公式（11）來研究冷卻過程 ， 對原子氣體內(nèi)每個原子的運動狀態(tài)作數(shù)值計算.具體的數(shù)值計算過程如下.

構造 1個由大量原子組成的原子氣體 .每個原子在初始情況下各個密度矩陣元的值為 gg （0）= 1; ee （0）=? ge （0）=? eg （0）= 0.

在數(shù)值模擬中 ， 取1 個很小的時間間隔?T ， 令Tn+1 =（n +1）?T ， 通過運動方程公式（11）可以近似得到Tn+1時刻的原子速度的近似計算公式 ， 具體為

通過速度公式（12）計算出Tn+1時刻的原子位置

接下來利用Tn時刻該原子的密度矩陣 ， 通過龍格庫塔法[8]求解方程組（6） ， 得到該原子在Tn+1時刻的密度矩陣?（Tn+1）. 通過數(shù)值演化的方式 ， 由Tn時刻的原子速度、位置和密度矩陣得到Tn+1時刻的原子速度、位置和密度矩陣. 通過該方法對原子的初始速度進行數(shù)值演化 ， 能夠得到該原子速度的時間演化過程.最后對原子氣體中的每一個原子都做上述數(shù)值演化 ， 得到原子氣體中每個原子的速度隨時間的演化 ， 并以此獲得原子氣體內(nèi)原子的速度分布隨時間的演化.

在文獻[? 7]中 ， 光場參數(shù)?0被定義為?0 = d（r）· "0/?. 在原子氣體的電偶極矩確定的情況下 ， 該參數(shù)能夠反映冷卻光場電場強度的大小. 根據(jù)文獻[? 7]對光場參數(shù)?0的優(yōu)化結果 ， 在數(shù)值模擬中 ， 本文將光場的電場強度以及空間相位設定為與雙色光場冷卻 He 原子氣體的實驗一致[7] ， 令光場參數(shù)?0和公式（7）中的變量、為?0 =36 MHz; =π/4;? =25 MHz：

2? 雙色光絕熱冷卻原子的數(shù)值研究

本文針對文獻[? 7]所使用的 He 原子開展了絕熱冷卻的數(shù)值優(yōu)化研究. 在模擬中 ， 選用40萬個二能級 He 原子 ， 所使用的二能級為原子的23S 與33P 能級 ， 能級之間的躍遷波長為389 nm.原子氣體的初始速度分布為在–15 m/s 至15 m/s 范圍內(nèi)的均勻分布.原子氣體的初始位置分布為一個空間寬度為 500μm 的均勻分布.數(shù)值模擬的雙色光場為失諧量=25 MHz， ?0 =36 MHz ， He 原子的自發(fā)輻射率為? =3：85× 106/s .

2.1? 雙色光場冷卻 He 原子氣體的數(shù)值模擬結果與實驗冷卻結果的比較

本文先模擬了文獻[? 7]的實驗結果. 文獻[? 7]實驗中使用的光脈沖其電場形式見公式（9）.在模擬中， 根據(jù)文獻[? 7]中的 =380 ns （ 為高斯脈沖的 e? 1寬度）， 將該光場電場形式（公式（9））代入公式（2）的哈密頓量 ， 并通過第1 章中公式（1）–公式（13）的數(shù)值模擬方法 ， 計算出雙色光冷卻完成后的 He 原子氣體速度分布. 將–13 m/s 至13 m/s 的速度區(qū)間平均分為800個小的速度區(qū)間 ， 設定每個速度區(qū)間的寬度為0.0325 m/s， 計算每個速度區(qū)間內(nèi) He 原子在受到光場作用之后和作用之前數(shù)量的比值. 該原子數(shù)量比值可以反映原子在某些特定速度區(qū)域內(nèi)的聚集情況 ， 比值越大 ， 說明聚集情況越明顯 ， 冷卻效果越好.

圖?? 2（a）為考慮自發(fā)輻射對雙色光場冷卻 He 原子氣體的實驗進行數(shù)值模擬的結果：原子氣體速度（v）分布出現(xiàn)了在速度4 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值為1.21.??? 圖?? 2（b）為雙色光冷卻 He 原子氣體實驗中所得到的結果：原子氣體速度分布出現(xiàn)了在速度5 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值為1.02.

從圖?? 2（a）與圖?? 2（b）的結果來看 ， 雖然聚集的程度不同 ， 但原子氣體速度分布都出現(xiàn)了往4 m/s 至5 m/s 附近區(qū)域聚集的情況 ， 數(shù)值模擬的結果與實驗結果相似.

2.2? 雙色光作用時長與雙色光場脈沖形狀對于冷卻效果的影響

本文首先研究光場脈沖長度與脈沖形狀對雙色光絕熱冷卻的影響. 雙色光場的失諧量依舊為 =25 MHz， ?0 =36 MHz .改變高斯脈沖的 e–1 寬度來比較不同作用時間對冷卻效果的影響.?? 圖? 3為不同高斯脈沖的 e–1 寬度（ ） 下數(shù)值模擬的結果.?? 圖? 3中的4 條線分別為 =55 ns， 110 ns， 220 ns， 440 ns 的雙色光場高斯脈沖作用于 He 原子氣體后的數(shù)值模擬結果.當 = 55 ns 時 ， 原子氣體速度分布出現(xiàn)了在速度–7.6 m/s 和3.4 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值分別為1.23和 1.27;當 = 110 ns 時， 原子氣體速度分布出現(xiàn)了在速度–7.5 m/s、3.6 m/s 和11.8 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值分別為1.39、1.40和 1.25;當 = 220 ns 時 ， 原子氣體速度分布出現(xiàn)了在速度–7.5 m/s 和3.7 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值分別為1.08和 1.25;當 = 440 ns 時 ， 原子氣體速度分布出現(xiàn)了在速度 4 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值為1.21.由于圖3 中各圖的 v 分布都在3.8 m/s 附近的區(qū)域有聚集現(xiàn)象 ， 因此 ， 可通過比較各個作用時間下該區(qū)域的聚集現(xiàn)象來判斷雙色光場對原子氣體的冷卻效果.通過比較各個模擬結果 ， 本文發(fā)現(xiàn) ， 高斯脈沖的 e–1 寬度不同 ， 原子氣體在 v =3.8 m/s 附近的區(qū)域的聚集程度不同.? 圖? 4為不同 e–1 寬度的高斯脈沖雙色光作用在 He 原子氣體上后 ， 原子氣體在 v =3.8 m/s 附近區(qū)域聚集處的原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值 ， 該比值在 =104 ns 時達到最大值1.46.這說明 ， 當使用 =103 ns 的雙色光高斯脈沖冷卻 He 原子氣體時 ， 雙色光絕熱冷卻的效果最好.通過該模擬的方法 ， 能找到最佳的高斯脈沖的 e–1 寬度 ， 使得原子在該區(qū)間的聚集程度最大、雙色光絕熱冷卻的效果最佳.這說明本文的數(shù)值模擬方法可以幫助尋找最佳的作用時間 ，

接下來進一步研究脈沖形狀對雙色光絕熱冷卻的影響. 本文數(shù)值計算了雙色方脈沖形狀對冷卻效果的影響. 方脈沖光場下紅失諧與藍失諧光場的電場形式為

其中 ， tmax為方脈沖寬度. 利用公式（14）替換數(shù)值模擬中的公式（9）， 再進行數(shù)值模擬 ， 能夠得到方脈沖作用下原子氣體被冷卻的結果.?? 圖? 5為不同寬度的方脈沖雙色光場作用在 He 原子氣體上后 ， 原子氣體在速度3.8 m/s 附近區(qū)域聚集的原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值. 在方脈沖寬度為209時 ， 該比值達到最大為1.46.與高斯脈沖相比（? 圖? 4）沒有區(qū)別 ， 因此這個絕熱方法對脈沖形狀不敏感.

2.3? 原子氣體中心速度對于冷卻效果的影響

原子氣體的中心速度會影響冷卻效果.? 圖 ?6表示的是不同中心速度的原子氣體被 =110 ns 的高斯脈沖冷卻的結果.?? 圖? 6（a）的原子氣體的中心速度為0 m/s， 原子氣體速度（v）分布出現(xiàn)了在速度? –7.5 m/s、3.6 m/s、11.8 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值分別為1.39、1.40、1.27.? 圖? 6（b）的原子氣體中心速度為30 m/s， 原子氣體速度分布出現(xiàn)了在速度–20.2 m/s、24.3 m/s、30.4 m/s 附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象 ， 在聚集處 ， 原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值分別為1.29、1.2、1.27.? 圖? 6（c）和圖? 6（d）中 ， 原子氣體的中心速度分別為50 m/s 和100 m/s， 在這2 幅圖中觀察不到原子聚集的現(xiàn)象. 比較圖? 6（a）至圖? 6（d）這 4幅圖 ， 可以發(fā)現(xiàn) ， 隨著原子中心速度的增加 ， 原子向某一速度附近區(qū)域聚集的現(xiàn)象不斷減弱 ， 說明雙色光絕熱冷卻適用于氣體內(nèi)原子中心速度較低的原子氣體.這是因為這個冷卻方法要求原子光場相互作用系統(tǒng)絕熱演化 ， 當原子氣體速度太快時 ， 該過程將變?yōu)橐粋€非絕熱過程從而使得冷卻無法正常進行 ， 因此在冷卻前需要降低原子束速度.

2.4? 自發(fā)輻射對雙色光絕熱冷卻效果的影響

文獻[ 7]認為 ， 當雙色光場的作用時間較長時 ， 原子的自發(fā)輻射會降低雙色光絕熱冷卻的效果.本節(jié)在數(shù)值模擬時不考慮自發(fā)輻射研究自發(fā)輻射對雙色光絕熱冷卻的影響.?? 圖? 7為不同高斯脈沖 e–1 寬度（ ）的雙色光場作用在 He 原子氣體上后 ， 原子氣體在原子氣體速度 v =3.8 m/s 附近區(qū)域聚集的原子數(shù)量與冷卻前的原子數(shù)量比值 ， 其中 ， 實線為考慮自發(fā)輻射的數(shù)值模擬結果 ， 虛線為不考慮自發(fā)輻射的數(shù)值模擬結果.從圖? 7看出 ， 當光場的作用時間較短時 ， 由于原子的自發(fā)輻射次數(shù)較少 ， 自發(fā)輻射對于冷卻效果的影響不明顯;當光場的作用時間變長時 ， 自發(fā)輻射顯著降低冷卻效果.本文認為產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因類似于多普勒冷卻極限產(chǎn)生的原因：由于自發(fā)輻射出的光子方向不可控使得被雙色光場聚集在某一速度區(qū)域附近的原子被隨機加速或者減速 ， 造成了聚集效果的下降.

3? 總結

本文研究了雙色高斯光脈沖時間長度對絕熱冷卻效果的影響 ， 發(fā)現(xiàn)存在一個最佳的雙色光場作用時間使得雙色光絕熱冷卻的效果最佳;比較了雙色高斯光脈沖和雙色方光脈沖對絕熱冷卻的影響 ， 發(fā)現(xiàn)在冷卻效率上沒有顯著差異. 此外 ， 由于雙色光絕熱冷卻過程需要原子氣體與雙色光場體系的絕熱演化 ， 本文模擬發(fā)現(xiàn) ， 雙色光絕熱冷卻的方法更適合冷卻中心速度較低的原子氣體 ， 因此原子束需要減速.在雙色光場作用時間較長時 ， 自發(fā)輻射顯著降低冷卻效果.這是由于自發(fā)輻射出的光子方向不可控， 使得被雙色光場聚集在某一速度區(qū)域附近的原子被隨機加速或者減速 ， 造成了聚集效果下降.

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（責任編輯：李藝）