關(guān)于連續(xù)函數(shù)平均值的研究

王雪琴，楊秀香

(渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714099)

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

關(guān)于連續(xù)函數(shù)平均值的研究

王雪琴，楊秀香

(渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714099)

平均值概念在統(tǒng)計(jì)學(xué)中起著非常重要的作用，而定積分的本質(zhì)是積分和的極限值，也是一種特殊的“和”，具有統(tǒng)計(jì)的性質(zhì).因此從積分中值定理出發(fā)，引申出連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上平均值的概念，同時(shí)研究出該平均值函數(shù)相應(yīng)的基本性質(zhì)，進(jìn)而應(yīng)用這些性質(zhì)特征求函數(shù)的平均值、證明積分不等式等.在證明實(shí)例中得出在連續(xù)條件下幾何平均值小于等于算術(shù)平均值的結(jié)論，從而擴(kuò)大了平均值概念的范圍.

連續(xù)函數(shù)；平均值；統(tǒng)計(jì)量

平均值是初等統(tǒng)計(jì)學(xué)理論中的重要概念之一，它的應(yīng)用遍布各個(gè)研究領(lǐng)域.同時(shí)在數(shù)學(xué)不等式的研究中也起著非常重要的作用.文獻(xiàn)[1]研究的是關(guān)于離散型變量平均值的概念及有關(guān)性質(zhì)，采用多元函數(shù)極值方法建立了與算術(shù)平均值和幾何平均值有關(guān)的一個(gè)不等式．文獻(xiàn)[2]介紹了積分的概念及積分中值定理的相關(guān)內(nèi)容.文獻(xiàn)[3]研究了定積分概念的兩大特性，即區(qū)間具有可加性及局部小區(qū)間上的量具有線性性質(zhì).本文在上述研究的基礎(chǔ)上利用積分中值定理的理論特性研究了連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上平均值的相關(guān)概念、性質(zhì)及其在求平均值、證明積分不等式等中的應(yīng)用.為更深入地研究連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的各種統(tǒng)計(jì)規(guī)律奠定了一定的基礎(chǔ)，讓統(tǒng)計(jì)的范圍更加寬廣.

1 主要結(jié)論

1.1 基本概念

函數(shù)平均值的概念源于定積分中值定理.

關(guān)于定義1的幾點(diǎn)說(shuō)明：

(1)平均值具有廣泛的意義，它可以延伸到各種類型的平均值，包括多元函數(shù)在不同區(qū)域的平均值和各種加權(quán)平均值.

(2)由于定積分是一種特殊的“和”，因此它可以看成是離散量平均值的推廣.

(3)有時(shí)連續(xù)的條件可以降為可積，也可以求出函數(shù)的平均值，例如黎曼函數(shù)

在區(qū)間[0,1]上不連續(xù)但可積，其Af=0.

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，對(duì)于?x∈[a,b]，稱

為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值函數(shù).

說(shuō)明：區(qū)間可以由有限推廣到無(wú)限.

1.2 基本性質(zhì)

性質(zhì)1 平均值函數(shù)Af(x)在[a,b]上連續(xù)，則其在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

證明 由微積分定理及運(yùn)算性質(zhì)易得.

性質(zhì)2 若函數(shù)f∈C[a,b]單調(diào)遞增，則平均值函數(shù)Af(x)在[a,b]上單調(diào)遞增.

證明 由微積分中值定理及積分中值定理有

由于f在[a,b]上單調(diào)遞增，得A'(x)≥0.

故Af(x)在[a,b]上遞增.

性質(zhì)3 若函數(shù)f(x)為[0,+)上的凸函數(shù)，則平均值函數(shù)Af(x)也為[0,+)上的凸函數(shù).

證明 對(duì)于?x1,x2∈[0,+)及?λ∈[0,1]，因?yàn)閒(x)為[0,+)上的凸函數(shù)，所以

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

因此，由凸函數(shù)的定義得Af(x)也為[0,+)上的凸函數(shù).

性質(zhì)4 設(shè)函數(shù)f∈C[0,+)，若,則C.

說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處平均值的極限值為函數(shù)本身在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限值.

又當(dāng)T>M時(shí)，

性質(zhì)5 設(shè)函數(shù)f∈C[0,+)，若函數(shù)f(x)為[0,+)上周期為p的函數(shù)，則

說(shuō)明：周期函數(shù)的平均值在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限為函數(shù)在基本周期內(nèi)的平均值.

證明 由周期函數(shù)的定義有，對(duì)?x>0,?n∈N及x'∈[0,p),使得x=np+x'，于是

性質(zhì)6 若函數(shù)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)且f″(x)≥0(或≤0)，則

證明 若f″(x)≥0，由性質(zhì)3有Af(x)為凸函數(shù),再由凸函數(shù)的基本不等式有

說(shuō)明：(1)的平均值總是介于函數(shù)在中點(diǎn)的值與函數(shù)對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)值之間. (2)由該性質(zhì)可以得出下面的推論.

推論 設(shè)函數(shù)x=φ(t)在[a,b]上連續(xù)，f″(x)≥0(或≤0)，則

2 應(yīng)用

例1[1]求心臟線r=a(1+cosθ)在[0,2π]極徑的平均值.

由于f'(x)=-2xe-x2，f″(x)=2e-x2(2x2-1)≥0，

例4 求函數(shù)y=arctanx的平均值在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限.

由于該積分的計(jì)算難度較大，要想計(jì)算出值幾乎是不可能的，因此只能判斷出其值的范圍.

平均值的概念除了用來(lái)求平均值、證明不等式和估值外，還可以用來(lái)研究概論中連續(xù)函數(shù)的均值理論；平均值的概念除了在區(qū)間定義外，還可以推廣到曲線、平面、曲面、空間等各個(gè)領(lǐng)域，同時(shí)也可以根據(jù)實(shí)際需要定義多種加權(quán)平均值，這樣就擴(kuò)大了平均值的研究范圍，使其應(yīng)用更加廣泛.

[1] 李新平，孫明保.關(guān)于算術(shù)平均值與幾何平均值的兩個(gè)不等式[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，24(4)：7-9.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社,1985.

[4] 徐利治.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京：高等教育出版社,2008.

[5] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題及方法[M].北京：高等教育出版社,2002.

[6] 嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析中的方法與技巧[M].北京：高等教育出版社,2009.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Research on the Average Continuous Function

WANG Xue-qin, YANG Xiu-xiang

(School of Mathematics and Information Science, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

The concept plays in the statistical average of a very important role, and the definite integral is the integral nature and limits, but also a special "and" statistical in nature. Therefore, from the integral value theorem gives rise to a continuous the concept function on the interval for the mean, while developed the basic nature of the average of the corresponding functions. Further application of these properties feature averaging function, prove integral inequality, etc. come under continuous conditions of geometric mean less arithmetic average of the conclusions in the proof instances, thus expanding the scope of the average value of the concept.

continuous function; average value; statistic

2014-12-11

渭南師范學(xué)院教育科學(xué)研究課題：西方教師教育大學(xué)與中小學(xué)合作體制特點(diǎn)(2014JYKX021)

王雪琴(1962—)，女，陜西大荔人，渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)研究.

O174

A

1009-5128(2015)10-0022-04