“逐差法”在實驗中的實際應(yīng)用及技巧

熊高云

摘 要：物理是一門以實驗為基礎(chǔ)的學(xué)科，實驗題是高考的必考題型，實驗中為了減小偶然誤差和充分利用實驗數(shù)據(jù)，經(jīng)常采用多次測量求平均值的方法，本文通過分析用逐差法處理“研究勻變速直線運動”實驗的方向，給教學(xué)中的教師和學(xué)習(xí)中的學(xué)生提供了一些思路

關(guān)鍵詞：逐差法;實驗誤差;平均值

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0118-03

高中物理中，在用紙帶法測量加速度時，很多資料介紹逐差法，但是從考試和學(xué)生練習(xí)情況來看，很多學(xué)生對逐差法理解和掌握得并不是很好，究其原因，實際上是大部分學(xué)生對逐差法的操作過程和原理不理解、不熟悉導(dǎo)致的，而很多題中出了紙帶所給的段數(shù)不同，有的為奇數(shù)段，有的為偶數(shù)段，更讓學(xué)生困惑，這要求學(xué)對逐差法要有更深入的理解，靈活遷移的能力，因此，從根本上把逐差法的應(yīng)用簡單化，使學(xué)生解題過程中有更輕松，從而得到了本篇文章研究的結(jié)果，現(xiàn)發(fā)出來與大學(xué)分享，同時歡迎大家的批評指正.

1 逐差法的適用條件——等差數(shù)列求公差

從理論上研究，一個物理量（因變量）隨另一個物理量（自變量）成線性規(guī)律變化時，如果自變量的變化選用等差遞增方式，則理論上講，因變量也應(yīng)該是等差遞增的，也就是說因變量數(shù)列應(yīng)是一個等差數(shù)列，但由于實驗測量時誤差的不可避免，實際測量得到的因變量的數(shù)列并不是嚴格的等差數(shù)列，在有的情況下，為了得到理論上需要的公差，就需要選用一種計算操作，實現(xiàn)多次測量求平均值的方法，從而求得誤差較小的公差值，這就是我們選用的所謂“逐差法”.

2 逐差法原理

如圖1為實驗中所得到的一條紙帶，相鄰兩點間的距離如圖所示，打點周期為T

由勻變速直線運動規(guī)律xm-xn=（m-n）aT2可得

x6-x3=3a1T2，x5-x2=3a2T2，x4-x1=3a3T2

解得

a1=x6-x33T2，a2=x5-x23T2，a3=x4-x13T2

求三個加速度的平均值即為

a-=a1+a2+a33=x6+x5+x4-x3-x2-x19T2

有學(xué)生疑惑為什么不利用Δx=aT2處理呢？即

x6-x5=a1T2，x5-x4=a2T2，x4-x3=a3T2，x3-x2=a4T2，x2-x1=a5T2

解得

a1=x6-x5T2，a2=x5-x4T2，a3=x4-x3T2，a4=x3-x2T2，a5=x2-x1T2

求五個加速度的平均值即為

a-=a1+a2+a3+a4+a55=x6-x15T2

由上述表達式可知，此方法只利用了紙帶中的兩段數(shù)據(jù)，偶然性很大即偶然誤差較大，所以不采用此方法.

3 逐差法的實際應(yīng)用及小技巧

（1）當(dāng)題所給紙帶中有偶數(shù)段數(shù)據(jù)（n段）且小于6段，可直接將n段平均分成兩大段，即前n2段和后n2段，加速度表達式中分子為后n2段之和減去前n2段之和，分母為總段數(shù)除以2再平方與時間間隔的平方的乘積，即為

a=（xn+xn-1+xn-2）-（xn-3+xn-4+xn-5）（n2）2T2

如紙帶為6段則用逐差法求加速度的表達式為

a-=x6+x（6-1）+x（6-2）-（x（6-3）+x（6-4）+x（6-5））（62）2T2

=x6+x5+x4-（x3+x2+x1）9T2

當(dāng)紙帶中為偶數(shù)段且大于6段，處理數(shù)據(jù)時可直接去除第6段以后的而選用前6段數(shù)據(jù)處理，因為紙帶太長實際實驗中所打點已成弧形，即紙帶已不再做直線運動，再選用這此數(shù)據(jù)處理將造成的誤差很大

（2）當(dāng)紙帶中的奇數(shù)段時，由逐差法原理可知，應(yīng)去除某一段再求解，由于第一段距離較小，測量誤差較大，可去除第一段則將奇數(shù)段變成偶數(shù)段進行處理

4 逐差法在高考實驗題中的應(yīng)用舉例

例1 （2019年全國高考真題）如圖2，某同學(xué)設(shè)計了測量鐵塊與木板間動摩擦因數(shù)的實驗.所用器材有：鐵架臺、長木板、鐵塊、米尺、電磁打點計時器、頻率50Hz的交流電源，紙帶等.回答下列問題：

（1）鐵塊與木板間動摩擦因數(shù)μ=（用木板與水平面的夾角θ、重力加速度g和鐵塊下滑的加速度a表示）

（2）某次實驗時，調(diào)整木板與水平面的夾角θ=30°，接通電源.開啟打點計時器，釋放鐵塊，鐵塊從靜止開始沿木板滑下，多次重復(fù)后選擇點跡清晰的一條紙帶，如圖3所示.圖中的點為計數(shù)點（每兩個相鄰的計數(shù)點間還有4個點未畫出），重力加速度為9.8 m/s2，可以計算出鐵塊與木板間的動摩擦因數(shù)為（結(jié)果保留2位小數(shù)）.

（1）由mgsinθ-μmgcosθ=ma，

解得：μ=gsinθ-agcosθ①

（2）由以上技巧可得逐加速度大小為a=SⅡ-SⅠ9T2得：SⅡ=（76.39-31.83）×10-2m，T=0.10 s，SⅠ=（31.83-5.00）×10-2m，故a=44.56×10-2-26.83×10-29×10-2 m/s2=1.97m/s2，代入①式，得μ=9.8×12-1.979.8×32=0.35

例2 （2020·浙江高考真題）在“探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系”和用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關(guān)系”實驗中

（1）都是通過分析紙帶上的點來測量物理量，下列說法正確的是.

A.都需要分析打點計時器打下的第一個點

B.都不需要分析打點計時器打下的第一個點

C.一條紙帶都只能獲得一組數(shù)據(jù)

D.一條紙帶都能獲得多組數(shù)據(jù)

（2）如圖4是兩條紙帶的一部分，A、B、C、…、G是紙帶上標(biāo)出的計數(shù)點，每兩個相鄰的計數(shù)點之間還有4個打出的點未畫出.其中圖（填“甲”或“乙”）所示的是用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關(guān)系”的實驗紙帶.“探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系”實驗中，小車的加速度大小a=m/s2（保留2位有效數(shù)字）.

（3）在用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關(guān)系”實驗中，平衡阻力后，小車與橡皮筋組成的系統(tǒng)在橡皮筋恢復(fù)形變前機械能（填“守恒”或“不守恒”）.

答案：BC 甲 0.40 不守恒

解析

（1）AB.在“探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系”和用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關(guān)系”實驗中均不需要打下的第一個點，前者主要利用紙帶求解加速度，后者主要研究兩點間的動能的變化，無需從第一個點進行研究.故A錯誤，B正確;

CD.牛頓第二定律實驗探究一條紙帶只能求解一個加速度，找到加速度a與質(zhì)量m和合外力F的一組對應(yīng)關(guān)系;動能定理探究也是從一條紙帶上選擇兩個點作為一組數(shù)據(jù)進行過程分析，故C正確，D錯誤.

（2）甲圖中紙帶后邊是勻速直線運動，說明甲圖應(yīng)為用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關(guān)系”實驗;

對乙紙帶采用逐差法求解加速度：

a=xDG-xAD9T2=0.40m/s2

（3）小車與橡皮筋在運動過程中，除了斜面的摩擦力外還會受到空氣的阻力作用，故平衡摩擦力運動過程中機械能不守恒.

從以上兩題可以看出，逐差法在高考中力學(xué)實驗中的地位，無論是運動學(xué)中的實驗，還是關(guān)于能量實驗中都要考查“逐差法”的應(yīng)用.

逐差法在實驗中的應(yīng)用，由于實驗數(shù)據(jù)較多，運算量大，學(xué)生在有限的考試時間內(nèi)不可能進行推導(dǎo)公式，可利用上述的小技巧，可為學(xué)生節(jié)省時間，提高解題速度.

參考文獻：

[1] 熊志權(quán).物理原來不能這樣考[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，2012.

[責(zé)任編輯：李 璟]