傾聽(tīng)思考的聲音

黃振華

【摘 要】數(shù)學(xué)思考作為數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)核，是源于過(guò)程性的知識(shí)和方法，但又高于知識(shí)和方法的具有本質(zhì)屬性的活動(dòng)過(guò)程。教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的重視與有效培養(yǎng)，可以幫助學(xué)生奠定真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)計(jì)了大量需要學(xué)生思考的活動(dòng)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)思考的力量，培養(yǎng)其一生的思考習(xí)慣。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思考 內(nèi)涵 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從解決問(wèn)題開(kāi)始的，但更重要的是起步后持續(xù)的思考過(guò)程?？梢哉f(shuō)，沒(méi)有數(shù)學(xué)思考，就沒(méi)有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)思考類似于數(shù)學(xué)本體與頭腦本體的和諧互動(dòng)，透過(guò)數(shù)學(xué)思考的“頭腦泵”，學(xué)生訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)頭腦肌肉，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)頭腦網(wǎng)絡(luò)，架構(gòu)自己的數(shù)學(xué)頭腦模型，并在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候展示出數(shù)學(xué)思考帶來(lái)的價(jià)值和魅力。數(shù)學(xué)思考指向了學(xué)生頭腦深處最需要學(xué)習(xí)和磨煉的區(qū)間，它構(gòu)建了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和操練的路徑屬性，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得綿長(zhǎng)而深刻，使學(xué)數(shù)學(xué)的人更立體而充實(shí)。

一、數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵

思考是針對(duì)某一個(gè)或多個(gè)對(duì)象進(jìn)行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動(dòng)，是頭腦對(duì)外在和內(nèi)在事物本質(zhì)屬性和規(guī)律的內(nèi)在關(guān)照與外在闡釋。筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)思考是對(duì)數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象外在與內(nèi)涵科學(xué)性、規(guī)律性和反思性的整體把握及學(xué)習(xí)，是間接、深刻和機(jī)智的數(shù)學(xué)頭腦運(yùn)作，是對(duì)數(shù)學(xué)思維過(guò)程、數(shù)學(xué)思想運(yùn)作和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累的反思。它具有一定的路徑，也包含具體的目標(biāo)。數(shù)學(xué)思考滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神層次。數(shù)學(xué)思考強(qiáng)調(diào)了作為頭腦參與數(shù)學(xué)思考的路徑作用，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻化頭腦作用。不同的數(shù)學(xué)思考就是一條條不同的路，就是一條條問(wèn)題解決之路的假設(shè)。數(shù)學(xué)思考類似于間接、深刻的數(shù)學(xué)頭腦運(yùn)作過(guò)程。

對(duì)于數(shù)學(xué)思考，有三種理解很重要：一是數(shù)學(xué)思考不同于數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想主要是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。而數(shù)學(xué)思考是指針對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動(dòng)過(guò)程。它是一個(gè)數(shù)學(xué)思想碰撞形成的過(guò)程。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思考的衍生品，沒(méi)有思考就沒(méi)有思想。二是數(shù)學(xué)思考不同于數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思考包括數(shù)學(xué)思維，在概念的外延上比思維的范圍更寬泛。思維是對(duì)本質(zhì)和規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是一個(gè)科學(xué)的思考過(guò)程。而數(shù)學(xué)思考就沒(méi)那么高級(jí)和嚴(yán)苛，有關(guān)數(shù)學(xué)的外在和內(nèi)部的頭腦活動(dòng)都可以看作數(shù)學(xué)思考，包括淺層次的數(shù)學(xué)選擇、數(shù)學(xué)加工和思考反思等內(nèi)在頭腦活動(dòng)路徑和頭腦網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作品質(zhì)。三是數(shù)學(xué)思考在數(shù)學(xué)的世界里是居于下位的，思維是居于中位的，思想是居于上位的。無(wú)序散狀的有關(guān)數(shù)學(xué)頭腦活動(dòng)都可用于思考或它本身就是一種思考。數(shù)學(xué)思考的作用不同于數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)的思考更利于構(gòu)建數(shù)學(xué)血脈。建立數(shù)學(xué)血脈是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)實(shí)踐要求，是一種學(xué)習(xí)的思維路徑和數(shù)學(xué)智慧產(chǎn)生的源頭。數(shù)學(xué)思考可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)血脈，并對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行思考并解決問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)思考的成長(zhǎng)實(shí)踐

1.指向數(shù)學(xué)思考的精神成長(zhǎng)實(shí)踐

豐富的數(shù)學(xué)思考需要質(zhì)感的數(shù)學(xué)精神去灌溉。沒(méi)有數(shù)學(xué)精神的人很難有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考。為此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)用飽含精神的語(yǔ)言引導(dǎo)學(xué)生走入問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)夢(mèng)，逐漸帶領(lǐng)著學(xué)生自愿、自信和自省地搭建一層層的數(shù)學(xué)思考鏈，在一次次的思考搭建中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的精神成長(zhǎng)。具體體現(xiàn)在：

（1）理性精神引發(fā)理性數(shù)學(xué)思考。富有理性精神的引導(dǎo)問(wèn)題語(yǔ)言最能啟發(fā)并培養(yǎng)學(xué)生的理性思考，在教師的一環(huán)環(huán)轉(zhuǎn)化中改變學(xué)生的思考路徑，促進(jìn)其思考能力的發(fā)展。如在“平行四邊形面積的推導(dǎo)及計(jì)算”一課中，教師從兩個(gè)不規(guī)則圖形的面積引入，隨后在教學(xué)中不斷用核心問(wèn)題來(lái)引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：這兩個(gè)圖形的面積相等嗎？你是怎么知道的？這個(gè)平行四邊形的面積是多少？你是怎樣轉(zhuǎn)化的？轉(zhuǎn)化前后什么變了，什么沒(méi)有變？為什么要沿著高來(lái)剪？是不是所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形與轉(zhuǎn)化前的平行四邊形有什么關(guān)系？根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法，平行四邊形的面積該怎么算？我們剛才是怎樣推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式的？一個(gè)個(gè)引導(dǎo)性問(wèn)題就像一顆顆珍珠，穿起了一條指向核心本質(zhì)要義的美麗項(xiàng)鏈，避免了學(xué)生非理性的散漫思考。理性解決問(wèn)題使數(shù)學(xué)思考順暢、有序，避免了少部分學(xué)生陷入數(shù)學(xué)非理性思考“沼澤地”。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或許還有些感性，但深入下去必定是理性的世界。

（2）求實(shí)精神引發(fā)實(shí)效數(shù)學(xué)思考。數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)不得半點(diǎn)虛假。數(shù)學(xué)如此，數(shù)學(xué)思考的精神更是如此。如“分米和毫米”的教學(xué)中有一道實(shí)踐活動(dòng)題：蒜葉生長(zhǎng)情況記錄。教師布置任務(wù)時(shí)，講清了要種大蒜，再仔細(xì)觀察，最后發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生一周下來(lái)每天記錄的毫米數(shù)都是一樣的。這樣的結(jié)果肯定是有問(wèn)題的。之后，引導(dǎo)學(xué)生每人帶大蒜來(lái)班上，就種在自己的旁邊，每天記錄，這才剎住班上數(shù)學(xué)記錄不正之風(fēng)。數(shù)學(xué)的思考是伴隨數(shù)學(xué)的生活實(shí)踐的。就簡(jiǎn)單的長(zhǎng)度統(tǒng)計(jì)而言，倘若刮起了虛假風(fēng)，那學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的附屬精神衍生品就是有問(wèn)題的。

（3）創(chuàng)造精神引發(fā)創(chuàng)新數(shù)學(xué)思考。學(xué)生是屬于未來(lái)的，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考也應(yīng)是面向未來(lái)的。而未來(lái)是新的，而非循規(guī)蹈矩的舊。為此，教師教學(xué)時(shí)就需要借助各種“小意外”來(lái)打破學(xué)生固有的思考路徑，從而突破演化出一種新的思考方向和路徑。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)角”，突破“角的大小和邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”這一難點(diǎn)的時(shí)候，教師直接拿剪刀剪去大紅角邊的一段，就在這剪刀一剪而落的當(dāng)下，教師隨即問(wèn)：“紅角變大了沒(méi)有？”隨之學(xué)生的數(shù)學(xué)思考隨著感官和頭腦的運(yùn)作，得出原來(lái)邊的長(zhǎng)短不會(huì)影響角的大小。這一難點(diǎn)也在這一剪中被突破了，學(xué)生堅(jiān)定了思考。此外，學(xué)生學(xué)的不僅是知識(shí)，更是教師的創(chuàng)新方法。為此，循規(guī)蹈矩的課固然沒(méi)有問(wèn)題，但如果不去跨越可以逾越的數(shù)學(xué)思考邊界，就是一種落后。

2.指向數(shù)學(xué)思考的思維成長(zhǎng)實(shí)踐

（1）豐富數(shù)學(xué)思考的直接性思維教學(xué)。低、中年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方式是以具象化和直接性為主的。為此，教師的數(shù)學(xué)思考教學(xué)就必須以學(xué)定教，用學(xué)生便于理解的方式和形式來(lái)支撐學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，在學(xué)生思考的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)大做文章。教學(xué)“認(rèn)識(shí)方向”：小剛家在圖書(shū)館的南面600米，小芳家在圖書(shū)館的北面700米，小剛家到小芳家一共多少米？講解這道題時(shí)可以用畫線段圖的方法：兩家分別在圖書(shū)館的兩側(cè)，圖書(shū)館在中間。通過(guò)觀察清晰的圖，學(xué)生一眼就能發(fā)現(xiàn)這是一道應(yīng)該用加法計(jì)算的題目。當(dāng)然，問(wèn)題的解決是次要的，其間用到的轉(zhuǎn)化方法和思維方式才是主要的。

（2）豐富數(shù)學(xué)思考的操作性理解教學(xué)。數(shù)學(xué)思考的過(guò)程畢竟是隱性的，難以具象的。而操作性的理解過(guò)程則能很好地將看不見(jiàn)的過(guò)程變成看得見(jiàn)的過(guò)程。比如在教學(xué)“認(rèn)識(shí)角”時(shí)，在初步認(rèn)識(shí)角的環(huán)節(jié)中，教師先讓學(xué)生摸一尖點(diǎn)，問(wèn)：“這是角嗎？”學(xué)生說(shuō)：“不是?！苯處熢僮寣W(xué)生從尖點(diǎn)開(kāi)始分別往兩邊摸，感受邊的本質(zhì)，隨后讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)感受，說(shuō)說(shuō)想法，最后讓學(xué)生閉上眼睛想一想。這一整條鏈的設(shè)置，把學(xué)生關(guān)于角的特征與形狀的思考深深地變成了模型錨，沉淀在了學(xué)生的腦海里。為此，思考不僅是純腦力勞動(dòng)，有時(shí)恰當(dāng)?shù)牟僮鲗?duì)思考的深化和升華是很有益的。

（3）豐富數(shù)學(xué)思考的成長(zhǎng)性生成教學(xué)。數(shù)學(xué)思考是有生命的成長(zhǎng)體，不是一道道無(wú)生命的數(shù)學(xué)題。為此，數(shù)學(xué)中解決變式問(wèn)題就成了鍛煉數(shù)學(xué)思考的有效路徑，可以讓學(xué)生形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維，成為提煉數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵戰(zhàn)場(chǎng)。學(xué)習(xí)“數(shù)的次方”時(shí)，教師引出一個(gè)問(wèn)題——國(guó)王重賞一個(gè)功臣，功臣提出：“請(qǐng)您在這張國(guó)際象棋的第一個(gè)小格內(nèi)賞給我一粒麥子，第二個(gè)小格內(nèi)賞兩粒，第三個(gè)小格內(nèi)賞四粒，依此類推，接下去的每一小格中賞的麥子都是前面的2倍。陛下，棋盤上所有64格都擺好后，您就把這些麥子賞給我吧！”……教師問(wèn)：“國(guó)王能兌現(xiàn)承諾嗎？”有的學(xué)生說(shuō)能，有的學(xué)生說(shuō)不能。隨即實(shí)踐驗(yàn)證，最后證明是不可能的。從嘗試到最終的證明，從數(shù)學(xué)的思考到數(shù)學(xué)成長(zhǎng)，教學(xué)有時(shí)是需要跳出教材教教材的，或是基于教材的超越教材。

叩問(wèn)數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)需要數(shù)學(xué)思考的理性回歸，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中生命成長(zhǎng)的本真樣態(tài)。