非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的精確行波解①

張練，劉小華，曾職云

貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院， 貴陽 550025

(1)

的精確行波解， 其中β，γ是任意非零常數(shù)．

1 方程(1)有界行波解的存在性

對(1+1)維非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程(1)做如下的分?jǐn)?shù)復(fù)變換[15]

(2)

其中l(wèi)，λ是任意非零常數(shù)， Γ為伽馬函數(shù)， 則可將方程(1)轉(zhuǎn)化為方程

(3)

(4)

對系統(tǒng)(4)進(jìn)行首次積分

(5)

再令

f(u)=βu+γu3=0

(6)

(7)

根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)理論[16-17]可知， 如果J(ui， 0)<0則為鞍點(diǎn)， 如果J(ui， 0)>0則為中心， 如果J(ui， 0)=0則為尖點(diǎn)， 因此對于系統(tǒng)(4)有：

3) 當(dāng)βγ<0，λ2-l2<0時(shí)， 平衡點(diǎn)(u1， 0)， (u2， 3， 0)對應(yīng)的Jacobi矩陣行列式分別為

從而可知平衡點(diǎn)(u1， 0)在β>0時(shí)為中心， 在β<0時(shí)為鞍點(diǎn)； 平衡點(diǎn)(u2， 3， 0)在β>0時(shí)為鞍點(diǎn)， 在β<0時(shí)為中心．

根據(jù)上面的奇點(diǎn)分析， 利用Maple軟件畫出系統(tǒng)(4)在不同參數(shù)條件下的相圖見圖1．

圖1 系統(tǒng)(4)在不同參數(shù)條件下的相圖

由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論與方法[16-17]可知， 同宿軌對應(yīng)著方程(3)的鐘狀孤波解， 異宿軌對應(yīng)著方程(3)的扭狀孤波解， 閉軌對應(yīng)著方程(3)的周期解． 因此根據(jù)相圖1中的(a)-(h)， 可得出方程(3)的有界行波解的個(gè)數(shù)及存在性結(jié)論為：

1) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2>0，β>0，γ<0時(shí)存在兩條同宿軌， 無窮多個(gè)閉軌， 從而方程(3)存在兩個(gè)鐘狀孤波解和無窮多個(gè)周期解(圖1(a))．

2) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2>0，β<0，γ>0時(shí)存在兩條異宿軌， 無窮多個(gè)閉軌， 從而方程(3)存在兩個(gè)扭狀孤波解和無窮多個(gè)周期解(圖1(b))．

3) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2>0，β>0，γ>0時(shí)不存在閉軌(圖1(c))．

4) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2>0，β<0，γ<0時(shí)存在無窮多個(gè)閉軌， 從而方程(3)存在無窮多個(gè)周期解(圖1(d))．

5) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2<0，β>0，γ<0時(shí)存在兩條異宿軌， 無窮多個(gè)閉軌， 從而方程(3)存在兩個(gè)扭狀孤波解和無窮多個(gè)周期解(圖1(e))．

6) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2<0，β<0，γ>0時(shí)存在兩條同宿軌， 無窮多個(gè)閉軌， 從而方程(3)存在兩個(gè)鐘狀孤波解和無窮多個(gè)周期解(圖1(f))．

7) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2<0，β>0，γ>0時(shí)存在無窮多個(gè)閉軌， 從而方程(3)存在無窮多個(gè)周期解(圖1(g))．

8) 系統(tǒng)(4)在λ2-l2<0，β<0，γ<0時(shí)不存在閉軌(圖1(h))．

由上面的定性分析可知， 方程(3)存在4個(gè)鐘狀孤波解、 4個(gè)扭狀孤波解和無窮多個(gè)周期波解， 下面運(yùn)用輔助方程法討論方程(1)的一些有界行波解的精確表達(dá)式．

2 輔助方程法

運(yùn)用輔助方程法求解非線性發(fā)展方程的精確解是十分有效的， 本文運(yùn)用的輔助方程法是Khater博士在2018年所提出并改進(jìn)的， 輔助方程法的具體步驟如下[9-10]：

考慮如下的非線性偏微分方程：

P(u，ut，ux，utt，uxx，uxt， …)=0

(8)

其中u(x，t)是未知函數(shù)， 且P是包含u(x，t)及其各導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)．

步驟1： 對方程(8)做行波變換u(x，t)=u(ξ)，ξ=lx-λt， 其中l(wèi)，λ是任意非零常數(shù)， 即方程(8)可化為如下的常微分方程：

F(u， -λu′，lu′，λ2u″，l2u″， -λlu″， …)=0

(9)

步驟2： 假設(shè)常微分方程(9)的解具有如下形式：

(10)

其中ai，bi(i=0，1，2，…，n)為待定系數(shù)，n由齊次平衡原則確定，f(ξ)滿足如下常微分方程

(11)

其中α，?，δ，a是非零常數(shù)且a>0，a≠1．

步驟3： 將方程(10)，(11)代入方程(9)， 合并a±if(ξ)，i=0，1，2，…，n的各次冪系數(shù)， 并令各次冪系數(shù)等于零， 得到關(guān)于a0，ai，bi，l，λ(i=1，2，…，n)的代數(shù)方程組， 結(jié)合Maple軟件求解代數(shù)方程組， 可得a0，ai，bi，l，λ(i=1，2，…，n)的值．

步驟4： 通過方程(11)的解和步驟3的值， 由假設(shè)(10)得出方程(9)的解， 進(jìn)而可獲得方程(8)行波解的精確表達(dá)式．

方程(11)的解有如下3種情形：

情形1： 如果?2-4αδ>0且δ≠0， 那么有

(12)

情形2： 如果?2-4αδ<0且δ≠0， 那么有

(13)

情形3： 如果?2=4αδ且δ≠0， 那么有

(14)

3 方程(1)行波解的精確表達(dá)式

下面利用輔助方程法來討論方程(1)的有界行波解， 通過該方法得出了方程(1)的兩組不同參數(shù)的解， 則具體根據(jù)方程(3)的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u″(ξ)與最高階非線性項(xiàng)u3(ξ)的平衡原則， 有n+2=3n得n=1， 根據(jù)上述方法可設(shè)方程(3)的解具有如下形式：

u(ξ)=a0+a1af(ξ)+b1a-f(ξ)

(15)

其中：a0，a1，b1為待定系數(shù)； 將方程(15)及其導(dǎo)數(shù)代入方程(3)， 合并a±if(ξ)，i=0，1，2，3的各次冪， 并令各次冪的系數(shù)等于零， 得到關(guān)于a0，a1，b1，l，λ的代數(shù)方程組為：

(16)

結(jié)合Maple軟件求解方程組(16)， 得出以下兩種情形．

情形1：

(17)

其中l(wèi)為任意非零常數(shù)．

情形2：

(18)

其中l(wèi)為任意非零常數(shù)．

由(15)，(17)式與方程(11)的解(13)、 分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)可得方程(1)的有界行波解為：

(19)

(20)

其中?2-4αδ<0且δ≠0，l為任意非零常數(shù)．

由(15)，(17)式與方程(11)的解(12)、 分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)可得方程(1)的有界行波解為：

(21)

(22)

其中?2-4αδ>0且δ≠0，l為任意非零常數(shù)．

圖2 解u7

由(15)，(18)式與方程(11)的解(13)、 分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)可得方程(1)的有界行波解為

(23)

(24)

其中?2-4αδ<0且δ≠0，l為任意非零常數(shù)．

由(15)，(18)式與方程(11)的解(12)、 分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)可得方程(1)的有界行波解為

(25)

(26)

其中?2-4αδ>0且δ≠0，l為任意非零常數(shù)．

圖3 解u11

圖4 解u14

注1解(25)與解(21) 分別是圖1(b)中的兩條異宿軌對應(yīng)的扭狀孤波解的兩種不同表達(dá)式， 解(26)與解(22)分別是圖1(e)中的兩條異宿軌對應(yīng)的扭狀孤波解的兩種不同表達(dá)式．

4 結(jié)論

本文利用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論與方法以及輔助方程法， 討論了非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程有界行波解的存在性及精確表達(dá)式， 其中包括雙曲函數(shù)解、 三角函數(shù)解； 由定性結(jié)論可知方程(1)還存在4個(gè)鐘狀孤波解和無窮多個(gè)周期解， 在此用輔助方程法還沒能給出其精確表達(dá)式．