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    構(gòu)建轉(zhuǎn)化關(guān)系 巧解多個(gè)三角形

    2022-03-27 21:59:30倪軍
    關(guān)鍵詞:正弦定理余弦定理

    倪軍

    摘 要:解三角形問題是高考試題中較為常見的一類命題,它涉及到邊、角、面積和周長的計(jì)算等.對于平面幾何問題,有時(shí)可將其分解成多個(gè)三角形進(jìn)行求解,這時(shí)則需要通過某種關(guān)系構(gòu)建等量關(guān)系進(jìn)行求解.

    關(guān)鍵詞:多個(gè)三角形;正弦定理;余弦定理

    中圖分類號:G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號:1008-0333(2022)04-0027-03

    利用正、余弦定理求解多個(gè)三角形問題,一般會(huì)以平面幾何為背景進(jìn)行命題,對于此類問題一般需要通過邊、角或向量知識(shí)為紐帶進(jìn)行求解.

    1 以邊為紐帶,巧解多個(gè)三角形在四邊形中,通過連接對角線,則可以構(gòu)造成兩個(gè)三角形,在三角形中,取其中一邊上一點(diǎn)與其該邊的頂點(diǎn)相互連接,則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)小三角形和一個(gè)大三角形,解決此類問題,一般可以通過求解其公共邊進(jìn)行解決.

    例1 如圖1,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=π3,∠ADC=π2,BC=2.

    (1)若△ABC的面積為332,求AC;

    (2)若AD=23,∠ACB=∠ACD+π3,求tan∠ACD.

    解析 (1)在△ABC中,因?yàn)锽C=2,

    ∠ABC=π3,

    S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=332,

    所以32AB=332,

    解得AB=3.在△ABC中,由余弦定理,得

    AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7.

    所以AC=7.

    (2)設(shè)∠ACD=α,

    則∠ACB=∠ACD+π3=α+π3.

    如圖1,在Rt△ACD中,因?yàn)锳D=23,

    圖1

    所以AC=ADsinα=23sinα.

    在△ABC中,∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α.

    由正弦定理,得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC.

    即2sinπ3-α=2332sinα.

    所以2sinπ3-α=sinα.

    所以232cosα-12sinα=sinα.

    即3cosα=2sinα.

    所以tanα=32.

    即tan∠ACD=32.

    點(diǎn)評 化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧,對于多個(gè)三角形的求解問題,通常可以先在一個(gè)三角形中進(jìn)行解三角形,求出公共邊的長或表達(dá)式,然后再根據(jù)另外一個(gè)三角形建立等式關(guān)系去求解題目所設(shè)置的問題.

    2 以角為紐帶,巧解多個(gè)三角形在三角形中,取其中一條邊上的一點(diǎn),與該對邊的頂點(diǎn)相互連接,則可構(gòu)成兩個(gè)三角形,其中這條邊的兩側(cè)所對應(yīng)的兩個(gè)互為補(bǔ)角的角所對應(yīng)的余弦值互為相反數(shù),因此可利用余弦定理分別在兩個(gè)三角形中去求解這兩個(gè)角的余弦值,再根據(jù)兩角間的關(guān)系建立等式.

    例2 (2021年山東滕州一中月考)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a(sinA+sinB)=2bsinB.

    (1)證明:A=B;

    (2)記線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)為D,若CD=17,b=5,求c.

    解析 (1)因?yàn)閍(sinA+sinB)=2bsinB,

    所以由正弦定理,得a(a+b)=2b2.

    整理,得(a+2b)(a-b)=0.

    因?yàn)閍+2b>0,所以a=b,即A=B.

    (2)設(shè)BD=x,則AD=2x.

    由余弦定理,得

    cos∠CDA=4x2+17-252×2x×17,

    cos∠CDB=x2+17-252×x×17.

    因?yàn)椤螩DA=π-∠CDB,

    所以4x2+17-252×2x×17=-x2+17-252×x×17.

    解得x=2.

    所以c=AB=3BD=6.

    點(diǎn)評 根據(jù)∠CDA=π-∠CDB和余弦定理將邊化角是迅速解答本題的關(guān)鍵,對于此類問題,在熟練運(yùn)用余弦定理及其推論的基礎(chǔ)上,還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.

    3 以向量為紐帶,巧解多個(gè)三角形

    平面向量的三種線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量,在三種線性運(yùn)算中,加法是最基本、最重要的運(yùn)算,減法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算都以加法運(yùn)算為基礎(chǔ),都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算.在多個(gè)三角形中就可以通過線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積構(gòu)建等式關(guān)系,其中,余弦定理就可以通過向量方法進(jìn)行推導(dǎo).

    例3 (2021年安徽安慶模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+

    sinA+sinBa-b=csinC,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),且AD=7.

    (1)求A;

    (2)若b=2c,求△ABC的面積.

    解析 (1)因?yàn)閟inA+sinBa-b+bsinC=csinC,由正弦定理,得

    a2-b2+bc=c2.

    由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=12.

    所以A=π3.

    (2)因?yàn)锳D為△ABC的中線,

    所以2AD=AB+AC.

    兩邊同時(shí)平方,得

    4AD2=AB2+AC2+2AB·ACcosA.

    故28=c2+b2+bc.

    因?yàn)閎=2c,所以c=2,b=4.

    所以S△ABC=12bcsinA=23.

    點(diǎn)評 進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形中,選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量,運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來解決.解決兩個(gè)三角形的解三角形問題,一般要用公共邊的向量表示其它邊,再進(jìn)行平方,進(jìn)而結(jié)合向量知識(shí)與余弦定理的關(guān)系進(jìn)行求解.

    跟蹤訓(xùn)練 △ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.

    (1)求sin∠Bsin∠C;

    (2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長.

    解析 (1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,

    S△ADC=12AC·ADsin∠CAD,

    因?yàn)镾△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,

    所以AB=2AC.

    由正弦定理,得

    sin∠Bsin∠C=ACAB=12.

    (2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC,

    所以BD=2.

    在△ABD和△ADC中,由余弦定理,得

    AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

    AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC,

    故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

    由(1)知AB=2AC,故AC=1.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 蔣敏,陳國林.數(shù)學(xué)思想在解三角形中的精彩綻放[J].數(shù)理化解題研究,2018(22):14-15.

    [2] 陳國林.三角問題靈活多變,多維探究發(fā)散思維[J].廣東教育,2020(11):22-24.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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