小學(xué)生數(shù)學(xué)“量感”及其培養(yǎng)策略

陳銀萍 劉世清 張 娟

(湖州師范學(xué)院教師教育學(xué)院，浙江 湖州 313000)

教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中沒(méi)有對(duì)“數(shù)感”與“量感”進(jìn)行區(qū)分，但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“量感”和“數(shù)感”卻是兩個(gè)既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念。許多專家、學(xué)者對(duì)“數(shù)感”已經(jīng)進(jìn)行了不同層面的解讀，而對(duì)“量感”的研究略顯單薄。培養(yǎng)學(xué)生的“量感”既能幫助學(xué)生區(qū)分?jǐn)?shù)與量的概念，又能提高學(xué)生的估測(cè)能力，還能有利于學(xué)生發(fā)展其他方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如空間觀念、幾何直觀、符號(hào)意識(shí)等。因此有必要對(duì)“量感”這一概念進(jìn)行更為深入的探討，發(fā)現(xiàn)并分析目前小學(xué)生“量感”培養(yǎng)在實(shí)踐中存在的問(wèn)題，并在梳理分析“量感”的內(nèi)涵及其具體體現(xiàn)的基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、“量感”的含義

有許多學(xué)者認(rèn)為，“‘量感’指的是學(xué)生在實(shí)際情境中主動(dòng)地、自覺(jué)地理解和運(yùn)用‘量’的態(tài)度和意識(shí)。它是一種對(duì)‘量’的直覺(jué)、對(duì)‘量’的敏感性、對(duì)‘量’的直接反映，是指不使用測(cè)量工具對(duì)某個(gè)量的大小進(jìn)行推斷，或推斷用某個(gè)單位表示的量與哪個(gè)實(shí)際物體的大小相吻合的一種感覺(jué)。”[1]還有一些學(xué)者認(rèn)為，“量感是一種對(duì)于多少、大小的感覺(jué)，這種感覺(jué)是通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的?！币虼?，我們可以認(rèn)為“量感”是一種對(duì)于物體各種量的感性認(rèn)識(shí)，例如大小、快慢、長(zhǎng)短、輕重等，“量感”需要在實(shí)踐活動(dòng)中不斷提升。

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，小學(xué)生“量感”的培養(yǎng)可以滲透在“度量單位”的教學(xué)中。對(duì)于“度量單位”，我們有必要知道它不僅包括抽象得到的(如分?jǐn)?shù)單位、數(shù)位等)，也包括借助工具或公式人為規(guī)定的(如長(zhǎng)度單位、面積單位等)。抽象得到的度量單位傾向于表示數(shù)的大小關(guān)系，借助工具或公式人為規(guī)定的度量單位則表示量的長(zhǎng)短、快慢等物理屬性。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“量感”一般包括“對(duì)量的區(qū)分(或量的辨別)”和“對(duì)量的推斷”。第一，“對(duì)量的辨別”是指區(qū)分不同度量單位表示的量與生活中的哪個(gè)量相吻合，這又分為兩種情況：一種情況是區(qū)分同一類型中不同的度量單位表示的量與生活中的哪個(gè)量相吻合，例如區(qū)分長(zhǎng)度單位中的1 dm和1 m分別表示多少長(zhǎng)度；另一種情況是區(qū)分不同類型度量單位表示的量與生活中的哪個(gè)量相吻合，例如區(qū)分1 cm2與1 m2分別表示“邊長(zhǎng)為1 cm的正方形的面積”“邊長(zhǎng)為1 m的正方形的面積”。第二，“對(duì)量的推斷”是指學(xué)生在不借助測(cè)量工具或計(jì)算公式的情況下能夠選擇合適的度量單位對(duì)某個(gè)量進(jìn)行推斷。例如，分別選擇“1 cm”和“1 m”作為度量單位對(duì)鉛筆長(zhǎng)度和教室寬度進(jìn)行估測(cè)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“度量知識(shí)”內(nèi)容分析

目前有關(guān)小學(xué)生“量感”的研究尚處于起步階段，但現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教師教學(xué)用書(shū)中均有體現(xiàn)對(duì)小學(xué)生“量感”的培養(yǎng)。由上文可知，“量感”分為“對(duì)量的區(qū)分”和“對(duì)量的推斷”，其中，學(xué)生建立度量單位表象的過(guò)程即“對(duì)量的區(qū)分”，不借助測(cè)量工具或計(jì)算公式而是通過(guò)建立起表象對(duì)生活中的某個(gè)實(shí)際量進(jìn)行估測(cè)的過(guò)程即“對(duì)量的推斷”。本文主要探討人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)和教師教學(xué)用書(shū)中蘊(yùn)含的“量感”(詳見(jiàn)表1)，為當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的“量感”提供幫助。

表1 人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教師教學(xué)用書(shū)中的“量感”

從表1可以看出，雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教師教學(xué)用書(shū)中尚未明確提出“量感”的概念，提及較多的是“操作技能”“解決問(wèn)題能力”以及“良好習(xí)慣”的養(yǎng)成。但是從教材編排和教師教學(xué)用書(shū)對(duì)教材編寫(xiě)意圖的解讀中，可以看出“量感”涉及的內(nèi)容還是不少的，范圍也很廣。例如：二年級(jí)下冊(cè)第八單元“克與千克”，教材先通過(guò)情境引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)質(zhì)量單位克和千克，再通過(guò)各種動(dòng)手操作活動(dòng)幫助學(xué)生初步建立1克和1千克的觀念，并引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)量單位表象建立的基礎(chǔ)上估量物體的質(zhì)量。二年級(jí)上冊(cè)第一單元“長(zhǎng)度單位”和三年級(jí)上冊(cè)第三單元“測(cè)量”，教材均有編排各種活動(dòng)來(lái)幫助學(xué)生建立長(zhǎng)度單位的概念表象，并安排了相應(yīng)的練習(xí)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生在建立概念表象的基礎(chǔ)上選擇合適的長(zhǎng)度單位估測(cè)物體的長(zhǎng)度。三年級(jí)上冊(cè)第一單元“時(shí)、分、秒”，由于時(shí)間不像質(zhì)量、長(zhǎng)度等概念那樣直觀，它看不見(jiàn)摸不著，比較抽象，因此教材在讓學(xué)生感知“1秒”“1分”這兩個(gè)時(shí)間單位的長(zhǎng)度時(shí)，通過(guò)聽(tīng)滴答聲、眨眼、拍手等多種形式的活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，幫助學(xué)生將抽象的時(shí)間轉(zhuǎn)化為具體的表象和行為，幫助學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間單位建立清晰、準(zhǔn)確的感知。三年級(jí)下冊(cè)第五單元“面積”和五年級(jí)下冊(cè)第三單元“長(zhǎng)方體和正方體”，教材從統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位引入統(tǒng)一的面積單位和體積單位，并給出相應(yīng)的實(shí)物圖片，幫助學(xué)生建立相應(yīng)面積單位和體積單位的概念表象。此外教材還安排了一些幫助學(xué)生加深對(duì)面積單位和體積單位認(rèn)識(shí)的活動(dòng)和練習(xí)題，例如，讓學(xué)生找出面積、體積分別是1平方米和1立方米的物體，為物體選擇合適的面積單位、體積單位等。

綜上，在小學(xué)數(shù)學(xué)中均涉及了“量感”的兩種表現(xiàn)形式，即“對(duì)量的辨別(或量的區(qū)分)”和“對(duì)量的推斷”?！傲扛小迸囵B(yǎng)幾乎貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，由易到難，符合小學(xué)生的思維能力發(fā)展。小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生“量感”的起始階段，教師應(yīng)在“度量知識(shí)”教學(xué)過(guò)程中全方位、多角度思考，以促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成較為精準(zhǔn)的“量感”。

三、“量感”培養(yǎng)的困境

首先，教材編排方面。由于小學(xué)數(shù)學(xué)教材不僅要基于小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平循序漸進(jìn)地編寫(xiě)教學(xué)內(nèi)容，還要兼顧不同領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識(shí)的交替學(xué)習(xí)，學(xué)科知識(shí)分散于各個(gè)年級(jí)、學(xué)期和單元。例如，一年級(jí)下冊(cè)，教材安排在學(xué)生學(xué)習(xí)完1厘米后直接學(xué)習(xí)1米而不先學(xué)1分米，是因?yàn)樯钪斜容^容易找到1厘米和1米長(zhǎng)的物體，而且將1毫米和1分米放在分?jǐn)?shù)前學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)。但是由于這樣散點(diǎn)化的編排，使得“度量單位”相關(guān)知識(shí)在實(shí)際教學(xué)中出現(xiàn)斷裂和跳躍等問(wèn)題。加上許多教師意識(shí)不到分布零散的度量知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，在教學(xué)中便不會(huì)著力揭示度量知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生自身也難以發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)度量單位的結(jié)構(gòu)體系。然而，幫助學(xué)生建構(gòu)度量單位的邏輯結(jié)構(gòu)體系是學(xué)生發(fā)展自身量感的重要過(guò)程。學(xué)生可以根據(jù)頭腦中或感知記憶中已經(jīng)建立起的小單位的量感，結(jié)合進(jìn)率關(guān)系，逐步遷移，形成對(duì)大數(shù)量的感知。例如，學(xué)生可以先對(duì)1平方厘米建立概念表象，在學(xué)習(xí)1平方米的時(shí)候就可以想象由100個(gè)1平方厘米正方形所鋪砌的正方形的面積。這樣的過(guò)程不僅鍛煉了學(xué)生對(duì)量的感知，還能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。教師在實(shí)際教學(xué)中可以合理調(diào)整教學(xué)內(nèi)容來(lái)彌補(bǔ)這一來(lái)自教材編寫(xiě)的“先天”缺陷。

其次，教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)方法選擇方面。在“度量單位”的日常教學(xué)中，一些教師希望通過(guò)在課件中展示豐富的圖像以支撐概念表象的建構(gòu)，而欣賞得來(lái)的表象對(duì)學(xué)生“量感”培養(yǎng)的作用有限。例如，在幫助學(xué)生建立長(zhǎng)度單位“厘米”和“米”的概念表象時(shí)，教師用PPT出示許多生活中的物品，教師通過(guò)講授法告訴學(xué)生哪些常見(jiàn)物體的長(zhǎng)度大約為1厘米、哪些物體的長(zhǎng)度大約為1米。殊不知學(xué)生其實(shí)難以通過(guò)PPT中已經(jīng)放大的實(shí)物圖來(lái)準(zhǔn)確建立相應(yīng)長(zhǎng)度單位的概念表象，如果教師將實(shí)物的比例弄錯(cuò)，還有可能導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)“長(zhǎng)頸鹿的身高約為6厘米”的錯(cuò)誤。由于學(xué)生沒(méi)有充分經(jīng)歷度量單位形成的體驗(yàn)過(guò)程，使得學(xué)生缺乏對(duì)量的感覺(jué)，從而無(wú)法讓學(xué)生真正獲得對(duì)度量單位內(nèi)涵及量值大小的真正感悟。此外，對(duì)于度量單位的表述，也需要教師在日常教學(xué)中注意，應(yīng)該在單位名稱前面加上“1”，原因有兩點(diǎn)：其一，無(wú)論度量單位的稱謂如何，人們都是用“1”來(lái)表示一個(gè)度量單位[2]；其二，幫助學(xué)生更好地理解度量單位表示的是一個(gè)量，而不僅僅是幾個(gè)中文或英文。例如，將長(zhǎng)度單位“厘米”改為“1厘米”，將面積單位“平方米”改為“1平方米”；或者教師可以告訴學(xué)生，在表述“度量單位”時(shí)可以將“1”省略。

最后，理想與現(xiàn)實(shí)的差距。雖然許多一線教師已經(jīng)意識(shí)到“量感”培養(yǎng)的重要性，在教學(xué)目標(biāo)中也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生“量感”的培養(yǎng)。但由于“空間圖形度量單位”方面的知識(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)中占比不大，考試中所占分值不多，安排的課時(shí)量也較少，而教師在實(shí)際課堂教學(xué)中要完成的教學(xué)目標(biāo)又不少，包括認(rèn)識(shí)度量的含義、體會(huì)統(tǒng)一度量單位的必要性、知道度量單位的作用；在動(dòng)手操作中認(rèn)識(shí)度量單位、建立起度量單位的概念表象[3]；學(xué)會(huì)用合適的度量單位和工具進(jìn)行度量，培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)能力，會(huì)利用進(jìn)率進(jìn)行單位換算[4]。因此，在課時(shí)量有限而要完成的教學(xué)目標(biāo)又較多的情況下，為了讓學(xué)生在考試中獲得較好的成績(jī)，很多教師在實(shí)際課堂教學(xué)中比較重視技能訓(xùn)練，而忽視對(duì)學(xué)生量感的培養(yǎng)。

四、小學(xué)生“量感”培養(yǎng)的教學(xué)策略

1.度量知識(shí)類比遷移

針對(duì)實(shí)際教學(xué)中出現(xiàn)的知識(shí)散點(diǎn)化和斷裂現(xiàn)象，教師在教學(xué)內(nèi)容的安排上，要運(yùn)用度量知識(shí)類比遷移的教學(xué)策略，以更好地將知識(shí)的結(jié)構(gòu)性育人價(jià)值在量感培養(yǎng)上落實(shí)。下面以“長(zhǎng)度單位”的教學(xué)內(nèi)容為例，梳理小學(xué)數(shù)學(xué)中可能會(huì)涉及的單位(如表2所示)。

表2 小學(xué)數(shù)學(xué)中可能涉及的單位

表2羅列的單位中，一些長(zhǎng)度單位在教材中沒(méi)有提及，一些單位的教學(xué)順序不太符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。例如，在教學(xué)“1公頃”時(shí)讓學(xué)生直接想象邊長(zhǎng)為100米的正方形有點(diǎn)困難，教師可以先幫助學(xué)生想象1平方百米的大小。再如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“1厘米”后引入“1米”，而數(shù)100個(gè)1厘米比較煩瑣，因此教師可以在學(xué)生建立起1厘米的表象后，讓學(xué)生感受 1—10個(gè) 1 厘米的長(zhǎng)度，初步建立起1分米的概念，并以此為支架搭建起1米的概念。如此順應(yīng)了長(zhǎng)度單位的產(chǎn)生過(guò)程，符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的特點(diǎn)。此外，教師要引導(dǎo)學(xué)生在一維度量單位的基礎(chǔ)上構(gòu)建二維乃至三維度量單位的概念，形成空間圖形度量單位的概念體系，并在這個(gè)過(guò)程中明確度量的本質(zhì)是通過(guò)數(shù)度量單位的個(gè)數(shù)來(lái)人為規(guī)定量的大小以及度量單位的本質(zhì)是人為規(guī)定的某個(gè)固定的標(biāo)準(zhǔn)量。

2.具身體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程

從度量知識(shí)的形成進(jìn)程來(lái)看，度量起源于人自身的實(shí)踐活動(dòng)。教師在實(shí)際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用自己的身體部位進(jìn)行度量活動(dòng)，體驗(yàn)度量單位和工具產(chǎn)生的過(guò)程，以獲取對(duì)各種量的親身體驗(yàn)。例如，用手和腳來(lái)度量生活中物體的長(zhǎng)度，源于感覺(jué)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的獨(dú)特體驗(yàn)，有利于學(xué)生建立清晰的量感。此外讓學(xué)生在經(jīng)歷度量單位標(biāo)準(zhǔn)化和度量工具公式優(yōu)化選擇的過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)度量單位的感知。需要注意的是，教學(xué)中以度量單位的實(shí)際量為標(biāo)準(zhǔn)，忌用課件中放大的度量單位，避免體驗(yàn)活動(dòng)淺表化，教學(xué)過(guò)程要有邏輯性、層層遞進(jìn)。

3.“估測(cè)+實(shí)測(cè)”積累經(jīng)驗(yàn)

前文提到，對(duì)量的區(qū)分指學(xué)生能表達(dá)出度量單位表示的實(shí)際量，例如1平方厘米為邊長(zhǎng)1厘米正方形的面積大?。粚?duì)量的推斷指學(xué)生能選擇合適的度量單位對(duì)量進(jìn)行估測(cè)，例如在估測(cè)講臺(tái)高度時(shí)選擇1分米為度量單位進(jìn)行估測(cè)。在實(shí)際學(xué)習(xí)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生先依靠已建立起的度量單位的表象選擇合適的度量單位，對(duì)生活學(xué)習(xí)中的量進(jìn)行估測(cè)，再借助度量工具進(jìn)行精確實(shí)測(cè)或用度量公式進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。例如，學(xué)生先不借助尺剪出一張面積約為4平方厘米的紙片，再利用尺子剪出一張標(biāo)準(zhǔn)的紙片進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生在不斷估測(cè)和實(shí)測(cè)的過(guò)程中形成較為精確的量感。但需要注意的是，教師要把握讓學(xué)生進(jìn)行“估測(cè)”的時(shí)機(jī)，因?yàn)閷W(xué)生在未具備一定經(jīng)驗(yàn)的情況下進(jìn)行“估測(cè)”，有大概率會(huì)出現(xiàn)隨口“亂猜”的現(xiàn)象，因此，要避免在未考慮學(xué)生實(shí)際的情況下一味地讓學(xué)生先估測(cè)再實(shí)測(cè)。