高中數(shù)學定理的教學結(jié)構(gòu)和路線

陳莉

摘? 要：通過對數(shù)學定理的特征分析和學生學習的認知心理分析，即在對定理知識、定理學習、定理教授三方面綜合分析的基礎(chǔ)上，形成相對統(tǒng)一與穩(wěn)定的數(shù)學定理教學結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用于高中數(shù)學定理教學，形成具體的教學路線.

關(guān)鍵詞：數(shù)學定理;教學結(jié)構(gòu);教學路線

數(shù)學定理是指由公理、定義或已被證明為真的其他數(shù)學命題，運用推理規(guī)則，可以推出一系列數(shù)學真命題. 數(shù)學定理在數(shù)學知識體系中占有重要地位，并且被廣泛應(yīng)用于知識發(fā)展與問題解決的過程中. 在高中數(shù)學課程中，數(shù)學定理一般都具有核心知識的地位，如何進行數(shù)學定理的教學是教學研究中的重要課題. 本文旨在通過分析數(shù)學定理的特征和學生學習的認知心理，形成相對統(tǒng)一與穩(wěn)定的數(shù)學定理教學結(jié)構(gòu)，以及具體的教學路線.

一、數(shù)學定理的特征分析

數(shù)學定理不僅包括顯性化、靜態(tài)化的知識本體，還包括發(fā)生、發(fā)展等一系列程序性、過程性相關(guān)的隱性化、動態(tài)化知識. 因而厘清數(shù)學定理的知識特征，對教學有著重要的指導(dǎo)意義.

1. 數(shù)學定理的可發(fā)現(xiàn)性

奧蘇貝爾將命題學習分為類屬發(fā)現(xiàn)學習、形成發(fā)現(xiàn)學習和類比發(fā)現(xiàn)學習. 在高中階段，數(shù)學定理的學習主要是形成發(fā)現(xiàn)學習，即需要教師精心設(shè)計、啟發(fā)引導(dǎo)，從而使得學生借助教師所提供的素材和提出的問題，經(jīng)歷觀察、比較、實驗、分析、抽象、概括、歸納、類比等系列過程，形成對定理存在性的認知與認同. 例如，線面垂直的判定定理可以通過對折紙張能站立于水平桌面這一簡單實驗讓學生對折痕同紙張與桌面交線的位置關(guān)系進行實驗、觀察、分析、比較，從而發(fā)現(xiàn)判定定理的條件.

2. 數(shù)學定理的可證性

數(shù)學定理的證明是獲得定理、認識定理最根本的途徑. 分析、尋求證明方法的過程離不開對知識的梳理與應(yīng)用. 因此，數(shù)學定理的證明是建立在所學數(shù)學概念、公理或其他數(shù)學定理基礎(chǔ)上的對知識的系統(tǒng)性、綜合性應(yīng)用. 例如，正弦定理的證明可以建立在初中所學直角三角形知識的基礎(chǔ)上，也可以建立在任意角的坐標表示的基礎(chǔ)上，還可以運用向量知識來實現(xiàn).

3. 數(shù)學定理的結(jié)構(gòu)性

數(shù)學定理具備命題的結(jié)構(gòu)特征：條件與結(jié)論. 對數(shù)學定理的解構(gòu)實際上就是對定理的使用范圍、條件、依據(jù)、性質(zhì)、關(guān)系等逐一剖析，只有全然符合條件，才能運用定理獲得相應(yīng)的結(jié)論. 例如，函數(shù)零點存在定理的運用條件是函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)同時具備圖象的連續(xù)性和端點函數(shù)值的異號性，運用定理獲得的結(jié)論為該函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)至少有一個零點.

4. 數(shù)學定理的多重表征性

部分數(shù)學定理可以用自然語言、符號語言或圖形語言進行多重表征. 例如，線面平行的判定定理既可以用文字語言“如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行”來表述，也可以用符號語言“[a∥b，a?α]且[b?α][?][a∥α]”來簡潔地表達，亦可以用“線線平行[?]線面平行”來概括地表達. 此外，數(shù)學定理的名稱本身也可能是一種表征形態(tài)，如二項式定理.

5. 數(shù)學定理的應(yīng)用性

數(shù)學定理的存在意義通常是為了某個知識的研究推廣（如二項式定理），或者是某類問題的解決（如正弦定理、余弦定理），因而具備鮮明的應(yīng)用性和工具性特征. 應(yīng)用數(shù)學定理的過程也是學生內(nèi)化該定理知識的過程. 例如，平面向量分解定理，只有理解了該定理的本質(zhì)，才能理解向量坐標的獲得原理，才能進一步理解具體問題解決中確定一組基向量的重要性.

二、數(shù)學定理的認知心理分析

數(shù)學定理的學習并不是一個獨立知識的學習，其所涵蓋的知識往往與學生已有的認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識與概念構(gòu)成上位關(guān)系、下位關(guān)系或并列關(guān)系. 因而相較于數(shù)學概念的學習，數(shù)學定理的學習不僅僅是知識本身，還包括了相關(guān)概念、定理、公理等知識之間的關(guān)系. 除此之外，其學習過程中還包括了較為復(fù)雜的獨立思考及發(fā)現(xiàn)和整合相關(guān)知識信息的過程，因而從心理機制上來說，數(shù)學定理的學習要比數(shù)學概念的學習復(fù)雜得多.

由于數(shù)學概念與數(shù)學定理的學習難度不同，很多學者認為兩者的學習方式與學習層次也都是不同的. 其同樣認為，加涅的信息加工理論更能揭示定理學習的過程. 所謂信息加工觀點就是將人腦類比計算機，把它看成類似于計算機的信息加工系統(tǒng). 簡單來說，就是通過計算機對刺激信息的加工來擬合學生對定理的學習過程.

1. 信息刺激——關(guān)注定理產(chǎn)生的情境

信息刺激一般是指所提供的教學材料. 信息加工理論中要實現(xiàn)從外界環(huán)境到感覺記憶，則必須要有一定的外部信息刺激，從而引發(fā)感覺記憶中部分相關(guān)信息受到注意，并獲得進一步的加工（思考理解）. 這些外部信息刺激的來源就是數(shù)學教學中所組織的材料，其組織的方式往往被置于某個情境（生活情境、數(shù)學情境或科學情境）中. 通過情境向?qū)W生呈現(xiàn)所需的知覺材料，從而促進學生的知覺加工. 例如，在引出直線與平面垂直的判定定理時，可以利用田徑賽場上的跨欄和衣架等圖片信息來刺激學生進行學習的意義及如何快速判定的思考.

2. 信息編碼——建立相關(guān)知識間的聯(lián)系

所謂信息編碼是指對知識的重構(gòu). 信息編碼的過程實際上就是對知識之間關(guān)系識別、梳理與重構(gòu)，從而獲得更為有意義的結(jié)論. 因而信息編碼實際上就是使信息發(fā)生本質(zhì)性轉(zhuǎn)變的過程. 當然這一過程的順利程度取決于學生個體知識的豐富程度. 知識經(jīng)驗越豐富，則其編碼過程也就越順利. 例如，在引出直線與平面垂直的判定定理時，可以通過圖片信息或?qū)嶒炐畔⒔⒕€面垂直、線線垂直、與無數(shù)條直線垂直、與有限條直線垂直等信息聯(lián)系，從而做出線面垂直判定的猜想.

3. 信息記憶——解構(gòu)定理的結(jié)構(gòu)

信息記憶在學生接收到信息刺激時就已經(jīng)開始了. 在有限時間內(nèi)記憶的信息量，除了受學生本身處于長效記憶知識的豐富程度影響，還可以通過教師合理、有效的信息組織，或引導(dǎo)學生將散亂的信息組塊并建立起相互聯(lián)系的方式來提升. 信息記憶的最終目標就是在對信息進行合理編碼后，使其變?yōu)殚L時記憶被存儲.

事實上，在定理的學習過程中，定理的獲得與證明不足以使該定理成為長時記憶被保存. 因而教師可以結(jié)合引入的情境，幫助學生形成探究、推導(dǎo)定理的過程性情境記憶;也可以利用定理的多重表征性，對該定理進行多重編碼，使得學生能從語義、符號、圖形等多方面形成記憶系統(tǒng);還可以利用定理本身的結(jié)構(gòu)性特征，從語義、符號、圖形等多方面剖析定理，使學生形成相對概括、穩(wěn)定的認知記憶.

4. 信息提取——熟練定理的應(yīng)用

定理應(yīng)用的熟練程度取決于信息提取的順利程度. 研究表明，信息提取的順利程度取決于信息在長時記憶中記憶痕跡的強度. 而記憶痕跡的強度又與相應(yīng)信息所受到的加工深度有直接關(guān)系. 在定理教學中，可以通過在定理理解時稍作停頓、剖析解讀來進一步地強化記憶的痕跡;還可以在應(yīng)用定理時，通過對問題再審視，進一步對信息進行深加工，從而形成更為整體的結(jié)構(gòu)觀.

例如，在正弦定理的教學中，可以對正弦定理從結(jié)構(gòu)的對稱性、三角函數(shù)的單一性、邊與角的對應(yīng)性、范圍的任意性、元素的完整性五個方面進行解構(gòu)剖析，幫助學生形成初步的定理應(yīng)用觀;還可以在例題的解答中，通過對問題解決過程的再審視，進一步完善正弦定理的應(yīng)用觀：正弦定理適用于已知“兩角一邊”和“兩邊一對角”的解三角形問題. 通過這一過程，幫助學生構(gòu)建關(guān)于正弦定理更具層次性和完整性的認知結(jié)構(gòu).

三、數(shù)學定理的教學結(jié)構(gòu)與路線

數(shù)學教學結(jié)構(gòu)是以教師的教和學生的學為基礎(chǔ)框架，以數(shù)學教學內(nèi)容為核心，以教學過程為順序，實現(xiàn)數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)、學生的認知結(jié)構(gòu)、教師的導(dǎo)學結(jié)構(gòu)三者有機、有序、有效的系統(tǒng)聯(lián)系. 數(shù)學定理的教學也必然存在相對穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).

1. 數(shù)學定理教學的一般結(jié)構(gòu)

結(jié)合上述分析，筆者將數(shù)學定理教學結(jié)構(gòu)設(shè)定為：情境發(fā)現(xiàn)—聯(lián)系分析—歸納證明—辨析解構(gòu)—鞏固應(yīng)用—回顧反思.

（1）情境發(fā)現(xiàn).

組織相關(guān)材料，在具體情境中刺激學生引起注意、形成感知. 材料可以來自生活或數(shù)學學科本身，要能夠造成學生認知上的沖突，引起學生足夠的注意，或者具有共性，能夠引發(fā)學生的思考. 當然，還可以歸納提出核心問題.

（2）聯(lián)系分析.

通過啟發(fā)與引導(dǎo)，幫助學生形成選擇性知覺進行聯(lián)想. 通過這一過程，幫助學生建立材料信息與原有知識之間的聯(lián)系，梳理兩者之間的關(guān)系. 兩者之間的關(guān)系越清晰，對于問題的認知也就越明朗. 在這一過程中，逐步形成問題解決的架構(gòu)雛形.

（3）歸納證明.

通過指導(dǎo)，幫助學生實現(xiàn)用數(shù)學語言歸納數(shù)學一般規(guī)律或證明數(shù)學定理. 也就是學生對信息編碼形成概括認知的過程. 這一過程中往往還包含了一些數(shù)學的技能和思想方法.

（4）辨析解構(gòu).

通過引導(dǎo)、輔助，幫助學生進一步提煉數(shù)學定理的特性，形成長時記憶，實現(xiàn)認知固化. 這是對數(shù)學定理進行剖析、解構(gòu)的過程.

（5）鞏固應(yīng)用.

設(shè)計相關(guān)例題，幫助學生逐步熟練對新學定理在應(yīng)用過程中的信息提取. 通過對原問題的變式與拓展，強化學生對新定理的應(yīng)用，使學生逐步構(gòu)建起相關(guān)知識網(wǎng)絡(luò)，形成相應(yīng)的數(shù)學技能與數(shù)學思想方法.

（6）回顧反思.

通過對前面學習過程的理性回顧，使學生有意識地進一步建構(gòu)相關(guān)的知識系統(tǒng)和知識網(wǎng)絡(luò)，讓學習過程中的記憶更為融合，幫助學生進行更深層次的理解與思考.

經(jīng)過數(shù)學定理教學結(jié)構(gòu)中的六個環(huán)節(jié)，最終形成在教學結(jié)構(gòu)、認知規(guī)律、學生學習、教師教學四個層面上對數(shù)學定理教學的綜合設(shè)計，如圖1所示.

2. 數(shù)學定理的教學路線

以滬教版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊第六章“三角”第三節(jié)“解三角形”第1課時“正弦定理”的教學為例，分析在此結(jié)構(gòu)下的具體教學路線.

（1）情境引入.

“正弦定理”是作為任意角的三角函數(shù)研究的一類應(yīng)用，重在揭示任意三角形的邊與角之間的客觀規(guī)律，是解決實際生活中三角形問題的有效工具. 根據(jù)定理本身的實用價值，選擇教材中給出的測定火場距離這一實際問題作為本節(jié)課的引入情境. 通過實際問題引起學生的注意，進而通過對此實際問題的抽象得到相應(yīng)的數(shù)學問題.

情境：某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個觀測點[A]和[B，] 某日兩個觀測點的林場人員分別觀測到[C]處出現(xiàn)火情. 在[A]處觀測到火情發(fā)生在北偏西[40°]方向，而在[B]處觀測到火情在北偏西[60°]方向，已知[B]在[A]的正東方向[10]千米處. 現(xiàn)在要確定火場[C]距[A，B]多遠.（精確到1千米.）

將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：如圖2，在[△ABC]中，已知[∠A=130°，∠B=30°，c=10，] 求[b]與[a]的長.（精確到1.）

由此，將正弦定理的學習定位在提出問題、分析問題、解決問題的模式上進行.

（2）問題探究.

對于上述數(shù)學問題，高一學生在初中階段已經(jīng)可以通過作高，將原有斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決. 將未知轉(zhuǎn)化為已知是解決問題常用的思想方法，在課堂中必然會有部分學生采用. 那么，如何讓學生回避這種方法，而將新問題與高中所學任意角的三角函數(shù)知識進行聯(lián)系呢？

在本節(jié)課的設(shè)計中，采取“以疏代阻”的方式，直接將此抽象后的數(shù)學問題作為課前思考問題，讓學生嘗試解決，從而找到學生在問題解決中的共性——作高，并利用學生由作高造成的思路混亂、解題復(fù)雜提出問題：能否在斜三角形中直接求解？建立起作高解題的間接、復(fù)雜與正弦定理求解的直接、簡單的認知沖突，激發(fā)學生學習正弦定理的興趣.

（3）定理推導(dǎo).

正弦定理可以通過多種方法加以證明，具體如下.

① 作高法.

利用作高，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形證明. 此方法學生容易接受，但需要進行銳角、鈍角三角形的分類討論. 同時，此方法是建立在學生所學初中數(shù)學知識基礎(chǔ)上的，與教材知識體系的設(shè)定不符，因而可以作為課外補充.

② 向量法.

利用向量投影或數(shù)量積進行證明. 此方法是建立在理解向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上的. 而在教材體系中，向量知識在解三角形知識之后，因而可以作為向量的一類應(yīng)用來進行學習.

③ 解析法.

通過建系，利用三角函數(shù)定義證明. 解析法是教材中研究任意三角函數(shù)的基本方法，符合教材知識體系.

④ 外接圓法.

利用三角形的外接圓，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行證明. 此方法需要掌握一些與圓相關(guān)的知識與結(jié)論，對于使用滬教版教材的學生而言，此部分知識在初中被歸為拓展知識，屬于選學內(nèi)容. 故該方法可以作為課后拓展讓學有余力的學生開闊視野.

綜上所述，無論采用哪種證明方法，都與學生本身所具備的前期知識有著非常密切的聯(lián)系. 結(jié)合上述分析，本節(jié)課選擇解析法證明正弦定理. 通過斜三角形的內(nèi)角[A]是除直角外[0，π]內(nèi)的任意角，進而將此角置入平面直角坐標系中，利用任意角的三角函數(shù)知識給出三角形三點的坐標表示，再利用學生研究三角形的常用思維——研究面積、周長，引導(dǎo)學生表示面積，發(fā)現(xiàn)正弦定理，最終證明定理.

（4）定理鞏固.

正弦定理一般是以公式的形態(tài)被記憶，因而如何通過對定理的再分析來記憶公式就比較重要了.

本節(jié)課通過提出問題“觀察這個定理，它有什么特點值得關(guān)注？”來激發(fā)學生觀察與思考的興趣，得到“都是分式結(jié)構(gòu)”“它是對稱的”“都是三角形的邊與角”“都是用正弦”等觀察結(jié)果，從而幫助學生歸納總結(jié)出正弦定理具有“結(jié)構(gòu)的對稱性”“三角函數(shù)的單一性”“邊與角的對應(yīng)性”“范圍的任意性”“元素的完整性”等特征. 不僅幫助學生更好地記憶了公式，也引發(fā)了正弦定理的“對邊與對角”“知三求一”等初步應(yīng)用觀.

（5）定理應(yīng)用.

結(jié)合建立起的定理初步應(yīng)用觀，順利解決情境問題中已知三角形的“兩角一邊”求邊問題，以及已知“兩邊一對角”問題，形成具體的定理應(yīng)用觀.

進而，將“兩邊一對角”問題變式為“兩邊及夾角”，引發(fā)學生進一步思考：同樣是“已知兩邊一角”問題，為什么一個解法易，一個卻難？正弦定理容易解決的是哪些解斜三角形問題？通過建立原問題的“易”與變式問題的“難”的沖突，幫助學生構(gòu)建起在正弦定理應(yīng)用過程中對邊和角對應(yīng)性條件的重要性認知，同時幫助學生歸納總結(jié)出正弦定理可以解決已知“兩角一邊”“兩邊一對角”的三角形問題，進而引發(fā)思考：三角形中有沒有其他類似結(jié)論可以幫助解決此類問題？順勢為余弦定理的學習埋下伏筆.

（6）課堂小結(jié).

從所學引所思：今天我們學習了什么？

③ 兩類問題——已知“兩角一邊”或“兩邊一對角”的解斜三角形問題.

④ 兩種方法——（解決新問題的兩種方法）將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題進行解決;運用所學，探究出新的結(jié)論來解決.

通過對課堂的小結(jié)，進一步回顧、思考學習的過程，并總結(jié)出定理應(yīng)用的結(jié)構(gòu)化特征，從而幫助學生通過結(jié)構(gòu)分析順利提取相關(guān)知識解決問題.

通過以上六個環(huán)節(jié)，形成完整的正弦定理教學的具體實施路線，如圖3所示.

四、結(jié)語

數(shù)學定理基本教學結(jié)構(gòu)的形成是建立在對定理知識、定理學習、定理教授這三方面綜合分析的基礎(chǔ)上的. 簡單來說，就是建立在“學什么”“怎么學”“如何教”基礎(chǔ)上的相對統(tǒng)一與穩(wěn)定的教學結(jié)構(gòu). 在此結(jié)構(gòu)下形成的定理教學具體實施路線，能夠讓有限的定理教學課堂結(jié)構(gòu)更合理、組織更科學、教學更高效. 當然，這一結(jié)構(gòu)還有待在具體實踐過程中進一步檢驗與優(yōu)化.

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