復(fù)習(xí)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的“54321”

摘 要：勻變速直線運(yùn)動(dòng)作為運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心內(nèi)容，不僅是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且也是高考必考的知識(shí)，本文探究如何有效地復(fù)習(xí)和掌握有關(guān)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)要點(diǎn).

關(guān)鍵詞：勻變速直線運(yùn)動(dòng);速度公式;位移公式;位移;速度;加速度

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0096-05

勻變速直線運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)中最典型最基本的運(yùn)動(dòng)，有關(guān)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)是運(yùn)動(dòng)學(xué)奠基性的內(nèi)容之一，其重要性不言而喻.如何有效復(fù)習(xí)和熟練掌握相關(guān)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和方法，我們認(rèn)為必須緊緊抓住以下的“54321”.

1 把握五大公式

勻變速直線運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)中最為典型的運(yùn)動(dòng)，描述勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的五大公式是運(yùn)動(dòng)中最為重要的關(guān)系式.

1.1 速度公式

速度公式v=v0+at是描述做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體其速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，它涉及末速度v，初速度v0，加速度a，時(shí)間t等物理量，速度公式是一個(gè)矢量式.

例1 汽車(chē)以15m/s的速度在水平路面上勻速前進(jìn)，緊急制動(dòng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為3m/s2，則剎車(chē)后4s時(shí)汽車(chē)的速度為（? ）.

A. 27m/s B. 3m/s C. 10m/s D. 0

分析 由速度公式得：

v=v0+at=15m/s-3×4m/s=3m/s

可見(jiàn)，選項(xiàng)B正確.

1.2 位移公式

位移公式x=v0t+12at2是描述做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體其位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，它涉及位移x，初速度v0，加速度a，時(shí)間t等物理量，位移公式是一個(gè)矢量式.

例2 一輛汽車(chē)勻速行駛，然后以1m/s2的加速度加速行駛，從加速行駛開(kāi)始，經(jīng)12s行駛了180m，則汽車(chē)開(kāi)始加速時(shí)的初速度為多大？

分析 位移公式x=v0t+12at2得：v0=xt-at2=18012-1×122s=9m/s

所以，汽車(chē)開(kāi)始加速時(shí)的初速度為9m/s.

1.3 速度-位移關(guān)系式

速度-位移公式v2t-v20=2ax是描述做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體其速度與位移之間的關(guān)系，它涉及末速度vt，初速度v0，加速度a，位移x等物理量，速度-位移公式是一個(gè)矢量式.

例3 某航母跑道長(zhǎng)200 m，飛機(jī)在航母上滑行的最大加速度為6 m/s2，起飛需要的最低速度為50 m/s.那么，飛機(jī)在滑行前，需要借助彈射系統(tǒng)獲得的最小初速度為（? ）.

A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s

分析 位移公式v2t-v20=2ax得：

v0=v2t-2ax=502-2×6×200m/s=10 m/s，可見(jiàn)選項(xiàng)B正確.

1.4 平均速度公式

平均速度的定義式是v-=xt，對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，平均速度為v-=v0+vt2=vt2.平均速度公式是矢量式.

例4 一物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，通過(guò)一段位移Δx所用的時(shí)間為t1，緊接著通過(guò)下一段位移Δx所用的時(shí)間為t2.則物體運(yùn)動(dòng)的加速度為 （? ）.

A.2Δxt1-t2t1t2t1+t2? B.Δxt1-t2t1t2t1+t2

C.2Δxt1+t2t1t2t1-t2D.Δxt1+t2t1t2t1-t2

分析 用平均速度公式先求得物體通過(guò)第一段位移Δx的中時(shí)速度，即vt12=Δxt1，再求得物體通過(guò)第二段位移Δx的中時(shí)速度，即vt22=Δxt2，利用速度公式得：vt22-vt12=at12+t22，解得：a=2Δxt1-t2t1t2t1+t2.可見(jiàn)，選項(xiàng)A正確.

1.5 推論

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可推出xm-xn=（m-n）aT2.此公式是處理紙帶的理論依據(jù).

例5 質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由A到B和由B到C所用時(shí)間均是2s，且前2s和后2s位移分別為24m和60m，求該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度.

分析 由推論得：x2-x1=（2-1）aT2

即a=x2-x1T2=60-2422m/s2=9m/s2

在五大公式中，共涉及v0、vt、a、t、x等五個(gè)物理量，其中每個(gè)公式中都含有四個(gè)物理量，只要知道三個(gè)物理量就可求出另外一個(gè)物理量.在運(yùn)用五大公式解題時(shí)，務(wù)必注意公式的矢量性和適用性，務(wù)必注意解題的結(jié)果必須與實(shí)際問(wèn)題相符合.

2 熟悉四種方法

2.1 圖像法

有些問(wèn)題用公式法求解會(huì)遇到麻煩，甚至無(wú)法解答，但如果使用圖像法反而輕而易舉.

例6 某物體以一定的初速度從A點(diǎn)沖上固定的光滑斜面，到達(dá)斜面最高點(diǎn)C時(shí)速度恰為零，如圖1所示，已知物體運(yùn)動(dòng)到斜面長(zhǎng)度3/4處的B點(diǎn)時(shí)，所用的時(shí)間為t，求物體從B滑到C所用的時(shí)間.

分析 先作出物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的v-t圖像，如圖2所示.

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，相似三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)邊平方比，即：

S△AOCS△BDC=CO2CD2

圖1????????? 圖2

在v-t圖像中，圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體的位移，則S△AOC=4S△BDC

而OD=t，OC=t+tBC，將這些條件代入上式得：

41=t+tBC2t2BC，解得：tBC=t.

2.2 逆推法

有些問(wèn)題順著研究比較麻煩，倒過(guò)來(lái)解答就比較容易，比如解決勻減速至速度為零的運(yùn)動(dòng)，逆向過(guò)程就是初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，用逆推法解決起來(lái)更容易.

例7 （2019年全國(guó)卷1）如圖3所示，籃球架下的運(yùn)動(dòng)員原地垂直起跳扣籃，離地后重心上升的最大高度為H.上升第一個(gè)H4所用的時(shí)間為t1，第四個(gè)H4所用的時(shí)間為t2.不計(jì)空氣阻力，則t2t1滿足

（? ）.

A.1<t2t1<2??? B.2<t2t1<3

C.3<t2t1<4D.4<t2t1<5

圖3

分析 運(yùn)動(dòng)員起跳到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)末速度為零的勻減速運(yùn)動(dòng)，如果把這個(gè)運(yùn)動(dòng)逆過(guò)來(lái)分析，就是初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).對(duì)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)相同位移所用的時(shí)間之比為t1∶t2∶t3∶t4∶…=1∶2-1∶3-2∶4-3∶…，則運(yùn)動(dòng)員上升第一個(gè)H4所用的時(shí)間t1與第四個(gè)H4所用的時(shí)間t2之比為t2t1=14-3=3.732，可見(jiàn)選項(xiàng)C正確.

2.3 相對(duì)法

取不同的參考系，有時(shí)對(duì)一些特定問(wèn)題的解答會(huì)有意想不到的效果.

例8 火車(chē)以速率v1向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)在前方同一軌道上距車(chē)為s處有另一輛火車(chē)，它正沿相同的方向以較小的速率v2做勻速運(yùn)動(dòng)，于是司機(jī)立即使車(chē)做勻減速運(yùn)動(dòng)，該加速度大小為a，則要使兩車(chē)不相撞，加速度a應(yīng)滿足的關(guān)系為（? ）.

A.a≥v21-v222s? B.a≥v212s

C.a≥v222sD.a≥（v1-v2）22s

分析 取前方做勻速運(yùn)動(dòng)的火車(chē)為參考系，則后方火車(chē)的初速度為v1-v2，為使兩車(chē)剛好不相撞，只要后方火車(chē)通過(guò)位移s后的速度恰好減小為零即可，由位移-速度公式v2t-v20=2ax得：

（v1-v2）2=2as

解得：a=（v1-v2）22s

可見(jiàn)，要使兩車(chē)不相撞，加速度a應(yīng)滿足的關(guān)系為a≥（v1-v2）22s，選項(xiàng)D正確.

2.4 全程法

全程法是指對(duì)于某幾個(gè)小過(guò)程在加速度不變的情況下，可以取全程進(jìn)行研究，有時(shí)反而可以簡(jiǎn)化解題的繁瑣.

例9 物體在恒力F1作用下，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t到達(dá)B點(diǎn).這時(shí)突然撤去F1，改為恒力F2作用，又經(jīng)過(guò)時(shí)間2t 物體回到A點(diǎn).求F1 、 F2大小之比.

分析 物體在恒力F1作用下，根據(jù)牛頓第二定律得：F1=ma1

設(shè)過(guò)程的位移為x，由位移公式得：x=12a1t2

接著，物體在恒力F2作用下，先做勻減速運(yùn)動(dòng)，直至速度減為零，然后，物體開(kāi)始返回做勻加速運(yùn)動(dòng)，最后回到出發(fā)點(diǎn)，取全程運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究.

根據(jù)牛頓第二定律得：

F2=ma2

此時(shí)物體的位移為-x，由位移公式得：

-x=v×2t-12a22t2

由于后一過(guò)程的初速度等于前一過(guò)程的末速度，即：

v=a1t

解以上五式得：F1∶F2=4∶5

3 理解三個(gè)物理量

在運(yùn)動(dòng)學(xué)里，有三個(gè)重要的物理量，即位移x、速度v和加速度a.

（1）位移.描述物體位置變化的物理量，位移是矢量，用初位置指向末位置的有向線段來(lái)表示.

（2）速度.描述運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，速度是矢量，用位移與發(fā)生這個(gè)位移所用時(shí)間的比值來(lái)表示.平均速度是描述某段時(shí)間（或位移）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)快慢，瞬時(shí)速度是描述某時(shí)刻（或某位置）的運(yùn)動(dòng)快慢.

（3）加速度.描述速度變化快慢的物理量，用速度的變化與對(duì)應(yīng)的時(shí)間的比值來(lái)表示.加速度是矢量.

例10 以下說(shuō)法正確的是（? ）.

A.位移的大小與路程總是相等

B.速度的大小與位移的大小成正比

C.加速度的大小與速度的大小有關(guān)

D.加速度描述速度變化的快慢，但加速度的大小與速度的大小無(wú)關(guān)

分析 位移和路程是兩個(gè)不同的概念，只有在物體做方向不變的直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的位移大小才與路程相等，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;速度是描述物體位置改變快慢的物理量，速度的大小與位移的大小并無(wú)直接關(guān)系，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤;加速度的大小與速度的大小無(wú)關(guān)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

例11 某物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其初速度為v0=20m/s，經(jīng)時(shí)間t=5s，末速度vt=5m/s，方向與初速度方向相反，求：

（1）加速度多大？

（2）物體的位移多大？

（3）這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度？

分析 （1）由速度公式v=v0+at得：a=vt-v0t=-5-205m/s2=-5m/s2

（2）由位移公式x=v0t+12at2

得：x=20×5-12×5×52m=37.5m

（3）由平均速度的定義式v-=xt得，v-=37.55m/s=7.5m/s

4 關(guān)注二個(gè)注意點(diǎn)

4.1 矢量性

由于五大公式都是矢量式，使用時(shí)必須規(guī)定正方向，與正方向一致的物理量應(yīng)取正，與正方向相反的物理量應(yīng)取負(fù)，在解題時(shí)務(wù)必牢記.

例12 某同學(xué)將手中的“溜溜球”沿豎直方向向上拋出，已知其出手時(shí)的速度是5m/s，經(jīng)過(guò)3s，該球落到拋出點(diǎn)下某處，速度為25m/s，已知該球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度不變，則該球的加速度大小為（? ）.

A.6.67m/s2 B.10m/s2 C.8m/s2 D.9m/s2

錯(cuò)解 已知初速度v0=5m/s，末速度vt=25m/s，由速度公式v=v0+at得：

a=vt-v0t=25-53m/s2=6.67m/s2

則選項(xiàng)A正確.

正解 選取豎直向上的方向?yàn)檎较颍瑒t物體的初速度為v0=5m/s，末速度vt=-25m/s，由速度公式v=v0+at得：

a=vt-v0t=-25-53m/s2=-10m/s2

加速度為負(fù)，表示加速度的方向與正方向相反，即加速度a的方向沿豎直向下方向，故選項(xiàng)B正確.4.2 相符性

應(yīng)用五大公式解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意解題的結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.

例13 汽車(chē)以15m/s的速度在水平路面上勻速前進(jìn)，緊急制動(dòng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為3m/s2，則剎車(chē)后6s時(shí)汽車(chē)的速度大小為（? ）.

A. 3m/s B. 2m/s C. 1m/s D. 0

錯(cuò)解 由速度公式v=v0+at得：v=15m/s-3×6m/s=-3m/s，可見(jiàn)剎車(chē)后6s時(shí)汽車(chē)的速度大小為3m/s，選項(xiàng)A正確.

正解 由速度公式v=v0+at可求得汽車(chē)速度減小為零的時(shí)間為：

t=v-v0a=0-15-3s=5s

由此可知汽車(chē)剎車(chē)5s后速度已經(jīng)減小到零，第6s汽車(chē)處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，剎車(chē)后6s時(shí)汽車(chē)的速度大小為零，故選項(xiàng)D正確.

5 處理一條紙帶

利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶求出物體的速度和加速度是力學(xué)實(shí)驗(yàn)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

（1）求速度.利用某段時(shí)間內(nèi)的平均速度與這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度大小相等的原理求出瞬時(shí)速度，即vt2=xt.

（2）求加速度.最典型的紙帶是具有6段位移（共有7個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，這里的位移是指相鄰的二個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)間的距離）的情形，由推論xm-xn=（m-n）aT2可得：

a1=x4-x13T2，a2=x5-x23T2 ，a3=x6-x33T2

則物體的加速度為：

a=a-=a1+a2+a33=x6+x5+x4-x3-x2-x13×3T2

例14 某同學(xué)研究小車(chē)的勻變速直線運(yùn)動(dòng).實(shí)驗(yàn)時(shí)，他將打點(diǎn)計(jì)時(shí)器接到頻率為50 HZ的交流電源上，得到一條紙帶，打出的部分計(jì)數(shù)點(diǎn)如圖4所示（每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)間還有4個(gè)點(diǎn)，圖中未畫(huà)出）.s1=3.59 cm，s2=4.41 cm，s3=5.19 cm，s4=5.97 cm，s5=6.78 cm，s6=7.64 cm.則小車(chē)的加速度a=m/s2（要求充分利用測(cè)量的數(shù)據(jù)），打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在打B點(diǎn)時(shí)小車(chē)的速度vB=m/s.（結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字）

圖4

分析 由于兩相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔T=0.1 s;

由 a=x6+x5+x4-x3-x2-x13×3T2

可得：

a=5.97+6.78+7.64-3.59-4.41-5.19×10-29×0.12m/s2

=0.80m/s2

打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在打B點(diǎn)時(shí)小車(chē)的速度

vB=s1+s22T=3.59+4.41×1022×0.1m/s

=0.40 m/s.

總之，在復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須牢牢把握“54321”，注意弄清概念，理解規(guī)律，掌握方法，提高能力，以達(dá)到高效復(fù)習(xí)的目的.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 成金德.淺談位移公式x=v0t+12at2的含義和應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化，2020（10）：33-35.

[責(zé)任編輯：李 璟]