概率統(tǒng)計(jì)在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

摘 要：保險(xiǎn)作為一種以經(jīng)濟(jì)保障為基礎(chǔ)的金融制度安排，以合同的形式實(shí)現(xiàn)投保人轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)和理財(cái)計(jì)劃的目標(biāo)。保險(xiǎn)公司為提高保險(xiǎn)理賠效率，需要建立概率模型，對(duì)不確定的事件進(jìn)行數(shù)理預(yù)測(cè)。本文重點(diǎn)闡述了概率統(tǒng)計(jì)在保險(xiǎn)中的應(yīng)用，綜合描述了概率統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)變量、中心極限定理、大數(shù)定律的定義，并結(jié)合具體案例加以分析，深入探究概率統(tǒng)計(jì)在承保及保險(xiǎn)理賠中的重要指導(dǎo)意義。同時(shí)，通過對(duì)實(shí)際情況的總結(jié)和歸納，為使概率統(tǒng)計(jì)更好地應(yīng)用于保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中提供建議。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì);保險(xiǎn);中心極限定理;大數(shù)定律;應(yīng)用

本文索引：李詩琪.<變量 2>[J].中國(guó)商論，2022（06）：-102.

中圖分類號(hào)：F842 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-0298（2022）03（b）--03

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是基于大量同類隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一個(gè)結(jié)果可能性的大小做出描述的科學(xué)，在自然科學(xué)及經(jīng)濟(jì)工作中都有廣泛的應(yīng)用。隨著金融市場(chǎng)的繁榮和發(fā)展，各式各樣的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)如雨后春筍般涌現(xiàn)。自然災(zāi)害和意外事故是保險(xiǎn)產(chǎn)生和發(fā)展的自然基礎(chǔ)，決定了風(fēng)險(xiǎn)的存在，由于風(fēng)險(xiǎn)具有損害性和普遍性，且單一風(fēng)險(xiǎn)具有不確定性。因此，在一定時(shí)間和空間內(nèi)，風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生頻率及損失程度只能被降低，卻無法被徹底消除，人們通過轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險(xiǎn)，才能相對(duì)減小風(fēng)險(xiǎn)。保險(xiǎn)作為風(fēng)險(xiǎn)管理的方式，需要估算風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率及損失率來作為開展業(yè)務(wù)、制定保費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù)，而概率統(tǒng)計(jì)恰恰能夠研究風(fēng)險(xiǎn)不確定性在大數(shù)中呈現(xiàn)出的規(guī)律性。本文就保險(xiǎn)中的概率統(tǒng)計(jì)模型及應(yīng)用情況進(jìn)行簡(jiǎn)單討論。

1 隨機(jī)變量與概率分布

在概率統(tǒng)計(jì)中，隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的數(shù)量表現(xiàn)，隨機(jī)變量的概率分布描述的是變量取值與相應(yīng)概率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。意外的發(fā)生具有不確定性，因此在保險(xiǎn)中，為了達(dá)到統(tǒng)計(jì)事件結(jié)果的目的，需要使用隨機(jī)變量及其分布描述由意外造成的損失的數(shù)量及損失可能性的大小。

例：某航運(yùn)公司為4艘船舶投保，發(fā)生事故的船舶數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，以X表示發(fā)生事故的船舶數(shù)目，X的可能取值是0、1、2、3、4，根據(jù)保險(xiǎn)公司的統(tǒng)計(jì)，每種結(jié)果發(fā)生的概率如表1所示。

以上表達(dá)方式，是船舶發(fā)生事故的概率分布，在風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)中，常常由大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)抽象出可用數(shù)學(xué)公式描述的分布規(guī)律。保險(xiǎn)理論中，一些隨機(jī)變量近似服從于理論概率分布，其中常用的有正態(tài)分布、二項(xiàng)分布等，二項(xiàng)分布可用來計(jì)算n個(gè)投保個(gè)體中有k個(gè)個(gè)體需要理賠的概率，當(dāng)信息量不足時(shí)，通常使用正態(tài)分布作為近似估計(jì)。正態(tài)分布是大數(shù)規(guī)律下的表現(xiàn)形態(tài)，在保險(xiǎn)概率統(tǒng)計(jì)中發(fā)揮著重要的作用。

2 中心極限定理

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則對(duì)任意實(shí)數(shù)y恒有：

此定理是概率論歷史上第一個(gè)中心極限定理，專門針對(duì)二項(xiàng)分布，因此被稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”。保險(xiǎn)公司可以運(yùn)用此定理初步估算保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的盈利情況及預(yù)判承保某一保險(xiǎn)業(yè)務(wù)時(shí)，是否會(huì)虧本。

2.1 確定公司盈虧情況

假設(shè)某保險(xiǎn)公司有3000人參加保險(xiǎn)，投保人需要每年繳納保費(fèi)10元，若被保險(xiǎn)人死亡，保險(xiǎn)受益人可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金。已有數(shù)據(jù)顯示，人在一年內(nèi)死亡的概率是0.001，不考慮保費(fèi)以外的收入和賠償金以外的支出，分析保險(xiǎn)公司虧損的概率。解：

設(shè)表示一年內(nèi)被保險(xiǎn)人的死亡人數(shù)

死亡人數(shù)服從分布，保險(xiǎn)公司的年保費(fèi)收入為元，需要賠付的賠償金為，利潤(rùn)為。

由中心極限定理可知，近似服從分布正態(tài)分布。

故保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0，此業(yè)務(wù)可以大力推廣。

2.2 評(píng)估發(fā)展目標(biāo)可行性

中心極限定理可以幫助保險(xiǎn)公司估算達(dá)到目標(biāo)利潤(rùn)值可能性的大小，評(píng)估發(fā)展目標(biāo)的可行性。設(shè)該公司的目標(biāo)年利潤(rùn)為20000元，公司想要了解能達(dá)到目標(biāo)年利潤(rùn)的可能性為多大。

所以，該公司有87.6%的可能性達(dá)到年盈利20000元的目標(biāo)。

2.3 核算償付金額

假設(shè)保險(xiǎn)公司想要保證年利潤(rùn)至少為20000元的概率不低于99%，計(jì)算可設(shè)的最大賠償金數(shù)額。

設(shè)賠償金為a元，則年利潤(rùn)為元，

由中心極限定理可知，上式等價(jià)于?解得，

因此，保險(xiǎn)公司若想保證每年的利潤(rùn)不低于20000元的概率為99%，賠償金不可超過1421.73元。從本例中可以看出，恰當(dāng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)中的中心極限定理，可以幫助保險(xiǎn)公司對(duì)業(yè)務(wù)的盈虧情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)能根據(jù)已經(jīng)統(tǒng)計(jì)出的不同風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生概率、公司自身盈利需求等制定相應(yīng)的保費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。

3 大數(shù)定律

大數(shù)定律描述的是大量重復(fù)隨機(jī)事件的概率分布情況。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，大量隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性的相互抵消，會(huì)呈現(xiàn)出一定的數(shù)量規(guī)律。保險(xiǎn)中常用的大數(shù)定律為伯努利大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律。

3.1 伯努利大數(shù)定律

設(shè)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)，是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意給定的>0，總有：

伯努利大數(shù)定律用數(shù)學(xué)方式證明了隨機(jī)變量的頻率穩(wěn)定性，由定律可以看出，當(dāng)事件數(shù)量足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率，證明了n足夠大時(shí)，頻率的穩(wěn)定性。在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中，損失頻率指一定數(shù)量的危險(xiǎn)單位在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生損失的程度和次數(shù)。由伯努利大數(shù)定律可以看出，當(dāng)保險(xiǎn)標(biāo)的的數(shù)目n足夠大時(shí)，損失頻率值趨于一個(gè)穩(wěn)定值，即損失概率，而損失概率在保險(xiǎn)公司制定保費(fèi)、預(yù)估收益等環(huán)節(jié)中發(fā)揮著重要的參考價(jià)值。保險(xiǎn)公司在估計(jì)某一類保險(xiǎn)標(biāo)的的損失概率前，往往需要先根據(jù)以往承保的數(shù)據(jù)計(jì)算損失頻率，當(dāng)觀察次數(shù)足夠多時(shí)，損失頻率無限接近于損失概率，可被當(dāng)作損失概率的近似估計(jì)值。

3.2 切比雪夫大數(shù)定律

設(shè)，，，…，為兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，且它們的期望值存在，記為（），每個(gè)隨機(jī)變量的方差有界，即存在常數(shù)，使，， 則對(duì)，，特別是，若有相同的期望，則。

切比雪夫大數(shù)定律的意義在于，對(duì)同一隨機(jī)變量進(jìn)行n次觀測(cè)，隨著n的增加，所得觀測(cè)值的平均值無限趨近于期望值的均值，若隨機(jī)變量的期望相同，則觀測(cè)值的平均值密集地分布在期望值附近。在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中，要遵循收支相抵原則制定保費(fèi)，就需要切比雪夫大數(shù)定律的運(yùn)用。保險(xiǎn)公司對(duì)某一個(gè)被保險(xiǎn)人支付的賠償金是不確定的，但當(dāng)被保險(xiǎn)人的數(shù)量足夠多時(shí)，總支出即賠償金的總額是基本確定的。保險(xiǎn)公司為了實(shí)現(xiàn)收支平衡，會(huì)將總支出平均到每一個(gè)投保人身上，即形成總賠償金等于純保費(fèi)總額。

該定理應(yīng)用于保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，相當(dāng)于n個(gè)投保人同時(shí)投保n個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的，每個(gè)標(biāo)的都有可能發(fā)生損失，且標(biāo)的之間是否發(fā)生損失相互獨(dú)立，每個(gè)投保人獲得的賠償金為（），則平均每位投保人得到的實(shí)際賠償金可以表示為。由于標(biāo)的相互獨(dú)立，故隨機(jī)變量也相互獨(dú)立， 又因?yàn)榈钠谕刀即嬖?，所以賠償金滿足切比雪夫大數(shù)定律的基本條件。當(dāng)投保人數(shù)n足夠大時(shí)，每個(gè)被保險(xiǎn)人所獲賠償金的均值等于每個(gè)被保險(xiǎn)人獲得賠償金期望值的均值，代表保險(xiǎn)公司向每個(gè)投保人收取的純保費(fèi)，因此平均每個(gè)被保險(xiǎn)人所獲賠償金與純保費(fèi)相等。

例：有5000人參加某保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)，根據(jù)公司以往經(jīng)驗(yàn)，一個(gè)人在一年內(nèi)死亡的概率為0.002，被保險(xiǎn)人死亡后，受益人可獲賠償金2000元，純保費(fèi)應(yīng)當(dāng)如何制定？（）表示第i個(gè)保險(xiǎn)受益人能領(lǐng)取到的賠償金。的概率分布如表2所示。

根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律，純保費(fèi)應(yīng)當(dāng)制定為4元。

本例中，假定風(fēng)險(xiǎn)獨(dú)立且同分布，是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了簡(jiǎn)化。在現(xiàn)實(shí)問題中，風(fēng)險(xiǎn)并不一定同分布，不同的被保險(xiǎn)人發(fā)生損失的概率不一定相同，保險(xiǎn)公司要給付不同個(gè)體賠償金的期望值也存在差異，這時(shí)保險(xiǎn)公司對(duì)不同的投保人就不會(huì)采取損失均攤原則，而會(huì)通過估計(jì)被保險(xiǎn)人風(fēng)險(xiǎn)水平，制定不同的保費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)和免賠額，實(shí)行差異化費(fèi)率，這種方式仍將大數(shù)定律作為理論依據(jù)。

4 在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的應(yīng)用

保險(xiǎn)公司在運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)分析保險(xiǎn)實(shí)務(wù)時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)。

4.1 確保數(shù)據(jù)真實(shí)有效

保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性和有效性，對(duì)損失概率等信息的估算需要基于真實(shí)有效的數(shù)據(jù)，來源不明、可靠性欠缺的數(shù)據(jù)會(huì)影響判斷的準(zhǔn)確性。

4.2 分組分析事故原因，技術(shù)手段解決問題

在分析前，按照事故發(fā)生的時(shí)間、類型、經(jīng)濟(jì)損失等對(duì)事故進(jìn)行分組，有利于進(jìn)一步分析事故發(fā)生的規(guī)律。數(shù)理統(tǒng)計(jì)雖可以反映出事故發(fā)生的原因，但解決問題仍然需要技術(shù)手段的支持。

4.3 注意事故調(diào)查的連續(xù)性和數(shù)量性

保險(xiǎn)公司可以借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)整理大量的事故信息，尋找事故的規(guī)律性，也能督促投保人消除保險(xiǎn)標(biāo)的的不安全因素和隱患，強(qiáng)化防災(zāi)防損工作的實(shí)施，從而科學(xué)地降低風(fēng)險(xiǎn)。大數(shù)定律同時(shí)要求保險(xiǎn)公司保證事故調(diào)查的持續(xù)性和數(shù)量性，及時(shí)跟蹤事故調(diào)查進(jìn)度，講求事故調(diào)查的實(shí)效性。

4.4 加強(qiáng)償付能力監(jiān)管，拓展承保業(yè)務(wù)量

當(dāng)保險(xiǎn)事故發(fā)生后，保險(xiǎn)公司需要按照保險(xiǎn)合同的規(guī)定，給付被保險(xiǎn)人保險(xiǎn)金，被保險(xiǎn)人能否及時(shí)得到足額賠付是保險(xiǎn)質(zhì)量高低的體現(xiàn)，保險(xiǎn)公司的償付能力是決定被保險(xiǎn)人能否享受應(yīng)有權(quán)益的基礎(chǔ)，也是公司能否長(zhǎng)足穩(wěn)定發(fā)展的關(guān)鍵。因此，保險(xiǎn)公司需要重視對(duì)自身償付能力的監(jiān)管，估算未來可能的償付風(fēng)險(xiǎn)，核算可能的償付金額，積極尋求途徑提高償付能力，維護(hù)被保險(xiǎn)人權(quán)益。

保險(xiǎn)是將少數(shù)不幸個(gè)體發(fā)生的損失分?jǐn)偨o投保人，大數(shù)定律作為保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的數(shù)理基礎(chǔ)，可以通過投保人人數(shù)的增加，將少量個(gè)體遭受損失的不確定性轉(zhuǎn)化為大量單位下的可預(yù)測(cè)損失。因此，保險(xiǎn)公司可以通過增加承保業(yè)務(wù)量來提高償付能力和產(chǎn)品核心競(jìng)爭(zhēng)力。

5 結(jié)語

在風(fēng)險(xiǎn)的基本含義中，損失的發(fā)生具有不確定性的狀態(tài)，投保人想要將未來可能的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給保險(xiǎn)人，所以選擇投保。概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是事物發(fā)展的不確定性及其中可能隱藏的規(guī)律性。保險(xiǎn)存在的基礎(chǔ)恰好與概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象不謀而合，因此概率統(tǒng)計(jì)在保險(xiǎn)發(fā)展中具有重要的指導(dǎo)意義。保險(xiǎn)公司在處理實(shí)際問題時(shí)，需要重視概率論中大數(shù)定律的重要內(nèi)涵，以此為數(shù)理基礎(chǔ)，通過收集大量已有數(shù)據(jù)，科學(xué)建立保險(xiǎn)產(chǎn)品模型，綜合運(yùn)用概率論及保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)的相關(guān)知識(shí)，為保險(xiǎn)業(yè)贏得更加廣闊的發(fā)展空間。

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Application of Probability Statistics in Insurance

School of Statistics and Information， Shanghai University of International Business and Economics

Shanghai? 201620

LI Shiqi

Abstract： As a kind of financial system arrangement based on economic security， insurance achieves the goal of transferring risk and financial plan of the insured in the form of contract. In order to improve the efficiency of insurance claims， insurance companies need to establish a probability model to predict uncertain events. This research focuses on the application of probability statistics in insurance， comprehensively describes the definitions of random variables， central limit theorem and law of large numbers in probability statistics， analyzes them with specific cases， conducts in-depth analysis of the important guiding significance of probability statistics in underwriting and insurance claims. At the same time， through the summary and induction of the actual situation， it provides suggestions for the better application of probability statistics in insurance practice.

Keywords： probability statistics; insurance; central limit theorem; law of large numbers; application