等離子體包圍的球?qū)ΨQ黑洞解

李強(qiáng) 王燾

摘要： 考慮靜態(tài)、球?qū)ΨQ的情況 ， 對等離子體包圍的黑洞外部解進(jìn)行了細(xì)致研究.在給出基本方程之后 ， 分別求出了在gttgrr =? 1和 p =0 兩種近似條件下對應(yīng)的解析解. 與精確數(shù)值解進(jìn)行了比較 ， 發(fā)現(xiàn)前一種近似條件下的解析解更接近精確數(shù)值解.這為在等離子體包圍的情況下計算黑洞擾動的似正規(guī)模 ， 以及研究黑洞陰影和光子環(huán)提供了依據(jù).

關(guān)鍵詞：黑洞解;? 廣義相對論;? 黑洞陰影

中圖分類號： O412.1??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.013

Spherically symmetric solutions for a black hole surrounded by plasma

LI Qiang，? WANG Tao

（School of Physics and Electronic Science， East China Normal University， Shanghai? 200241， China）

Abstract： In this paper， the exterior solution for a spherically symmetric black hole surrounded by plasma is studied in detail. After deriving the fundamental governing equations， the analytic solutions under two approximate? conditions，? gttgrr =? 1 and p =0 ，? are? investigated. Comparing? the? two? results? with? the accurate numerical solution， we find that the former approximation offers superior accuracy. This provides a basis for studying the quasinormal modes of perturbations as well as the shadow and ring when the black hole is surrounded by plasma.

Keywords： black hole solutions;? general relativity;? shadow of black hole

0? 引言

在研究許多物理問題的時候 ， 如計算黑洞擾動的似正規(guī)模時、研究黑洞陰影和光子環(huán)時 ， 都需要先知道度規(guī)的解析表達(dá)式.在真空中 ， 球?qū)ΨQ的黑洞可以用史瓦西解來描述.在非真空的情況下 ， 如黑洞周圍有暗物質(zhì)時 ， 史瓦西解則只能描述黑洞的內(nèi)部 ， 不能精確地描述黑洞的外部.這是因?yàn)?， 黑洞外部的暗物質(zhì)改變了黑洞外部的引力場 ， 從而改變了黑洞外部的度規(guī). 近些年來 ， 關(guān)于暗物質(zhì)包圍的黑洞解的研究已經(jīng)取得了較大的進(jìn)展[1-2] ， 這些解的具體形式都取決于暗物質(zhì)的密度分布和狀態(tài)方程.

黑洞在形成和生長的過程中 ， 吸積盤中會留下大量的等離子體 ， 所以天體物理中的黑洞絕大多數(shù)都是被等離子體包圍的.由于等離子體的密度分布不同于暗物質(zhì)的密度分布 ， 可以推斷 ， 相應(yīng)的外部解也不相同.目前 ， 關(guān)于等離子體包圍的黑洞解還未見相關(guān)研究的報道.本文考慮靜態(tài)并且球?qū)ΨQ的情況 ， 采用解析和數(shù)值兩種手段 ， 求出等離子體包圍的黑洞外部解.在實(shí)際應(yīng)用中 ， 這種解可以近似地描述具有幾何厚光學(xué)薄的熱盤[3]、旋轉(zhuǎn)較慢的黑洞的外部時空.

本文后續(xù)內(nèi)容安排：第 1章列出靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)應(yīng)滿足的引力場方程 ， 并將它們整理成便于求解的形式;第 2章給出等離子體的密度分布 ， 并求出一部分度規(guī)分量的解析表達(dá)式;第 3章采用兩種不同的近似條件 ， 求出剩余度規(guī)分量的解析表達(dá)式 ， 然后用數(shù)值方法得出精確解的函數(shù)圖像;第 4章是討論與展望.

為了使表述簡明 ， 本文約定光速c =1 ， 黑洞內(nèi)部由質(zhì)量為 M 的史瓦西解來描述 ， 對應(yīng)的視界半徑記為rg = 2GM ， 其中 G 為萬有引力常數(shù).

1? 一般方程

本文考慮質(zhì)量為 M 的黑洞外部分布有密度為ρ（r）、壓強(qiáng)為p （r）的等離子體 ， 并假設(shè)等離子體是靜態(tài)的、球?qū)ΨQ分布的理想流體.那么 ， 黑洞外部的度規(guī)也是靜態(tài)的、球?qū)ΨQ的 ， 它的一般形式可以由線元

來描述.式 （1）中r ? rg .該度規(guī)包含2個未知函數(shù)α（r）和β（r） ， 它們必須滿足引力場方程（為使方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔 ， a（r）、b（r）用 a、b 表示， 下同）

在以上4 個方程中 ， 方程（2）只包含1 個未知函數(shù)β（r） ， 并且是一階微分方程. 可將它直接積分 ， 從而得到

其中， m （r）的表達(dá)式為

將式（5）代入式（3）、式（4）， 聯(lián)立消去p ， 可以得到α（r）滿足的方程 ， 具體為（為使數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔 ， 用 m 表示 m（r）， 下同）

?α +（?rα）2+ 3Gm ?4πGr3ρ? r?rα+ 3Gm ?4πGr3ρ= 0.?? （7）

原則上 ， 只要知道密度函數(shù)ρ（r） ， 就能根據(jù)式（6）計算出m （r） ， 然后再分別求解出式（5）的β（r）

和式（7）的α（r）. 當(dāng)然 ， 其結(jié)果往往無法用解析函數(shù)表達(dá)出來.

2? 等離子體包圍的黑洞

在黑洞外部r ? rg ， 取等離子體密度函數(shù)為[4]

其中 ， γ= 是一個無量綱常數(shù) ， 它正比于黑洞質(zhì)量吸積率M_A ， 后者不依賴于r .本文考慮靜態(tài)近似的情況 ， 即忽略M_A 隨時間t 的緩慢變化. 將式（8）代入式（6）， 積分后得

再將式（9）這個結(jié)果代入式（5）， 得到度規(guī)分量grr = e2 的表達(dá)式

與之對應(yīng)有兩個視界 ， 由 →0給出：一個是黑洞視界r = rg ;另一個是宇宙視界

對于式（8）給出的密度函數(shù) ， 式（5）是可積的 ， 所以β（r）有解析表達(dá)式;但是式（7）卻沒有解析解 ， 即α （r）沒有解析表達(dá)式. 為了得到實(shí)用的解析解 ， 可以不要求式（7）嚴(yán)格成立 ， 而是用某個近似條件代替它 ， 從而得到α（r）的解析近似表達(dá)式. 本文將研究以下兩類近似條件.

1）許多球?qū)ΨQ黑洞解都滿足gttgrr = ?1 ， 即α+ β= 0. 在給定密度函數(shù)ρ（r）后 ， 文獻(xiàn)[1，5]利用這一條件得到了暗物質(zhì)包圍的黑洞解.在 3.1節(jié) ， 本文將用α+ β= 0代替式（7）， 給出相應(yīng)的α（r）的解析近似表達(dá)式.

2）將式（5）代入式（3）， 可以得到α（r）的另一個表達(dá)式

它不僅與密度 ρ（r）有關(guān) ， 還依賴于壓強(qiáng) p （r）. 在已知密度函數(shù)ρ （r）的情況下 ， 如果不要求式 （7）嚴(yán)格成立 ， 而是根據(jù)實(shí)際情況寫出一個合理的狀態(tài)方程或者壓強(qiáng)函數(shù) p （r） ， 就有希望將式（12）積分 ， 得到α（r）的解析近似表達(dá)式.例如 ， 對于低溫等離子體[4] ，? ?1 ， 可以取p （r）= 0進(jìn)行解析計算.這是3.2節(jié)將要研究的內(nèi)容.

為了精確地比較這兩個解析近似解 ， 先定義一個新的函數(shù)

然后利用式（2）和式（7）， 推導(dǎo)出σ滿足的方程

將式（2）、式（3）兩式求和 ， 可以得到狀態(tài)方程參數(shù)w =? 的表達(dá)式

在3.3節(jié) ， 將求出式 （14）的精確數(shù)值解 ， 并以 σ和 w 為標(biāo)準(zhǔn)來評估兩個解析近似解的優(yōu)劣 .

3? 兩類解析近似解及對比

3.1? σ= 0近似下的解析解

如果不要求式（7）嚴(yán)格成立 ， 而是用近似條件σ= 0代替它 ， 即α+ β= 0時 ， 可以發(fā)現(xiàn) e2? = e ?2 .因此， 可以借助式（10）直接寫出α的表達(dá)式

將條件σ= 0代入式（15）， 還可以得到這種情況下的狀態(tài)方程參數(shù)w =? 1. 它們的取值分別對應(yīng)圖1（a）和圖1（b）里的點(diǎn)劃線.

在黑洞外部 ， 該解的形式與文獻(xiàn)[6]中w =? 情況下的解相同.雖然兩者具有相同形式的引力場 ， 但它們是由不同的物質(zhì)場引起的：在文獻(xiàn)[6]中， 物質(zhì)場為暗能量;在本文中， 物質(zhì)場為等離子體.

3.2? p =0近似下的解析解

黑洞周圍的等離子體以質(zhì)子和電子為主 ， 密度ρ（r）主要來自質(zhì)子的貢獻(xiàn). 如果質(zhì)子的溫度遠(yuǎn)低于電子的溫度[3] ， 則w ?1 ， 可以近似地取p =0 .將這一條件和式（9）代入式（12）， 可以發(fā)現(xiàn) ， 在兩個視界之間 ， 即rg < r ? rc 的區(qū)域 ， 有

超出宇宙視界的范圍 ， 即r > rc 時 ， 則有

有了α （r）和 β（r）的解析表達(dá)式以后 ， 可以根據(jù)定義的式（13）直接求出σ （r）的表達(dá)式 ， 其數(shù)值見圖1（a）中的虛線. 顯然 ， 在這種情況下 ， 狀態(tài)方程參數(shù)w =0 ， 即圖 1（b）中的虛線.

3.3? 與精確數(shù)值解對比

最后， 借助計算機(jī) ， 采用數(shù)值方法 ， 分別計算σ和w 的精確解.為了便于處理 ， 令

則式（14）可重新寫成一個數(shù)值上更易于處理的形式 ， 為

通過式（20）， 可以用數(shù)值方法先后計算出?uσ和σ ， 再將?uσ代入式（15）， 即可計算出 w 的數(shù)值. 計算結(jié)果見圖1（a）和圖1（b）里的實(shí)線.

從物理上講 ， p =0近似也是很合理的.我們知道 ， 氫原子的電離能為136 eV ， 而電子的靜止能量為 0.511 MeV ， 質(zhì)子的靜止能量為938 MeV .在研究的吸積盤內(nèi)部 ， 氫原子完全電離成高溫電子和低溫質(zhì)子 ， 即氫等離子體.其中電子是相對論性的 ， 質(zhì)子是非相對論性的.所以等離子體的壓強(qiáng)主要由電子的動能產(chǎn)生， 密度主要來自質(zhì)子的靜止能量 ， w ≈? ≈ 0.

圖1（a）給出了3 種不同求解方式下σ 的結(jié)果 ， 其中 ， 實(shí)線、點(diǎn)劃線和虛線依次對應(yīng)精確數(shù)值解、σ =0近似解、 p =0近似解.按照相同的約定 ， 圖1（b）描出了3 種情況下對應(yīng)的w 值. 將2 種解析近似結(jié)果（分別用點(diǎn)劃線和虛線表示）與精確數(shù)值解的結(jié)果（實(shí)線）對比， 可以發(fā)現(xiàn) ， σ= 0近似解與精確數(shù)值解更接近 ， 而 p =0近似解則偏離較遠(yuǎn). 這里取γ= 0.1 ， 對應(yīng)圖中曲線不連續(xù)處u ≈1 ?γ 為宇宙視界的位置;如果γ取值更小 ， 則宇宙視界半徑更大 ， 圖中曲線不連續(xù)點(diǎn)右移.

4? 討論與展望

通過對比圖1的結(jié)果 ， 能夠很明顯地看出 ， 與 p =0近似解析解相比 ， σ= 0近似解析解更接近精確數(shù)值解的結(jié)果 ， 即更符合真實(shí)情況 ， 這也為我們在另一篇文章中所采用的度規(guī)形式提供了支持.

計算黑洞似正規(guī)模的方法很多 ， 比較常用的方法有 Wentzel-Kramers-Brilloui （WKB）近似法、漸近迭代法等[7-8]. 在本文中 ， 等離子體包圍的黑洞解對史瓦西解的偏離完全由γ 參數(shù)來描述. 因此可以推斷 ， 黑洞視界外的物質(zhì)對振蕩模式的影響主要由γ值的大小決定 ， 但二者之間的定量關(guān)系還值得進(jìn)一步研究.

本文只考慮了靜態(tài)分布的等離子體和靜態(tài)的黑洞外部解. 這對吸積率較?。处? 1）的黑洞是一個較好的近似.嚴(yán)格來說 ， 如果考慮等離子體的引力效應(yīng) ， 那么原來的史瓦西度規(guī)應(yīng)該變成與時間和空間都相關(guān)的函數(shù) ， 理由如下：首先 ， 由于吸積盤的存在 ， 黑洞的質(zhì)量會隨著時間的推移逐漸增加;另外 ， 即使不考慮吸積效應(yīng) ， 由于來自中心黑洞的引力效應(yīng) ， 等離子體也無法保持一個靜止的狀態(tài). 因此 ， 考慮黑洞周圍被等離子體或暗物質(zhì)包圍 ， 謀求含時引力場方程的解析近似解 ， 是一個值得進(jìn)一步挑戰(zhàn)的問題.

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（責(zé)任編輯：李藝）