對功的再認(rèn)識

張瑤

摘 要：功是在認(rèn)識能量的過程中產(chǎn)生的一個物理概念。歷史上對功的認(rèn)識比對能量的認(rèn)識晚，其認(rèn)識過程是一個漫長的歷史過程。直到現(xiàn)在，人們還不斷地對功進(jìn)行認(rèn)識和探究。本文結(jié)合物理學(xué)史對功進(jìn)行了再認(rèn)識，認(rèn)為不管對功作何理解，都不能脫離“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一實際意義。

關(guān)鍵詞：功；能量；動能；位移；受力質(zhì)點元

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）5-0047-3

目前，對功的理解眾說紛紜，各自都有一些道理。但有些理解存在欠妥之處，如功的概念，特別是對功的表達(dá)式中位移的理解，人們對其爭論不休，各執(zhí)一詞。有的認(rèn)為，該位移是物體的位移，而有的認(rèn)為該位移應(yīng)該是作用點的位移，等等。這讓很多學(xué)習(xí)者感到很困惑，特別是對中學(xué)生來說，功的概念本來就很抽象，剛接觸到功的概念，對功的理解難度就較大，如功的物理意義，計算力做的功時應(yīng)該用什么位移等。因此，這也引起了不少中學(xué)物理教師對這一問題的思考，以及對這一概念的進(jìn)一步探討和認(rèn)識。

本文將從以下三點談?wù)劰P者對功的認(rèn)識和理解。

1 歷史上對功的認(rèn)識

科學(xué)并沒有捷徑，道路是曲折而艱辛的。如對功這一概念的認(rèn)識，并不是像中學(xué)生接觸這一概念時想象的那么簡單，而是經(jīng)歷了很多科學(xué)家的努力，最終才使這一概念清晰明了。

對功的認(rèn)識，可以從笛卡兒學(xué)派和萊布尼茲學(xué)派關(guān)于“運(yùn)動量度”的一場曠日持久的爭論說起。經(jīng)過對碰撞問題的研究，笛卡爾認(rèn)為用“運(yùn)動量”（也就是現(xiàn)在所說的動量）作為物體運(yùn)動的量度；而萊布尼茲主張用“活力”（也就是現(xiàn)在所說的動能）作為物體運(yùn)動的度量。萊布尼茲的觀點是繼承了惠更斯的思想?；莞菇?jīng)過碰撞實驗的研究后，得到“在兩個物體碰撞中，它們的重量及其速度平方乘積之和，在碰撞前后保持不變”的結(jié)論，即mv2不變。而導(dǎo)致mv2發(fā)生變化的是力對空間的積累效應(yīng)，這使得功這一概念開始萌芽。

萊布尼茨認(rèn)為，把重物舉到一定的高度。只要重物“大的程度”（也就是現(xiàn)在所說的質(zhì)量或重力）與被舉起的高度的乘積具有相同值，重物將獲得相同的“活力”。后來，工程師卡諾在他的論文中，確立了活力與機(jī)械功之間的關(guān)系，并用重物“大的程度”與被舉起的高度的乘積來評價機(jī)器的作用，他把這一乘積稱為“作用距”。而蒙日把這一乘積稱為“動力效應(yīng)”。之后，科里奧利建議把■mv2作為“活力”，將F·S命名為“功”。并且蓬瑟勒繼續(xù)保持了這種用法，他采用“千克·米”作為功的單位?，F(xiàn)在我們雖繼續(xù)延用這一概念，但單位是“牛頓·米”，或“焦耳”。

2 對“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一物理意義的理解

正如本文前面所說，功是力對空間的積累效應(yīng)，之所以出現(xiàn)這一概念，是為了度量能量變化的多少。從牛頓第二定律F=m■中可以推論出質(zhì)點動能定理，而功的定義式的依據(jù)正是質(zhì)點動能定理。將上式兩邊同時點乘元位移dr，即F·dr=m■·dr=m■·dv，在該式中，v是F直接作用的質(zhì)點的速度，因此如果dr是此受力質(zhì)點的元位移，那么dr=vdt，則有：

F·dr =mv·dv=d（■mv2）。

即元功d（A）=d（■mv2），此式是質(zhì)點動能定理的微分形式。

它表明：功是引起動能變化的原因。因此，可以用功來度量動能變化的多少。這只是在機(jī)械功的范圍，推廣到所有非熱傳遞引起的能量的變化，也可以用功來度量。所以說，功的物理意義是“能量轉(zhuǎn)化的量度”，對功的任何理解都不能脫離這一物理意義。

3 對功的表達(dá)式中位移的理解

對功的表達(dá)式中的位移，引起了很多爭論，特別是在中學(xué)教學(xué)中。由于教學(xué)知識的局限性，加上人教版教材《物理2》（必修）對這個位移沒有指明是什么的位移，而魯科版教材《物理2》（必修）把這個位移明確為物體的位移，這就讓人更加困惑了。所以，有人說應(yīng)理解為物體的位移，而有人說應(yīng)理解為作用點的位移，還有其他一些觀點，但持這兩種觀點的人較多。持第一種觀點的人大多都搬出這樣一類的例子來證明自己的觀點：

例1 人抱在粗糙的電桿上，緩慢往下運(yùn)動，問人對電桿是否做功？

很顯然，根據(jù)生活實際，人對電桿是不做功的。理由是，電桿雖然受到人施加的摩擦力，但電桿并沒有發(fā)生位移，所以人對電桿不做功。如果把表達(dá)式中的位移看成作用點的位移，那么人對電桿的摩擦力的作用點是有位移的，所以人對電桿就做了功，這與生活實際相矛盾。

持第二種觀點的人大多搬出另外一類例子來證明自己的觀點：

例2 如圖1所示，質(zhì)量為m的物體上固定一光滑滑輪（質(zhì)量不計），放在傾角為θ的光滑斜面上的M點（用手扶著）。斜面頂端系一根不可伸長的輕繩，輕繩繞過滑輪且與斜面平行，現(xiàn)用一豎直向上的力F拉繩子另一端，使物體緩慢沿斜面向上運(yùn)動s的距離。問該過程中力F對物體做了多少功？

解析 根據(jù)功的表達(dá)式W=Fscosα，可以證明，題目中的F=■是一個恒力，而位移應(yīng)該是圖2中的s'，而不是物體的s，設(shè)F與s'的夾角為β，則s與G'的夾角也為β，且β=■，則：s'=2scosβ。所以，F(xiàn)對物體做的功

W=Fs'cosβ=2Fscos2β=Fs（1+sinθ）。

■

圖2 例2分析圖

如果將F代入上式，那么，W=mgssinθ，這與實際情況是相符合的。但是，把物體的位移s代入功的計算式，將會得到W=Fssinθ≠mgssinθ，這與實際情況相違背。

其實，無論是哪種理解，都不能脫離“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一實際意義。從上面質(zhì)點動能定理的微分式中可以看出，公式中的位移應(yīng)該是受力質(zhì)點的位移，不能簡單地理解為物體的位移或作用點的位移。這在高等教育出版社出版的普通物理學(xué)教程《力學(xué)》第四章第2節(jié)有明確的表述和論證，功的表達(dá)式中位移是受力質(zhì)點元的位移。

如果受力物體是剛體，且剛體只有平動，例1中的觀點是正確的。這種情況下，只是受力質(zhì)點元發(fā)生了轉(zhuǎn)移，并非位移。如果只局限于中學(xué)物理知識范圍，可以認(rèn)為受力質(zhì)點元和力的作用點重合，例2的觀點也是正確的。

但是，位移是一個相對量，在計算功時，要明確受力質(zhì)點元的位移是相對于哪個參考系的位移。從下面的例子可以看出。

例3 在傾角為θ的粗糙斜面上有一半徑為R的圓柱體，由靜止開始無相對滑動地滾下。求斜面對圓柱體做的功？

解析 首先，要明確該題中的摩擦力為滾動摩擦力。若選斜面為參考系，則摩擦力不做功，圓柱體的機(jī)械能守恒。因為對于斜面，圓柱體受力質(zhì)點元沒有發(fā)生位移，故摩擦力做功為零；若選圓柱體的中心軸為參考系，那么摩擦力做功，使圓柱體的部分平動能轉(zhuǎn)化成了轉(zhuǎn)動能，但是轉(zhuǎn)化的過程中并不消耗機(jī)械能。

總之，對功的理解，應(yīng)該結(jié)合物理學(xué)史，不能背離功的實際意義，那么對功就不難理解。跳出中學(xué)物理知識的局限范圍，可以發(fā)現(xiàn)，功的表達(dá)式中的位移指的是受力質(zhì)點元的位移，并不能簡單地認(rèn)為是物體的位移或作用點的位移。

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（欄目編輯 陳 潔）