例析分類思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)

成安平

（寧波市實(shí)驗學(xué)校，浙江 寧波 315010）

初中數(shù)學(xué)中的分類討論問題，是近年來中考壓軸題的一個熱點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。由于壓軸題綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生在考慮問題的時候，會因為條件或結(jié)論不唯一確定而出現(xiàn)的幾種可能性，引起重復(fù)或者遺漏的情況，這給學(xué)生帶來了很大的困惑。初二學(xué)生由于知識的延伸，已經(jīng)逐步接觸分類思想，但是八年級教材特別是幾何與函數(shù)，學(xué)生第一次系統(tǒng)地認(rèn)識分類思想，他們習(xí)慣憑感覺去解決實(shí)際問題，往往會對所有可能出現(xiàn)的情況考慮得不夠完整，邏輯思維不夠嚴(yán)密。所以這就要求初二年級教師做好分類思想的啟蒙教育，在設(shè)計教學(xué)過程滲透核心素養(yǎng)即邏輯推理的培養(yǎng)，抓住分類討論的動因，把握住分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到分類時條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，對所學(xué)的概念、定理、法則、公式等基礎(chǔ)知識及背景進(jìn)行透徹的分析，對教材進(jìn)行更深的挖掘，幫助學(xué)生靈活地掌握知識，促進(jìn)學(xué)生從感性思維到理性思維的升華。

一、初見分類

等腰三角形是浙教版八年級上《特殊三角形》的內(nèi)容。兩條邊相等就可以判定一個三角形是等腰三角形，可能條件不唯一，所以學(xué)生往往只憑幾個特殊的值來解決問題，容易遺漏。教師講解時要抓住等腰三角形的判定定理，從邊的兩兩相等來分三類情況討論。例1 如下圖，在平面坐標(biāo)系中，ABCO 為正方形，已知點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（3，3），當(dāng)三角板直角頂點(diǎn)與P 重合時，一條直角邊與x 軸交于點(diǎn)E，另一條直角邊與y 軸交于點(diǎn)F，在三角板繞點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn)過程中，若△POE 為等腰三角形，則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為________。

分析：由于圖中有正方形，所以學(xué)生的考慮到（0，0）（0，3）這兩種情況。

答：等腰三角形要分三類討論。

（1）當(dāng)PE=PO 時，F(xiàn)（0，0）

（2）當(dāng)PE=OE 時，F(xiàn)（0，3）

等腰三角形分類，是學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論思想的起步，教師要給一定的練習(xí)加以鞏固，并且能夠多鼓勵學(xué)生，多傾聽不同的聲音。

二、架構(gòu)分類

直角三角形是浙教版八年級上《特殊三角形》的內(nèi)容。只要一個角是直角就可以判定一個三角形是直角三角形，條件減少難確定。這樣的題型往往和相似三角形或者特殊的直角三角形結(jié)合來增加確定條件。例2 如下圖，等邊△OAE，邊長為2，E 在y 軸上，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD，B、C 在x 軸上。

（1）求經(jīng)過A、D 兩點(diǎn)拋物線的對稱軸。（2）是否存在點(diǎn)P，滿足點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)D 的縱坐標(biāo)，且以A、D、P 為頂點(diǎn)的三角形與△AOB 相似（不包括全等），若存在點(diǎn)P，請直接寫出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（3）正方形ABCD 繞點(diǎn)A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BD 所在直線與AE 所在直線垂直時，求直線BD 的解析式。

本題的第（2）小題和（3）小題都是要用分類討論的思想解決問題，其中第二小題隱含了直角三角形和相似三角型的結(jié)合，有比較大的難度。教師講解是要分兩步進(jìn)行。第一，分析三角形△AOB 是一個含有30°的直角三角形；第二，從△AOB 的三個內(nèi)角分別為直角分三類討論，并考慮到相似三角形角對應(yīng)相等。

學(xué)生往往會遺漏一些條件，從而只找到幾個結(jié)果。教師講解時要分兩步，首先確定其中一個是直角，其次對每一個銳角進(jìn)行分類。教師在課堂上要架構(gòu)起分類的思想，不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的啟蒙、訓(xùn)練和鞏固。

三、深究分類

一次函數(shù)分段討論是浙教版八年級下最后一章最后一節(jié)《課題學(xué)習(xí)》的內(nèi)容，教師和學(xué)生比較容易忽視本節(jié)的內(nèi)容，教師在講解時要注意挖掘教材，讓學(xué)生認(rèn)識到一次函數(shù)的自變量的取值范圍是任何實(shí)數(shù)，但是對于實(shí)際問題還要考慮到符合實(shí)際的每一段的范圍。例3，甲乙兩人同時登西山，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與登山時間x（分）之間的函數(shù)圖像如下圖所示，根據(jù)圖像所提供的信息解答下列問題：

（1）甲登山的速度是每分鐘_______米，乙在A地提速時距地面的高度b為________米。

（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3 倍，請分別求出甲、乙二人登山全過程中，登山時距地面的高度y（米）與登山時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）登山多長時間時，乙追上了甲？此時乙距A地的高度為多少米？

解:（1）10，30

∴登山6.5 分鐘時乙追上甲。此時乙距A地高度為165-30=135（米）。

教師要有意識地留出較多時間讓學(xué)生去探索，選擇解決問題的方法，然后引導(dǎo)學(xué)生用圖像法解決問題，在備課時要注意對課后練習(xí)的挖掘，為以后的分類思想打好基礎(chǔ)。

四、錘煉分類

長方體的表面展開圖是浙教版八年級上第三章《直棱柱》第二節(jié)的內(nèi)容，教學(xué)分為兩個方面，即要培養(yǎng)動手能力，又要鍛煉空間想象能力，且由于不同的裁剪方式會有不同的表面展開圖。在講解時，要充分調(diào)動學(xué)生的積極性，通過游戲的方式讓學(xué)生盡可能地把所有的情況都寫出來，教師最后進(jìn)行總結(jié)歸納，并且給以一定的配套練習(xí)，使得展開圖在學(xué)生腦中根深蒂固，并且滲透分類思想。例4 是探索研究如下圖，把一張長10cm，寬8cm 的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）。

（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由。（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2 個同樣大小的正方形和2 個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由。

分析：本題的原型來源于浙教版八年級下《一元二次方程》應(yīng)用的第二節(jié)內(nèi)容。一元二次方程的應(yīng)用是本章的難點(diǎn)，而這個折紙盒的問題需要學(xué)生應(yīng)用八年級上的內(nèi)容建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，即動手又動腦，要求比較高。教師要深度挖掘教材，鼓勵學(xué)生自主探索，采取分組學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，利用變式訓(xùn)練，把所有的可能性的情況都?xì)w納分析，真正做到來源于書本而高于書本。

答：（1）設(shè)正方形的邊長為xcm，則。

解得x1=8（不合題意，舍去），x2=1。

∴剪去的正方形的邊長為1cm。

通過觀察、驗證直接寫出正確結(jié)果給3分。

（2）有側(cè)面積最大的情況。設(shè)正方形的邊長為xcm，盒子的側(cè)面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm 時，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2。

（3）有側(cè)面積最大的情況。設(shè)正方形的邊長為xcm，盒子的側(cè)面積為ycm2。若按下圖1

圖1

所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

若按圖2 所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

圖2

比較以上兩種剪折方法可知，按上圖2 所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為cm 時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm2。

初中的學(xué)習(xí)中，分類討論的思想沒有作為獨(dú)立章節(jié)呈現(xiàn)，而是滲透在各個章節(jié)中。教師分析教材時在思想上要充分意識到教材中可能涉及的分類思想，特別是對于初二學(xué)生，根據(jù)初中學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中遵照循序漸進(jìn)、逐步深化的原則，并采用靈活多變和有效的教學(xué)手段來實(shí)施分類討論方法的啟蒙教學(xué)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在授課時要給學(xué)生分析分類討論時注意的二個問題。第一，用同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的根據(jù)。如果劃分的標(biāo)準(zhǔn)不同，則劃分的結(jié)果也不同。第二，分類討論的步驟。分類討論時應(yīng)先明確其討論的對象及討論對象的取值范圍，其次選擇正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，再次逐類討論解決，最后歸納并作出總結(jié)。不斷滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

分類討論問題充滿了數(shù)學(xué)辯證思想，它是邏輯劃分思想在解決數(shù)學(xué)問題時的體運(yùn)用，掌握好這類問題對提高綜合學(xué)習(xí)能力會有很大的幫助，它既有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與探索精神，又有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。