多線性考爾德倫-贊格蒙(Calderon-Zyg mund)算子交換子在莫里(Morrey)空間上的端點(diǎn)估計(jì)

劉建明,黃時(shí)祥

(1．吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000;2．上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 上饒 334001)

1 引言及主要結(jié)論

眾所周知,經(jīng)典的奇異積分算子T是調(diào)和分析中的重要組成部分,其定義為:

其中核函數(shù)K(x)滿足一定的消失性條件、尺寸條件和光滑性條件,具體內(nèi)容讀者可參見文獻(xiàn)[1]。

1961年,約翰(John)等[2]在研究偏微分方程問題時(shí)引入了有界平均震蕩函數(shù)空間BMO,其定義為:

設(shè)b∈BMO,由經(jīng)典奇異積分算子T和函數(shù)b生成的交換子定義為:

奇異積分算子交換子是由考夫曼(Coif man)等[3]定義的,并且他們還得到了此交換子的Lp有界性,其中1＜p＜∞。但是,該交換子在p＝1時(shí)的弱有界性一直未得到很好解決。1995年,佩雷茲(Perez)[4]給出了一個(gè)反例說明了Tb不是弱 (1,1) 型,然后作者證明了此類交換子滿足一種弱L(log)L型端點(diǎn)估計(jì)。

多線性Calderon-Zyg mund算子理論最早可追溯到20世紀(jì)70年代,由Coif man等[5]提出。2002年格拉法克斯(Graf akos)[6]研究了如下一類多線性Cal der on-Zyg mund算子,其定義為:

定義1．1[6]設(shè)(f1,f2,…,fm) ∈C0∞,K(x,y1,…,ym) 為(Rn)m+1中局部可積函數(shù)且(x,y1,…,ym) ∈(Rn×…×Rn){x＝y(tǒng)1＝…＝y(tǒng)m} ,記:

過去20年,眾多數(shù)學(xué)工作者參與研究多線性Cal der on-Zyg mund算子理論,并且在研究過程中得到了許多有意義的結(jié)論,讀者可參見文獻(xiàn)[7-8]。

設(shè)(b1,…,bm) 且bi∈BMO,則由多線性Calderon-Zygmund算子T和生成的多線性Calderon-Zygmund算子交換子的定義如下:

多線性Cal der on-Zyg mund算子交換子最早是由Perez等人研究引入,具體工作可參見文獻(xiàn)[9]。隨后多線性交換子得到了眾多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注,例如勒納(Ler ner)等人[10]得到了多線Cal der on-Zyg mund算子交換子的弱L(log)L型加權(quán)端點(diǎn)估計(jì)。

1938年,Morrey[11]在研究二階橢圓型偏微分方程解的局部性質(zhì)時(shí)引進(jìn)了經(jīng)典Morrey空間,其定義為:

其中B(x,t)表示Rn中任意一個(gè)以x為中心,t為半徑的球體,0≤λ＜n,1≤p＜∞。

類似地,弱型Morrey空間定義如下:

2016年,王(Wang)[12]定義了一類新型廣義Morrey空間,并得到了奇異積分算子及其交換子在這類新型廣義Morrey空間上的有界性。

為獲得交換子的端點(diǎn)估計(jì)理論,我們先介紹關(guān)于奧爾里奇(Orlicz)空間的一些定義和結(jié)論,具體內(nèi)容讀者可參見文獻(xiàn)[13]。

設(shè)φ(x) 是定義在 [0,∞) → [0,∞) 上的Young函數(shù),滿足φ(0)＝0、＝∞且φ(x) 在定義域內(nèi)為連續(xù)的、凸的、遞增的函數(shù)。

接下來我們介紹盧森堡(Luxemburg)范數(shù)的定義,對(duì)于一個(gè)函數(shù)f和方體Q,記:

稱上式為f在方體Q上的Luxemburg范數(shù),當(dāng)φ≤φ＇時(shí)有‖f‖φ,Q≤‖f‖φ＇,Q。

對(duì)于任意楊(Young)函數(shù)φ,我們定義它的互補(bǔ)函數(shù)。如果Young 函數(shù)φ(t)＝t(1+log+t) ,則它的互補(bǔ)函數(shù)為(x) ≈ex。

接下來我們介紹廣義赫爾德(Hol der)[14]不等式,記:

當(dāng)φ(t)＝(1+l og+t) 時(shí),令‖f‖φ,Q＝‖f‖LlogL,Q,‖f‖φ-,Q＝‖f‖expL,Q,(1)式也可表示為:

設(shè)b∈BMO(Rn) ,由約翰-尼倫伯格(John-Nirenber g)不等式我們不難得到:

(3)式的證明可參見文獻(xiàn)[4]第169頁。

結(jié)合(2)(3)式可得:

文獻(xiàn)[12]中,Wang介紹了LlogL型的廣義Morrey空間。在介紹該類型空間定義前,我們先介紹如下函數(shù)條件:

設(shè)0≤k＜1,θ(·) 是定義在 (0,∞) 上的非負(fù)增函數(shù)并且滿足以下一類Dk條件:

其中C1＞0且不依賴于ξ、ξ'。LlogL型的廣義Morrey空間定義如下:

顯然當(dāng)θ(B)＝就為LlogL型的經(jīng)典Morrey空間,其定義為:

定義1．2 設(shè)B(x,t)表示Rn中任意一個(gè)以x為中心,t為半徑的球體,0≤λ＜n

文獻(xiàn)[12]中,Wang研究了奇異積分算子交換子在此類新型廣義Morrey空間上的弱LlogL型端點(diǎn)估計(jì)。主要結(jié)果如下:

定理A[12]設(shè)b∈BMO(Rn) 、θ滿足Dk條件,則對(duì)于任給的σ＞0和任意的B?Rn,存在一個(gè)不依賴于函數(shù)f、球體B、σ的常數(shù)C＞0,使得:

文獻(xiàn)[10]中,Ler ner等人介紹了如下一類多線性極大函數(shù)M()(x) ,記:

其中(f1,…,fm) 、m∈Z+(m＞1) 且對(duì)所有包含x的球體B取上確界。

2021年,喻(Yu)等人[15]研究了由上述多線性極大函數(shù)生成的交換子,其定義如下:

定理B[15]設(shè)bi∈BMO(Rn) 、ω滿足一類二倍條件既ω(2B) ≤C0ω(B) 、1＜C0＜2n,對(duì)任意β＞0和任意以x∈Rn為中心、t＞0為半徑的球體B,使得:

其中Φ(t)＝t·(1+log+t) ,,常數(shù)C＞0且依賴于維數(shù)n。

其中0≤λ＜n,Φ(t)＝t·(1+log+t) ,‖bi‖BMO,常數(shù)C＞0且依賴于維數(shù)n。

受以上論文的啟發(fā),本文將研究多線性Calderon-Zyg mund算子交換子在Morrey空間Mp,λ上的弱LlogL型端點(diǎn)估計(jì),本文主要結(jié)論如下:

定理1．1 設(shè)bi∈BMO(i＝1…m) ,0≤λ＜n對(duì)任意σ＞0和任意以x∈Rn為中心、t＞0為半徑的球體B,存在一個(gè)不依賴于fi(i＝1…m)、球體B、σ的常數(shù)C＞0使得:

活性炭本身作為一種多孔狀碳元素吸附物質(zhì)，在剛剛出廠時(shí)應(yīng)當(dāng)是粗糙且不平整的，從顯微鏡下觀察能夠發(fā)現(xiàn)其表面呈現(xiàn)出凹凸不平和孔洞型結(jié)構(gòu)[2]。一般情況下，活性炭內(nèi)部的孔隙呈現(xiàn)出無序的狀態(tài)，但總體而言其孔隙結(jié)構(gòu)越復(fù)雜、比表面積越大，吸附能力也就越強(qiáng)，活性炭質(zhì)量越高。一般情況下測(cè)試活性炭性能的方法可以采用壓汞法或氮?dú)馕椒ā汗ǖ闹饕頌椋喝⌒K活性炭進(jìn)行壓汞分析，觀察活性炭再生工藝前后比表面積的變化情況；而氮?dú)馕椒ǖ脑碓谟谕ㄟ^多分子吸附理論來分析活性炭孔隙吸附質(zhì)量，一般情況下前者適用于孔隙較大的活性炭檢測(cè)，后者適用于微米級(jí)活性炭檢測(cè)。

其中φ(t)＝t( 1+log+t) 、‖bi‖BMO。

2 預(yù)備知識(shí)

引理2．1[16]設(shè)b∈BMO,則對(duì)于任意在Rn中的球體B有:

引理2．2[10]設(shè)∈BMOm,則存在一個(gè)依賴于‖b→‖BMO的常數(shù)C使得:

引理2．3[17]設(shè),fj∈Lpj,∞其中0＜pj＜∞、1≤j≤k則有:

其中Lp,∞(Rn)＝＜∞} 。

3 主要結(jié)果的證明

所以I1≤C‖b1‖BMO。

因?yàn)?/p>

所以對(duì)I3可進(jìn)行以下分解:

由運(yùn)算可得:

結(jié)合t≤φ(t)＝t·１+log(+t) 和的定義可得:

又因?yàn)棣耍糿,由級(jí)數(shù)收斂可得:

所以J1≤C‖b1‖BMO。

對(duì)J2進(jìn)行以下分解:

由t≤φ(t)＝t·(1+log+t) 可得:

由(4)式可得:

又由(3)式可得:

對(duì)J4,由t≤φ(t)＝t· (1+log+t) 可得:

因?yàn)棣耍糿,由級(jí)數(shù)收斂可得:

所以J4≤C‖b1‖BMO。

綜上,I3＝J1+J2≤C‖b1‖BMO。

對(duì)I2而言,我們?nèi)ˇ?＝α2＝α3＝0,α4＝…＝αm＝∞不失一般性,運(yùn)用引理2．3可得:

結(jié)合文獻(xiàn)[4]中奇異積分算子交換子弱L(l og)L型端點(diǎn)估計(jì)可得:

同理可得:

所以I2≤C‖b1‖BMO。

綜合對(duì)I1,I2,I3的估計(jì),并對(duì)所有球體B取上確界可得定理1．1證畢。