用斯坦納定理求解異面直線夾角的適用范圍

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(650000)崔永宏 劉丹 馬紹文

1 問(wèn)題提出

空間中兩條異面直線夾角問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)話題,如剛剛結(jié)束的2021年高考全國(guó)乙卷理科第5 題(文科第9題).這種題目往往會(huì)有兩種解答過(guò)程,綜合幾何法與向量坐標(biāo)法.追溯歷史緣由,歐幾里得的《幾何原本》與阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》采用圖形平移、添補(bǔ)、拆分等技巧性的幾何方法將幾何學(xué)的基本性質(zhì)與定理幾乎網(wǎng)絡(luò)殆盡,以至于20個(gè)世紀(jì)的后人在這方面增添的新內(nèi)容寥寥無(wú)幾[1].直到17世紀(jì),笛卡爾用代數(shù)的方法重新研究幾何圖形,幾何學(xué)發(fā)展進(jìn)入一個(gè)新的階段,并誕生射影幾何、微分幾何等研究領(lǐng)域.因此,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上,運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系,體會(huì)向量方法和綜合幾何法的共性和差異[2].

對(duì)于一些簡(jiǎn)單的規(guī)則幾何模型(如2015年高考浙江卷理科第13 題),采用綜合幾何法,通過(guò)圖形平移、添補(bǔ)、拆分,找到所求的角進(jìn)而直接求出結(jié)果,會(huì)是比較好的選擇.對(duì)于一些復(fù)雜的規(guī)則幾何模型(如2017年高考天津卷理科第17題),此時(shí)直接找兩條異面直線所成的角并不是一件容易的事情,往往需要建立空間坐標(biāo)系,借助空間向量解決問(wèn)題.有沒(méi)有其他方法解決空間中兩條異面直線所成夾角問(wèn)題?

2 斯坦納定理

斯坦納定理在四面體ABCD中,異面直線AB與CD所成夾角記為則

需要說(shuō)明的幾點(diǎn):

圖1

1.這個(gè)定理有的文獻(xiàn)中也稱作空間余弦定理[3],但是并不是余弦定理由二維平面向三維空間推廣得到的產(chǎn)物,二維平面的線段推廣到三維空間應(yīng)該是一個(gè)平面,事實(shí)上,余弦定理的推廣形式應(yīng)該是四面體余弦定理形式[4].因此,防止引起誤會(huì),我們采用斯坦納定理的說(shuō)法[5].

2.公式的記憶比較簡(jiǎn)單,分母的位置是所求的兩條直線,如圖2,不妨記A1A2,A3A4,分子則是外和2+ 內(nèi)和2-交叉2-交叉2的絕對(duì)值,即

圖2

3 模型初探

例1(2015年高考廣東卷理科第18 題第3 問(wèn))如圖3,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF= 2FB,CG= 2GB.求直線PA與直線FG所成角的余弦值.

圖3

從這個(gè)例題的解法可以看出:

1.本題具有一般性,能完整體現(xiàn)斯坦納定理在解決問(wèn)題時(shí)的解題過(guò)程與需要注意的細(xì)節(jié).解題步驟如下:

(1)確定所求夾角的兩條異面直線;(2)依據(jù)確定兩條直線的四個(gè)點(diǎn),補(bǔ)全以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體;(3)分別求出四面體的六條邊長(zhǎng)(很多時(shí)候只需要求三條,其他的題目會(huì)給出);(4)代入公式直接計(jì)算.

需要注意的細(xì)節(jié):(1)分子的位置帶有絕對(duì)值;(2)應(yīng)用勾股定理求解四面體邊長(zhǎng)特別需要重視截面圖.

2.對(duì)本例而言,斯坦納定理不是最好的選擇,原因有兩個(gè):(1)就解題過(guò)程而言,核心步驟是如何求四面體的邊長(zhǎng),即空間幾何體平面化,這很好的考察答題者的正確畫(huà)出空間體截面圖能力,空間想象能力,對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)提出較高的要求,可以說(shuō)定理自身固有一定難度;這個(gè)固有的難度比例題本身的難度還要大.(2)另一個(gè)原因,上面我們也提到過(guò),這是一個(gè)簡(jiǎn)單且規(guī)則的圖形,便于找到異面直線所成的角或者建立直角坐標(biāo)系.當(dāng)不滿足上述情況,例如讓平面動(dòng)起來(lái),這時(shí)斯坦納定理才會(huì)凸顯出它的價(jià)值.

4 舉例說(shuō)明

例2(2016年高考浙江卷文科第14 題)如圖4,已知平面四邊形ABCD,AB=BC= 3,CD= 1,AD=沿直線AC將ΔACD翻折成ΔACD′,直線AC與BD′所成的角的余弦的最大值是____.

圖4

注記這是一道異面直線夾角試題,不同的是幾何圖形是移動(dòng)的.采用向量坐標(biāo)法時(shí),難點(diǎn)在如何求得動(dòng)點(diǎn)D′的坐標(biāo).這需要明確點(diǎn)D′的運(yùn)動(dòng)軌跡,如果判斷不出D′的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓,這個(gè)方法是沒(méi)有辦法進(jìn)行下去的.采用綜合幾何法,難點(diǎn)在如何將AC與BD′平移到同一個(gè)平面.為此,解法三添加了三個(gè)輔助點(diǎn),七條輔助線,使得解題過(guò)程難點(diǎn)重重.上述兩種方法確實(shí)可行,但對(duì)中學(xué)生來(lái)講,難度太大,已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出斯坦納定理自身所帶的難度.斯坦納定理應(yīng)用到本題恰到好處,先用定理確定cosθ由BD′唯一決定,進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為BD′的范圍問(wèn)題.cosθ取最大值,需要BD′取最小值,顯而易見(jiàn)的是BD′隨著ΔACD′翻折逐漸變小,臨界點(diǎn)在兩平面重合時(shí),判斷此時(shí)BD的值,問(wèn)題得到解決.

5 舉一反例

是否對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡模型下的兩條異面直線夾角問(wèn)題,斯坦納定理都會(huì)有這樣的效果呢?

例4(2015年高考四川卷理科第14 題)如圖5,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成角為θ,則cosθ的最大值為_(kāi)___.

圖5

注記這是一道中規(guī)中矩的向量坐標(biāo)法求解異面直線夾角的試題.盡管是動(dòng)點(diǎn)軌跡模型,但動(dòng)點(diǎn)的軌跡清晰可見(jiàn),動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系下一目了然.此時(shí),強(qiáng)行使用斯坦納定理會(huì)使得運(yùn)算難度加大,變成為了使用方法而使用方法.綜合幾何法給出的過(guò)程最少,看似簡(jiǎn)單,但是顯然MF⊥AF的表述,不是刻意思考,又有幾人能真正做到.

6 總結(jié)

方法雖好,應(yīng)以注意使用的范圍為前提,強(qiáng)行為了方法而方法,只會(huì)讓數(shù)學(xué)變得更復(fù)雜.數(shù)學(xué)教育者研究解題方法是為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,讓數(shù)學(xué)變得更易于理解.當(dāng)你決定應(yīng)用斯坦納定理解決兩異面直線夾角問(wèn)題時(shí),那一定是向量坐標(biāo)法與綜合幾何法都束手無(wú)策的前提下.因?yàn)楸M管定理的表述形式很簡(jiǎn)潔也便于記憶,但是邊長(zhǎng)的計(jì)算卻有相當(dāng)難度,以2014年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第11 題為例,讀者可自行驗(yàn)證.

題目(2014年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第11 題)直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠BCA= 90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為( ).