妙用“三招”，求三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)

馮如芳

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).求三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)問題經(jīng)常出現(xiàn)在二項(xiàng)式定理的試題中.該類問題的難度一般不大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，但計(jì)算量較大.下面，筆者介紹幾個(gè)求三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)的“妙招”.

一、采用分組法

運(yùn)用分組法求三項(xiàng)展開式的系數(shù)，需將三項(xiàng)展開式中的兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理將該三項(xiàng)式展開，再將這兩項(xiàng)運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，最后綜合所得的結(jié)果，即可求出三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù).在運(yùn)用分組法解題時(shí)，要仔細(xì)觀察各項(xiàng)中的系數(shù)、變量的次數(shù)，合理化簡(jiǎn)并合并同類項(xiàng).

例1.求（x - -1）5的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

解：（x - -1）5=[（x -）-1]5= C （x -）5+ C （x -）4?（-1）+ C （x -）3（-1）2+ C （x -）2（-1）3+ C （x -）1（-1）4+C （-1）5，

而（x -）n 的展開式的第 r+1項(xiàng)為 Tr+1= Cn（r）xn -r?（-）r =Cn（r）（-1）rxn-2r ，

令 n -2r =0，其中0≤ r ≤n 且 r ∈ N，

當(dāng) n=5時(shí)，r 無解;當(dāng) n=4時(shí)，r =2;

當(dāng) n=3，r 無解;當(dāng) n=2時(shí)，r =1.

所以原展開式的常數(shù)項(xiàng)為 C C （-1）2×（-1）+ C×（-2）×（-1）3+ C （-1）5=-11.

展開式的常數(shù)項(xiàng)中必然不含x，因此x 的次數(shù)為0.可將x - -1分成兩組x -、1，用二項(xiàng)式定理將該式展開，然后運(yùn)用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求得（x -）n 的展開式的第 r +1項(xiàng)，再對(duì)n、 r 進(jìn)行分類討論，找到x 的次數(shù)為0的項(xiàng)，從而求得常數(shù)項(xiàng)的系數(shù).

二、運(yùn)用因式分解法

因式分解法是指通過因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)因式的乘積的形式.利用因式分解法求三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)，需把所給的三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積的形式，再根據(jù)二項(xiàng)式定理求解.

例2.求（x2+3x +2）5的展開式中 x 的系數(shù).

解：（x2+3x +2）5

=（x +1）5（x +2）5

=（C x0+ C x1+…+ C x5）（C 25x0+ C 24x1+…+ C 22x0），

所以 x 的系數(shù)為：C C 24+ C C 25=240.

我們先將三項(xiàng)式x2+3x +2分解為兩個(gè)因式 x+1、x +2的乘積的形式，再利用二項(xiàng)式定理分別將（x +1）5、（x +2）5展開，找出 x 的次數(shù)為1的項(xiàng)，通過計(jì)算就能求出展開式中 x 的系數(shù).

三、賦值

賦值法是指選取合適的特殊值，將其代入三項(xiàng)式或者其展開式中，從而求得項(xiàng)的系數(shù).該方法較為簡(jiǎn)單且易于理解，但并不適用于所有的三項(xiàng)展開式的系數(shù)問題，故在解題時(shí)，要根據(jù)題目的具體情況進(jìn)行具體分析.

例3.求（1+x +x2）11的展開式中偶次項(xiàng)的系數(shù)和.

解：由題可知（1+x +x2）11的最高次項(xiàng)為 x22，

可設(shè)（1+x +x2）11=b0+b1x1+b2x2+...+b22x22，

令 x =1，得 b0+b1+b2+...+b22=311①，

令 x =-1，得 b0-b1+b2-...+b22=1②，

由①+②得b0+b2+b4+...+b22= ，

故偶次項(xiàng)系數(shù)的和為.

在賦值后，需運(yùn)用整體思想求三項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)，即將所有項(xiàng)的系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和、偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和分別看作一個(gè)整體，再通過整體代換求得偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.

例4.若1-2x2014=a0+a1x +…+a2014x2014，則a0+a1）+a0+a2+…+a0+a201=______.

解：a0+a1+a0+a2+…+a0+a2014=2013a0+a0+a1+…+a2014，

令 x =0可得： a0=1，

令 x =1可得： a0+a1+…+a2014=1，

所以2013a0+a0+a1+…+a2014=2014.

將目標(biāo)式進(jìn)行整理后便可發(fā)現(xiàn)，只需求出a0和1-2x2014展開式的系數(shù)和，題目即可獲解，于是令x =0、1，便可求得a0與a0+a1+…+a2014的值.

相比較而言，分組法的適用范圍較廣，因式分解法和賦值法的適用范圍較窄，但分組法的運(yùn)算量較大.因此在解題時(shí)，我們可首先看三項(xiàng)式是否可以分解因式，或者問題能否通過賦值獲解，最后再考慮運(yùn)用分組法求解.

（作者單位：江蘇省鹽城市射陽縣陳洋中學(xué)）